1、考考 點點 串串 串串 講講 1圓的標準方程圓的標準方程 平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點就是圓平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點就是圓心，定長就是半徑，如圖所示，設圓心是心，定長就是半徑，如圖所示，設圓心是C(a，b)，半徑是，半徑是r，則圓，則圓的方程為的方程為(xa)2(yb)2r2. 特別提示：特別提示：(1)上面方程就稱為圓的標準方程上面方程就稱為圓的標準方程 (2)如果圓心在原點，這時如果圓心在原點，這時ab0，圓的方程為，圓的方程為x2y2r2. (3)圓心圓心C(a，b)是定位條件，半徑是定形條件是定位條件，半徑是定形條件 (4)確定圓的方程的主要

2、方法是待定系數法，即列出關于確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于a，b，r的方程組，需要三個獨立條件的方程組，需要三個獨立條件 2圓的一般方程圓的一般方程 22222把圓的標準方程把圓的標準方程(xa)(yb)r展開，展開， 得得xy2ax2by222abr0，可見，任何一個圓的方程可寫成，可見，任何一個圓的方程可寫成 22x yDxEyF0 22D E4FD2E2將配方化為將配方化為(x ) (y ) 224DE122(1)當當D E4F0時，表示以時，表示以(，)為圓心，為圓心，22222D E4F為半徑的圓；為半徑的圓； DE22(2)當當D E4F0時，表示一個點時，表示一個

3、點( ，)； 2222(3)當當D E4F0時，不表示任何圖形時，不表示任何圖形 22從上可看出，當從上可看出，當DE4F0，方程表示一個圓，方程，方程表示一個圓，方程叫作圓的一般方程叫作圓的一般方程 特別提示：特別提示：圓的標準方程的優點在于明確地指出了圓心和半徑，圓的標準方程的優點在于明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：而一般方程突出了方程形式上的特點： ()x2和和y2的系數相等，不等于的系數相等，不等于0； ()沒有交叉項沒有交叉項xy. 以上兩點是二元二次方程以上兩點是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表表D2E24F示圓的必要條件，示圓的必要條件，而不

4、是充分條件，而不是充分條件，還需要加上還需要加上( ) ( ) 0，AAA22即即DE4AF0. (4)常見圓的方程常見圓的方程 22222圓心在原點的圓，標準方程：圓心在原點的圓，標準方程：xyr；一般方程：；一般方程：xy2r0. 2222過原點的圓，標準方程：過原點的圓，標準方程：(xa)(yb)ab；一般方；一般方程：程：x2y2DxEy0. 圓心在圓心在x軸上的圓，標準方程：軸上的圓，標準方程：(xa)2y2r2；一般方程：；一般方程：x2y2DxF0. 圓心在圓心在y軸上的圓，標準方程：軸上的圓，標準方程：x2(yb)2r2；一般方程：；一般方程：x2y2EyF0. 222與與x軸

5、相切的圓，標準方程：軸相切的圓，標準方程：(xa)(yb)b；一般方；一般方1222程：程：xyDxEy D 0. 4222與與y軸相切的圓，標準方程：軸相切的圓，標準方程：(xa)(yb)a；一般方；一般方1222程：程：xyDxEy E 0. 43點和圓的位置關系點和圓的位置關系 設點設點P(x0，y0)，圓的方程為，圓的方程為(xa)2(yb)2r2，點和圓的位，點和圓的位置主要是利用點到圓心的距離與圓的半徑的大小來判斷，置主要是利用點到圓心的距離與圓的半徑的大小來判斷， 如圖所示如圖所示 (1)| PC|? ?x0a? ? ? ?y0b? ? r，即，即(x0a)(y0b)r ?點點在

