1、第二節(jié)第二節(jié) 根本的導數公式與運算法那么根本的導數公式與運算法那么 一、函數和、差、積、商的求導法那么一、函數和、差、積、商的求導法那么定理2.2 假設函數 xxvxu在與)()(處可導，那么函數 )()(xvxuy在點x處也可導，且有 )()()()(xvxuxvxu3ln2sinxxyx例設y求,解：) 3 ()(ln)2()(sinxxyx012ln2cosxxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxx12ln2cos定理2.3 假設函數 xxvxu在與)()(處可導，那么函數 )()(xvxuy在點x處也可導，且有)()()()()()(xvxuxvxuxvxu例求xxxy4cos3

2、的導數 解：)4()cos(3xxxy)( 4)(coscos)(33xxxxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2132214)sin(cos3xxxxx21322sincos3xxxxx定理2.4 假設函數 xxvxu在與)()(處可導，且 0)(xv那么函數 )()(xvxuy在點x處也可導，且有)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu例求正切函數xytan的導數 解：)cossin()(tanxxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx2cos)sin(sincoscosxx22seccos1類似地可求得

3、 xxx22cscsin1)(cot機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例設,ln)(2xxxf)(ef 求解：422)(ln)(ln)(xxxxxxf 342ln212ln1xxxxxxx于是 31)()(exfefex機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、反函數的求導法那么二、反函數的求導法那么 定理2.5 設函數 )(yx在某一區(qū)間內單調、可導， 0)( y且，那么它的反函數 )(xfy 在對應區(qū)間內也單調可導，且有 )(1)(yxf例求反正弦函數xyarcsin的導數 解：設yxsin為知函數，那么 xyarcsin是它的反函數。由于 yxsin2,2在內單調、可導，且 , 0cos

4、)(sinyy)1 ,1(arcsin在因此y內單調 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 可導，且有 )(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11211x211)(arcsinxx即類似地可得 211)(arccosxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 三、復合函數的求導法那么 定理2.6 設函數 )()(xuufy與構成了復合函數 可導在點若xxuxfy)()()(ufy在對應點 u處可導，那么復合函數在點 x處也可導，且有 )()()(xufxfdxdududydxdy或記為復合函數的求導法那么可以推行到恣意有限個函數構成 的復合函數，例如設 )(),(),(xvvuufy構

5、成復合函 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 數，且它們都可導，那么 )(xfy也可導，且 dxdvdvdududydxdy)()()(xvuf例設yxy求,1sin解：復合而成由xuuyxy1,sin1sin于是由于,1,cos2xdxduududy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )1(cos2xuyxxxx1cos1)1(1cos22例設dxdyefyx求),(2)(2) 2()()2()()()()(222222222xxxxxxxxxefeeefxeefeefefdxdy解：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 為了便于記憶和運用，我們列出一切根本初等函數的求導公式與導數運算法那么如

6、下：)(0)() 1 (為常數cc )()()2(1是實數uxxxxxxeeaaa)(ln)() 3 (xxaxxa1)(lnln1)(log) 4(xxcos)(sin) 5 (機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxsin)(cos)6(xxx22cos1sec)(tan) 7(xxx22sin1csc)(cot) 8 (xxxtansec)(sec)9(xxxcotcsc)(csc)10(211)(arcsin)11(xx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 211)()12(xarccox211)(arctan)13(xx211)cot()14(xxarcvuvu )()15()()(

7、,)()16(為常數cuccuvuvuvu 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ) 0( ,)()17(2vvvuvuvu)(),(),()()18(xuufyxufdxdy其中例設)(,)212()(xfxxxfn求211)2 ()2 () 12 ()2 (12212212212)(xxxxxxxnxxxxnxfnn解：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1121)2() 12(5)2(5212nnnxxnxxxn作業(yè)： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216(3)(5),17,18機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，且可導，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導；）必可導；（2）必不可導；）必不可導；（3）不一定可導；）不一定可導；正確地選擇是正確地選擇是3例例|)(uuf 在在 處不可導，處不可導，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導，處