1、一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系第八章第八章 向量代數向量代數 空間解析幾何空間解析幾何第一節二階及三階行列式第一節二階及三階行列式 空間直角坐標系空間直角坐標系 二階行二階行列式含有兩行兩列列式含有兩行兩列. a1, b1 , a2, b2 叫做行列式的叫做行列式的元元素素，行列式中橫排叫做行列式中橫排叫做行行， 縱排叫做縱排叫做列列，這就叫這就叫二階行列式二階行列式， 我們把我們把 a1b2 a2b1記作記作, 12212211babababa 即即,2211baba一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式1. .二階行列式二階行列式 這兩項可這

2、兩項可以按下面圖示來記憶：以按下面圖示來記憶：2211baba( )(+).26)1(013213012 ,83)2(212231 二階行列式的值是兩項的代數和二階行列式的值是兩項的代數和. 一項是實線上的兩個元素一項是實線上的兩個元素的乘積，取正號；的乘積，取正號； 另一項是虛線上的兩個元素的另一項是虛線上的兩個元素的乘積，取負號乘積，取負號.例如，行列式例如，行列式,22112211bababcbcx .22112211babacacay 當當 時，二元一次方程時，二元一次方程02211 baba 222111,cybxacybxa的解可以表示成的解可以表示成可以證明，可以證明，.,DDy

3、DDxyx ,221122112211cacaDbcbcDbabaDyx 記記則則若若, 0 D例例 1解方程組解方程組 06450732yxyx解解 原方程組即為原方程組即為 . 645, 732yxyx,234532 D因為因為,464637 xD,236572 yD所以所以, 22346 DDxx. 12323 DDyy2. .三階行列式三階行列式,333222111cbacbacba.312231123213132321cbacbacbacbacbacba 這就是這就是三階行列式三階行列式. 其中其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 稱為稱為行列式的元素，行列式

4、的元素，橫排稱為行，橫排稱為行，縱排稱為列縱排稱為列.我們把我們把312231123213132321cbacbacbacbacbacba 記作記作333222111cbacbacba即即 實線上三個元素的連乘積取正號，實線上三個元素的連乘積取正號，三階行列式的計算可依下表進行三階行列式的計算可依下表進行:虛線上三個元素的連乘積取負號虛線上三個元素的連乘積取負號.333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()( )()()( ,333222111cbacbacbaD 設設,333222111cbdcbdcbdDx ,333222111cdacdacdaDy .33322

5、2111dbadbadbaDz 的的解解可可表表示示為為時時，三三元元一一次次方方程程組組可可以以證證明明當當0 D 333322221111,dzcybxadzcybxadzcybxa.,DDzDDyDDxzyx 例例 2計算行列式計算行列式 的值的值.054321907027 430 519 924 735 010 解解054321907132 例例 3解方程解方程0245351132 xx25)2( x)5(3)3( x)4(11 15)5( x)2(3)4(x )3(12 ,248 x245351132 xx解解3 x解之，得解之，得 0248 x所以原方程為所以原方程為 根據行列式的

6、定義，三階行列式也可以用二階根據行列式的定義，三階行列式也可以用二階行列式表示行列式表示. 其具體表達式如下其具體表達式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba 123123123bacacbcba )(23321cbcba )(23321acacb )(23321babac .332213322133221babaccacabcbcba 注意：這是注意：這是“- -”號號 05432190705327 04310 54219 )3(9)15(7 .132 例如，例如，例例 2 中的行列式可按如下方法計算中的行列式可按如下方法計算 因此，三階行列式可以借助

7、于上面的結果因此，三階行列式可以借助于上面的結果進行計算進行計算. 2 以以 的角度轉向的角度轉向 y 軸的軸的正向，正向，1. 空間直角坐標系空間直角坐標系 過空間定點過空間定點 O 作三條互相作三條互相垂直的數軸，垂直的數軸， 它們都以它們都以 O 為原點，為原點， 并且通常取相同的長度單位并且通常取相同的長度單位. 這這三條數軸分別稱為三條數軸分別稱為 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸軸. 各軸正向之間的順序通常各軸正向之間的順序通常按下述法則確定按下述法則確定:以右手握住以右手握住 z 軸，軸， 讓右手的四指從讓右手的四指從 x 軸的正向，軸的正向，圖圖 8 1這時大拇指所指的方向就是這

8、時大拇指所指的方向就是 z 軸的正向軸的正向. 這個這個法則叫做法則叫做右手法則右手法則. 右手法則右手法則 二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系這樣就組成了空間直角坐標系這樣就組成了空間直角坐標系. O 稱為稱為坐標原坐標原點，點， 每兩個坐標軸確定的平面稱為坐標平面，每兩個坐標軸確定的平面稱為坐標平面， 簡稱為簡稱為坐標面坐標面. x 軸與軸與 y 軸所確定的坐標面稱為軸所確定的坐標面稱為 x y 坐表坐表面面， 類似地有類似地有 y z 坐標面坐標面，z x 坐標面坐標面. 這些坐標面把空間分成這些坐標面把空間分成八個部分，每一個稱為一個八個部分，每一個稱為一個卦限卦限. x、y、z 軸

9、的正半軸軸的正半軸的卦限稱為第的卦限稱為第 I 卦限，卦限，xyzO 八卦限八卦限 空間的點就與一組有序數組空間的點就與一組有序數組 x，y，z 之間建之間建立了一一對應關系立了一一對應關系. 按逆時按逆時針的方向針的方向從第從第 I 卦限開始，卦限開始， 從從 Oz 軸的正向向下看，軸的正向向下看， ，先后出現的卦限依次稱為第，先后出現的卦限依次稱為第 、 卦限卦限; 第第、 、 、 卦限下面的空間部卦限下面的空間部分依次稱為第分依次稱為第 、 卦限卦限.xyzOMPRQ 它們分別稱為它們分別稱為 x 坐標，坐標，y 坐標和坐標和 z 坐標坐標. 有序數組有序數組 x，y，z 就稱為點就稱為

10、點 M 的坐標，記為的坐標，記為 M( (x，y，z) )， 過點過點 M1 M2 各作三張平各作三張平面分別垂直于三個坐標軸，形成如圖的長方體面分別垂直于三個坐標軸，形成如圖的長方體. 求求它們之間的距離它們之間的距離 d = |M1M2|.設空間兩點設空間兩點 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),2d2221QMQM 221MM (M1QM2 是直角三角形是直角三角形) 22221QMPQPM 易知易知(M1PQ 是直角三角形是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P 1M 2M 2. .兩點之間的距離兩點之間的距離圖圖 8 - 4212212212)()()(zzyyxx 222221QMMPPM 所以所以.)()()(212212212zzyyxxd 特別地，特別地，點點 M ( x , y , z) 與原點與原點O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離的距離.222zyxOMd 兩點間距離兩點間距離例例 4已知