6、圓內；在圓內； 22222(2)| PC|? ?x0a? ? ? ?y0b? ? r，即，即(x0a)(y0b)r ?點點在圓上；在圓上； 22222(3)| PC|? ?x0a? ? ? ?y0b? ? r，即，即(x0a)(y0b)r ?點點在圓外在圓外 如果把圓的方程換成一般式如果把圓的方程換成一般式x2y2DxEyF0則表述為則表述為如下形式：如下形式： 22x0y0Dx0Ey0F0?點在圓內；點在圓內； 22x0y0Dx0Ey0F0?點在圓上；點在圓上； 22x0y0Dx0Ey0F0?點在圓外點在圓外 222224直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系 (1)判斷直線和圓的位置關系有兩

7、種方法，一種側重代數方法，判斷直線和圓的位置關系有兩種方法，一種側重代數方法，一種側重從幾何角度入手一種側重從幾何角度入手 2方法方法1：(代數法代數法)設直線方程為設直線方程為AxByC0，圓的方程為，圓的方程為xy2DxEyF0， 聯立直線和圓的方程消聯立直線和圓的方程消y得關于得關于x的一元二的一元二次方程為次方程為ax2byc0，其判別式為，其判別式為，則：，則：0 ?相交；相交；0?相切；相切；0?相離相離 方法方法2：(幾何法幾何法)如圖所示，直線方程為如圖所示，直線方程為AxByC0，圓，圓C的方程為的方程為(xa)2(yb)2r2. |AaBbC|圓心圓心O到直線到直線l的距離

8、的距離d22，則：，則：dr?相交；相交；dA Br?相切；相切；dr?相離相離 其實圓與直線的位置關系更多采用幾何法，當直線與圓相交時其實圓與直線的位置關系更多采用幾何法，當直線與圓相交時弦長的算法也更多地采用幾何法，即弦長弦長的算法也更多地采用幾何法，即弦長2 r2弦心距弦心距2. (2)圓的切線方程圓的切線方程 222若圓的方程為若圓的方程為xyr，點，點P(x0，y0)在圓上，則過在圓上，則過P點且點且2222與圓與圓xyr相切的切線方程為相切的切線方程為x0 xy0yr . 222注：點注：點P必須在圓必須在圓xyr上上 22若圓的方程為若圓的方程為xyDxEyF0，點，點P(x0，

9、y0)在圓上，在圓上，則過則過P點且與該圓相切的切線方程為點且與該圓相切的切線方程為 xx0yy0 x0 xy0yDEF0. 22222若點若點P(x0，y0)在圓在圓(xa) (yb)r (r0)外，外，過過P點且與點且與圓相切的直線有兩條，具體求法為：設切線方程為圓相切的直線有兩條，具體求法為：設切線方程為yy0k(xx0)(斜率存在時斜率存在時)，利用圓心到切線的距離，利用圓心到切線的距離d等于半徑等于半徑r，列出方程，列出方程，求出求出k.當斜率不存在時，結合圖形求出當斜率不存在時，結合圖形求出 若已知切線斜率若已知切線斜率k， 求圓的切線方程，求圓的切線方程，則設斜截式則設斜截式yk

10、xb，利用上述中方法導出方程求出利用上述中方法導出方程求出b. 5圓和圓的位置關系圓和圓的位置關系 設兩圓的半徑分別為設兩圓的半徑分別為R、r(Rr)，圓心距為，圓心距為d，兩圓的方程組，兩圓的方程組成的方程組為成的方程組為M.這時，兩圓的位置關系如下表：這時，兩圓的位置關系如下表： 位置關系位置關系 幾何特征幾何特征 代數特征代數特征 外離外離 dRr M無實數解無實數解 外切外切 dRr M有一組實數解有一組實數解 RrdR相交相交 M有兩組實數解有兩組實數解 r 內切內切 dRr M有一組實數解有一組實數解 內含內含 dRr M無實數解無實數解 6.圓系方程圓系方程 (1)以以(a，b)

11、為圓心的同心圓系方程是為圓心的同心圓系方程是 (xa)2(yb)22(R，且，且0) (2)與圓與圓x2y2DxEyF0同心的圓系方程是同心的圓系方程是x2y2DxEy0. (3)過同一定點過同一定點(a，b)的圓系方程是的圓系方程是 (xa)2(yb)21(xa)2(yb)0. (4)過直線過直線AxByC0與圓與圓x2y2DxEyF0的交點的的交點的圓系方程是圓系方程是 22x yDxEyF(AxByC)0. 2222(5)過兩圓過兩圓C1：xyD1xE1yF10和和C2：xyD2xE2yF20的交點的圓系方程是的交點的圓系方程是 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(

12、1) 該圓系方程中不含有圓該圓系方程中不含有圓C2，因此應用該圓系方程時，要注意檢，因此應用該圓系方程時，要注意檢驗驗C2是否滿足題意，以防漏解是否滿足題意，以防漏解 特別地，在該圓系方程中：特別地，在該圓系方程中： 當當 1時，時， 方程方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20為兩圓為兩圓公共弦所在直線的方程；公共弦所在直線的方程； 當兩圓當兩圓C1、C2相切相切(內切或外切內切或外切)時，方程時，方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20為過兩圓切點的切線方程為過兩圓切點的切線方程. 典典 例例 對對 對對 碰碰 題型一題型一 求圓的標準方程求圓的標準方程 例例1.求圓心在直線求圓心在直

13、線2xy30上，且過點上，且過點(5,2)和點和點(3，2)的圓的方程的圓的方程 解析解析 因為條件與圓心有直接關系，因此設圓的標準方程即可因為條件與圓心有直接關系，因此設圓的標準方程即可解決問題解決問題 解法一：設圓的方程為解法一：設圓的方程為(xa)2(yb)2r2， ? ?a2，? ?2ab30，? ? ?222則則? ? ?5a? ? ? ?2b? ? r，解得解得? ?b1， 222? ? ?3a? ? ? ?2b? ? r .? ?2 ? ? ?r10.2 所以，圓的方程為所以，圓的方程為(x2)(y1)10. 解法二：因為圓過解法二：因為圓過A(5,2)、B(3，2)兩點，所以圓

14、心一定在線兩點，所以圓心一定在線1段段AB的垂直平分線上的垂直平分線上 線段線段AB的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為y (x4) 2設所求圓的圓心坐標為設所求圓的圓心坐標為C(a，b)，則有，則有 2ab30，? ? ? ? ?a2，解得解得? ? ? ?1? ?b1.b ? ?a4? ?，? ? ?2? ? 所以所以C(2,1)， r|CA|? ?52? ?2? ?21? ?210. 故所求圓的方程為故所求圓的方程為(x2)2(y1)210. 點評點評 確定圓的方程需要三個獨立條件，確定圓的方程需要三個獨立條件， “選標準，定參數選標準，定參數 ”是解題的基本方法其中，選標準是指根據已知

15、條件選恰當的圓的是解題的基本方法其中，選標準是指根據已知條件選恰當的圓的方程的形式，進而確定其中三個參數方程的形式，進而確定其中三個參數 . 變式遷移變式遷移1 求滿足下列條件的圓的方程：求滿足下列條件的圓的方程： (1)圓心在圓心在x軸上，半徑為軸上，半徑為5，且過點，且過點A(2，3)； (2)過點過點A(1,2)和和B(1,10)，且與直線，且與直線x2y10相切相切 解析解析 (1)設圓心在設圓心在x軸上、軸上、半徑為半徑為5的圓的方程為的圓的方程為(xa)y52. 點點A在圓上，在圓上， (2a)(3)25， 解得解得a2或或a6. 故所求圓的方程為故所求圓的方程為 (x2)2y22

16、5或或(x6)2y225. (2)設所求圓的方程為設所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，線段，線段AB的垂直平分的垂直平分線為線為y6，而所求圓的圓心在直線，而所求圓的圓心在直線y6上，所以圓心坐標為上，所以圓心坐標為(a,6) 因為直線因為直線x2y10與圓相切，與圓相切， |a261|22所以所以? ?a1? ? ? ?62? ? ， 1422解得解得a17，a23，r180，r220. 所求圓的方程為所求圓的方程為(x7)2(y6)280， 或或(x3)2(y6)220. 2222題型二題型二 求圓的一般方程求圓的一般方程 例例2.求經過求經過A(4,2)、B(1,3)兩點，兩點，且

17、在兩坐標軸上的四個截距且在兩坐標軸上的四個截距之和是之和是2的圓的方程的圓的方程 解析解析 已知圓過兩點，且圓心不明確，故可用一般式求之已知圓過兩點，且圓心不明確，故可用一般式求之 設所求圓的方程為設所求圓的方程為x2y2DxEyF0. 令令y0，得，得x2DxF0， 圓在圓在x軸上的截距之和為軸上的截距之和為x1x2D. 令令x0，得，得y2EyF0， 圓在圓在y軸上的截距之和為軸上的截距之和為y1y2E. 由題設由題設x1x2y1y2(DE)2， DE2. 又又A(4,2)、B(1,3)在圓上，在圓上， 1644D2EF0， 19D3EF0. 由由解得解得D2，E0，F12， 22故所求圓

18、的方程為故所求圓的方程為xy2 x120. 點評點評 用待定系數法求圓的方程有兩種不同的選擇：一般地，用待定系數法求圓的方程有兩種不同的選擇：一般地，已知圓上三點時用一般方程；已知圓上三點時用一般方程； 已知圓心或半徑關系時，已知圓心或半徑關系時， 用標準方程用標準方程. 變式遷移變式遷移2 222若方程若方程xyax2ay2aa10表示圓，表示圓， 則則a的取值范的取值范圍是圍是( ) 22Aa2，或，或a B a0 332C2a0 D2a 3答案答案 D 解析解析 因為方程因為方程x2y2ax2 ay2 a2a10表示圓，則表示圓，則2222a (2 a)4(2 aa1)3a4 a40，

19、即即3 a24 a40. 22a . 3 題型三題型三 直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系 例例3.已知圓已知圓x2y28，定點，定點P(4,0)，問過問過P點的直線的傾斜角點的直線的傾斜角在什么范圍內取值時，該直線與已知圓在什么范圍內取值時，該直線與已知圓(1)相切；相切；(2)相交；相交；(3)相離，相離，并寫出過并寫出過P點的切線方程點的切線方程 分析分析 直線與圓的位置關系可用圓心到直線的距離來解或用直線與圓的位置關系可用圓心到直線的距離來解或用判別式來解判別式來解 解析解析 設直線的斜率為設直線的斜率為k，傾斜角為，傾斜角為，則過，則過P點的直線方程點的直線方程為為yk(x4) 即

20、即 kxy4 k0. 由圓心到直線的距離由圓心到直線的距離 |4 k|4| k|d22. k 11k4| k|(1)相切：則相切：則dr，即，即22 2， 1k32k1，k1， ，或，或. 443即當即當 ，或，或時，時， 44直線與圓相切，切線方程為直線與圓相切，切線方程為 xy40，或，或xy40. 4| k|2(2)相交：則相交：則dr，即，即22 2，k1， 1k1k1. 30， )(，)此時，直線與圓相交此時，直線與圓相交 444| k|2(3)相離：則相離：則dr，即，即2 2，k1， 21kk1，或，或k1. 3(， )( ，) 4224又當又當 時，直線時，直線x4與圓相離，與

21、圓相離， 23當當(，)時，直線與圓相離時，直線與圓相離 44點評點評 此題也可用判別式此題也可用判別式0，0，0來解，但要注意來解，但要注意傾斜角的范圍及斜率不存在時的特殊性傾斜角的范圍及斜率不存在時的特殊性. 變式遷移變式遷移3 已知圓已知圓O：x2y22，直線，直線yxb，當，當b為何值時，圓與直為何值時，圓與直線：線： (1)有兩個公共點；有兩個公共點； (2)只有一個公共點；只有一個公共點； (3)無公共點無公共點 |b|解析解析 解法一：圓心解法一：圓心O(0,0)到直線到直線yxb的距離為的距離為d，2圓的半徑圓的半徑r2. (1)當當dr，即，即2b2時，直線與圓相交，有兩個公

22、共點；時，直線與圓相交，有兩個公共點； (2)當當dr，即，即b2時，直線與圓相切，有一個公共點；時，直線與圓相切，有一個公共點； (3)當當dr，即，即b2或或b2時，直線與圓相離，無公共點時，直線與圓相離，無公共點 22? ? ?x y2，2? ?解法二：聯立兩個方程得方程組解法二：聯立兩個方程得方程組消去消去y得，得，2x? ? ?yxb， 2bxb220，164b2. (1)當當0，即，即2b2時，有兩個公共點；時，有兩個公共點； (2)當當0，即，即b2時，有一個公共點；時，有一個公共點； (3)當當0，即，即b2或或b2時，無公共點時，無公共點. 題型四題型四 圓與圓的位置關系圓與

23、圓的位置關系 222例例4.已知已知M，N分別是圓分別是圓C1：(x3)y4和圓和圓C2：x(y24)1上的兩動點，則上的兩動點，則|MN|的最小值為的最小值為( ) A1 B2 C3 D4 解析解析 兩圓心分別為兩圓心分別為C1(3,0)和和C2(0,4)，半徑分別為，半徑分別為2和和1，圓心距圓心距|C1C2|5，故兩圓相離，故兩圓相離，|MN|的最小值為的最小值為|C1C2|212，故選故選B. 答案答案 B 點評點評 解決此題的關鍵是判斷兩圓的位置關系，解決此題的關鍵是判斷兩圓的位置關系，從而得出兩點從而得出兩點間的最小距離為兩圓心的距離去掉兩個半徑，間的最小距離為兩圓心的距離去掉兩個

24、半徑， 這是將動態問題靜化這是將動態問題靜化處理的典例處理的典例. 變式遷移變式遷移4 2222兩個圓兩個圓C1：xy2x2y20與與C2：xy4 x2y10的公切線有且僅有的公切線有且僅有( ) A1條條 B2條條 C3條條 D4條條 答案答案 B 解析解析 兩個圓的公切線條數和兩圓的位置有關，相離時有兩個圓的公切線條數和兩圓的位置有關，相離時有4條公切線；條公切線；相切時有相切時有3條公切線；相交時有條公切線；相交時有2條公切線；條公切線；內切時只內切時只有有1條公切線；內含時沒有公切線條公切線；內含時沒有公切線 22兩圓化成標準方程是兩圓化成標準方程是(x1)(y1)4， (x2)2(y

25、1)24， 22圓心距圓心距d? ?21? ? ? ?11? ? 1322，所以兩圓相交，故選，所以兩圓相交，故選B. 題型五題型五 圓系方程的運用圓系方程的運用 例例5.求過直線求過直線2xy40和圓和圓x2y22 x4y10交點且交點且面積最小的圓的方程面積最小的圓的方程 分析分析 過直線和圓的交點的圓的方程可用圓系方程處理過直線和圓的交點的圓的方程可用圓系方程處理 利用函數的思想進行思考利用函數的思想進行思考 解析解析 解法一：令過直線解法一：令過直線2 xy40和圓和圓xy2x4y10交點的圓系方程為：交點的圓系方程為： x2y22 x4y1(2 xy4)0， 即：即：x2y22(1)

26、x(4)y140. 122r4? ?1? ? ? ?4? ? 4? ?14 ? ? 218216 5? ? ? ? . 25582當當 時，時，rmin， 55132624故所求方程為故所求方程為(x) (y ) . 555 22解法二：因直線和圓固定，直線被已知圓截得弦長固定，所以解法二：因直線和圓固定，直線被已知圓截得弦長固定，所以圓的圓心到已知直線距離最小時所求圓的半徑最小此時圓面積最圓的圓心到已知直線距離最小時所求圓的半徑最小此時圓面積最小，所以當所求圓的圓心在直線小，所以當所求圓的圓心在直線2xy40上時，上時，圓的半徑最小圓的半徑最小 令動圓的方程為：令動圓的方程為： x2y22(

27、1)x(4)y140， 4圓心為圓心為(1)，)，代入，代入2xy40， 2482(1)40， . 252612322代入動圓的方程，得代入動圓的方程，得xyyy 0. 555 解法三：因為通過兩個定點的動圓中，面積最小的是以此二定解法三：因為通過兩個定點的動圓中，面積最小的是以此二定點為直徑端點的圓，于是解方程組點為直徑端點的圓，于是解方程組 ? ? ?2xy40，? ?2 2? ? ?x y2 x4y10，11 2得交點得交點A(， )，B(3,2) 55利用圓的直徑式方程得利用圓的直徑式方程得 112(x)(x3)(y)(y2)0， 55132624化簡整理，得化簡整理，得(x) (y

28、) . 555 變式遷移變式遷移5 求圓心在直線求圓心在直線3 x4y10上且過兩圓上且過兩圓x2y2xy20與與x2y25的交點的圓的方程的交點的圓的方程 解析解析 設所求圓的方程為：設所求圓的方程為： x2y2xy2(x2y25)0， 251122化為一般式化為一般式xyxy0. 111D1E1， ， 22? ?1? ?22? ?1? ?11圓心為圓心為(，) 2? ?1? ?2? ?1? ?代入直線代入直線3x4y10中，得中，得 3410， 2? ?1? ?2? ?1? ?3解方程知解方程知 . 23把把 代入所設的方程中得：代入所設的方程中得： 2x2y22 x2y110. 所求圓的

29、方程為所求圓的方程為x2y22 x2y110. 題型六題型六 與圓有關的最值問題與圓有關的最值問題 例例6.如果實數如果實數x、y滿足滿足x2y24 x10，求：，求： y(1) 的最大值；的最大值； x(2) yx的最小值；的最小值； (3) x2y2的最值的最值 y分析分析 xy4 x10表示以表示以(2,0)為圓心，半徑為為圓心，半徑為3的圓，的圓，x為點為點M(x，y)與原點連線的斜率；設與原點連線的斜率；設yxb，則，則yxb，可知，可知b是斜率為是斜率為1的直線在的直線在y軸上的截距于是，問題軸上的截距于是，問題(1)實質是求圓上的實質是求圓上的點與原點的連線的斜率的最大值，問題點

30、與原點的連線的斜率的最大值，問題(2)實質上是求斜率為實質上是求斜率為1的直的直線與已知圓有公共點時直線的縱截距的最小值，問題線與已知圓有公共點時直線的縱截距的最小值，問題(3)實質求圓上實質求圓上一點到原點距離平方的最大值與最小值一點到原點距離平方的最大值與最小值 22 y解析解析 (1)設設 k，得，得ykx，所以，所以k為過原點的直線的斜率為過原點的直線的斜率 x22又又xy4x10表示以表示以(2,0)為圓心，為圓心，半徑為半徑為3的圓，的圓，如圖如圖所示所示 當直線當直線ykx與已知圓相切且切點在第一象限時與已知圓相切且切點在第一象限時k最大最大 此時：此時： |CP|3，|OC|2

31、. 在在 RtPOC中，中，POC60， ktan603. y 的最大值為的最大值為3. x(2)設設yxb，即為直線，即為直線yxb，b為直線在為直線在y軸上截距，如軸上截距，如(1)中圖所示中圖所示 當直線當直線yxb與圓有公共點時，當且僅當直線與圓相切，且與圓有公共點時，當且僅當直線與圓相切，且切點在第四象限，切點在第四象限，b最小最小 此時，圓心此時，圓心(2,0)到直線的距離為到直線的距離為3，即，即 |2b|223， 11解得解得b62或或b62(舍舍) yx最小值為最小值為62. (3)解法一：解法一：x y表示圓上一點到原點距離，表示圓上一點到原點距離， 其最大值為其最大值為2

32、3，最小值為，最小值為23. 222(xy )max(23)74 3， (x2y2)min(23)274 3. 22解法二：由解法二：由xy4x10得得 22(x2)y3 ? ? ?x23cos ，設設? ? ? ?y3sin 22則則x2y2(23cos )2( 3sin )2 74 3cos . 22當當cos1時，時，(xy )min74 3， 當當cos1時，時，(x2y2)max74 3. (為參數為參數)， 點評點評 涉及與圓有關的最值問題，可借助圖形性質，利用數形涉及與圓有關的最值問題，可借助圖形性質，利用數形結合求解，一般地：結合求解，一般地： yb(1)形如形如u形式的最值問

33、題，可轉化為動直線斜率的最值形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值xa問題；問題； (2)形如形如taxby形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；值問題； 22(3)形如形如(xa) (yb)的最值問題，可轉化為動點到定點距離的最值問題，可轉化為動點到定點距離的最值問題的最值問題. 變式遷移變式遷移6 2已知已知x、y滿足滿足y34xx，則使則使x2y2a0恒成立的恒成立的a的取值范圍是的取值范圍是( ) A 54，54 B(，5 C5，) D(，54 答案答案 B 22解析解析 化簡已知條件得化簡已知條件得(x2)(y3)4( y3) 要使得要

34、使得x2 y2 a0恒成立，則恒成立，則2 a(x2 y)恒成立原題轉化為求恒成立原題轉化為求(x2 y)的最小值，由圓的知識可知，該函數圖像是以的最小值，由圓的知識可知，該函數圖像是以(2,3)為圓心，為圓心，2為半徑為半徑的圓的下半圓用數形結合的方法容易知道當的圓的下半圓用數形結合的方法容易知道當x4，y3時時(x2 y)取得最小值為取得最小值為10，故，故2 a10，解得，解得a5，故選，故選B. 題型七題型七 與圓有關的參數方程問題與圓有關的參數方程問題 例例7.已知方程已知方程x2y22( t3)x2(14t2)y16 t490( tR)的曲線是圓的曲線是圓 (1)求求t的取值范圍；

35、的取值范圍； (2)若點若點P(3,4 t2)恒在所給圓內，求恒在所給圓內，求t的取值范圍的取值范圍 解析解析 (1)依題意得依題意得4( t3)4(14 t) 4(16 t9)0， 即即7t116t10，解得，解得 t1，故，故t的取值范圍是的取值范圍是( ，1) 77(2)將方程化為標準方程得將方程化為標準方程得 (xt3)2(y14t2)27t26t1， 故故(3t3)2(4 t214t2)27t26t1， 32即即8t6t0，解得，解得0t ， 43故故t的取值范圍是的取值范圍是(0， ) 4點評點評 在討論含字母參數的圓的方程問題時，始終要把方程表在討論含字母參數的圓的方程問題時，始

36、終要把方程表示圓的條件作為前提示圓的條件作為前提 22 242變式遷移變式遷移7 若坐標原點在圓若坐標原點在圓(xm)2(ym)24的內部，求過圓心及點的內部，求過圓心及點(1,0)的直線的斜率的直線的斜率k的取值范圍的取值范圍 解析解析 因為坐標原點在圓的內部，所以原點到圓心的距離小因為坐標原點在圓的內部，所以原點到圓心的距離小于半徑于半徑 所以由所以由(0m)2(0m)24，得，得2m2. 故實數故實數m的取值范圍為的取值范圍為m|2m2 m1k1， m1m1k(，22)( 22，). 題型八題型八 與圓有關的軌跡問題與圓有關的軌跡問題 例例8.已知定點已知定點A(2,0)，點，點P在曲線

37、在曲線x2y21上運動，上運動， AOP的平分線交的平分線交PA于點于點Q，其中，其中O是坐標原點，求點是坐標原點，求點Q的軌跡方程的軌跡方程 解析解析 設設Q(x，y)，P(x1，y1)，因為，因為OQ是是AOP的平分線，的平分線，|OP|1所以由平面幾何知識可得所以由平面幾何知識可得PQQA，即，即PQ QA，AP2|OA|2? ?3? ?x? ?x1，? ?133 PQ，所以，所以? ?0? ?3? ?y? ?y1，13? ? ? ?x 3 x1，? ?12即即? ?3y? ?y1，2? ? 代入代入22x1y112224并整理可得并整理可得(x ) y ，即為所求軌跡方程，即為所求軌跡

38、方程 39 點評點評 求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：以下方法： 直接法：直接由題目提供的條件列出方程；直接法：直接由題目提供的條件列出方程； 定義法：根據圓、直線等定義列方程；定義法：根據圓、直線等定義列方程； 幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程；幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程； 代入法：代入法：找到所求點與已知點的關系找到所求點與已知點的關系(即相關點法即相關點法)， 代入已知代入已知點滿足的關系式，此外還有交軌法、參數法等點滿足的關系式，此外還有交軌法、參數法等 本題采用了相關點法，同時又結合了平面幾何的一些性

39、質，一本題采用了相關點法，同時又結合了平面幾何的一些性質，一定程度上降低了題目的運算難度定程度上降低了題目的運算難度. 變式遷移變式遷移8 一動圓過定點一動圓過定點A(c,0)且與圓且與圓(xc)2y24a2(a0，且，且ac)相相切，求動圓圓心的軌跡方程，并討論方程表示曲線的形狀切，求動圓圓心的軌跡方程，并討論方程表示曲線的形狀 解析解析 設動圓圓心為設動圓圓心為P(x，y)，已知圓圓心為，已知圓圓心為B(c,0) (1)當當ca時，則有時，則有P與與B外切：外切： |PB|2a|PA |， B內切于內切于P：|PB|PA |2a. 由由，得，得|PB|PA |2a. 根據雙曲線的定義，根據

40、雙曲線的定義，P點軌跡為雙曲線，其方程為點軌跡為雙曲線，其方程為 x2y22221， ac a(2)當當ca時，時，P內切于內切于B |PA |PB|2a， 根據橢圓的定義，知根據橢圓的定義，知P點軌跡為橢圓，其方程為點軌跡為橢圓，其方程為 22xy2221. aa c 方方 法法 路路 路路 通通 1待定系數法與數形結合是本節內容的重要方法，待定系數法與數形結合是本節內容的重要方法， 求圓的方程求圓的方程時，要根據條件準確地選用圓方程的形式，是用圓的標準方程，還時，要根據條件準確地選用圓方程的形式，是用圓的標準方程，還是一般式，還是圓的參數方程，當有定位，定量條件時一般選用標是一般式，還是圓

41、的參數方程，當有定位，定量條件時一般選用標準式較好，當涉及求某些最值用參數形式較好準式較好，當涉及求某些最值用參數形式較好 2直線和圓的位置關系是圓這一部分的核心問題，直線和圓的位置關系是圓這一部分的核心問題， 常有兩種方常有兩種方法：法： (1)幾何法：半徑幾何法：半徑r，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為d，dr?相離；相離；dr?相切；相切；dr?相交相交 (2)代數法：把直線和圓的方程聯立得一個一元二次方程來判斷代數法：把直線和圓的方程聯立得一個一元二次方程來判斷0?相交；相交；0 ?相切；相切；0?相離相離 3弦長計算問題，也有兩種方法：弦長計算問題，也有兩種方法： (1)幾何法：運用弦心距離，半徑及弦長一半構成直角三