1、 南京通網(wǎng)科技發(fā)展有限公司南京通網(wǎng)科技發(fā)展有限公司)()()()()()(000000 xxxfxfxfxxxfdyxfxfy )()()()()(00000 xxoxxxfxfxfxxodyy )()()()()()(0000 xxfxfxfxxfxfxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一、問題的提出第三節(jié)第三節(jié) 泰勒泰勒（Taylor）公式公式設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有 )()()()(0000 xxoxxxfxfxf不足不足: :1、精確度不高；精確度不高； 2、誤差不能估計誤差不能估計. .nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010nxx)(0)(

2、xf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）).)()()(0nnxxoxPxf),2, 1 ,0.(0)()()(lim00nkxxxPxfknxx得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk 即即nnnxxnxfxxxfxfxP)(!)()()()(00)(000 )( xf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)(,:000 xfaxx 有有令令).)()()(0nnxxoxPxf nnkkkknxxaxxaxxkxfxxxfxfxP)()()(!)()()()(010100000 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）nnnxxnxfxxxfxfxP)(!)()()()(:00)(000 即即

3、高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf).)()(!)(000)(nnnxxoxxnxf).)()(!)(0000)(nknkkxxoxxkxf二、泰勒二、泰勒 (Taylor) 中值定理中值定理)( xf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上具有上具有 n+1 n+1 階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， I， )(xf 0 x則對任何則對任何 I 時時, ,在在 與與 之間至

4、少存在一點(diǎn)之間至少存在一點(diǎn) ，使使 x0 xx-（1）定理定理2 ( Lagrange 型余項的型余項的 Taylor 中值定理中值定理) 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）多項式多項式nnnxxnxfxxxfxfxP)(!)()()()(00)(000 稱為稱為 在在x0處處 n次次Taylor多項式多項式, ,公式公式(1)稱為稱為 按按 的冪展開的的冪展開的 n階泰勒公式階泰勒公式， 稱為稱為拉格朗日型余項拉格朗日型余項 . .)(xf)(xf)(0 xx )(xRn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）證證 令令 ，則只需證，則只需證)()()(xpxfxRnn 10)1()()!1()()( nn

5、nxxnfxR 由題意知，由題意知， 在區(qū)間內(nèi)具有在區(qū)間內(nèi)具有n+1階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),且且)(xRn0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)!1()(, 0)()()()1(0)(00nxgxgxgxgnn)()()1()1(xfxRnnn .2證證先先對對 n)!1()()()() 1(10 nfxxxRnnn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）根據(jù)根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理有有)()()()()()()()(1100gRxgxgxRxRxgxRnnnn( 介于介于 與與 之間之間) )1 0 xx再次由再次由柯西中值定理柯西中值定理有有)()()()()()()()(220

6、10111gRxggxRRgRnnnn （ 介于介于 和和 之間）之間）2 0 x1 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）所以所以10)1()()!1()()( nnnxxnfxR （ 介于介于 和和 之間）之間）0 xx如此下去如此下去, ,經(jīng)過經(jīng)過n1次后，得次后，得)()()()()1()1(nnnngRxgxR（ 介于介于 和和 之間，因而也介于之間，因而也介于 和和 之間之間） 0 xn 0 x n 0 x0 xx)!1()()1(nfn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）絕對誤差：若絕對誤差：若 f (n+1) 在區(qū)間上有界在區(qū)間上有界 , 則有則有1010)1()!1()()!1()()( n

7、nnnxxnMxxnfxR * *誤差分析誤差分析)()()(xRxPxfnn )()(xPxfn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、麥克勞林二、麥克勞林(Maclaurin)公式公式在泰勒公式中取在泰勒公式中取 , , 則則00 xnnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 1)1()!1()( nnxnxf )10( 由此得近似公式由此得近似公式nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 或或nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 )(nxo - （Peano型型余項）余項）- （型余項型余項） 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)

8、（上）此時誤差此時誤差1)!1()( nnxnMxR三、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式三、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式例例1 寫出寫出 的的 階麥克勞林公式階麥克勞林公式 . .xexf )(n解解 xnxneexf )()()(1)0()0()0()0()( nffffxnnxenxnxxxe )!1(!2112 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）因而有因而有!212nxxxenx 特別地特別地!1!2111ne 310)!1(3)!1()(nnexRn因而因而3000)!1(n718. 2615141312111！e 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）qpe xqqxeqxqxxxe )!1(!2112 e

9、qq111e )!1(!21 eq 1 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）0)()2sin()0(xkkxf2sink 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）可得可得nnnxonxxxxx212153)!12() 1(! 5! 3sin)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxonxxxx)(12 nxo)(2nxo 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）), 2 , 1()1 ()!1() 1()0(01)(nkxkfxkkk)!1() 1(1kkkkfkk1)()1(!)0().() 1(32)1ln(132nnnxoxnxxxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)1 ()(xxf0)()1)(1()

10、1()0(xkkxkf), 2 , 1() 1() 1(nkk)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）xxf 11)( 得到得到 的的 階麥克勞林公式階麥克勞林公式 . .n nnnxoxxxx )1(11121 nnxoxxxx 2111 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例5 寫出寫出 的麥克勞林公式的麥克勞林公式 . .2)(xexf 解解)(! 21222222nnxxonxxxe).(! 212242nnxonxxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例6 寫出寫出 的帶的帶 Lagrange 型型余項的余項的n階麥克勞林公式階麥克勞

11、林公式 . .xxexf)()() 1()(1)(xnexfxnn 1132)!1()1()1()!1()1(! 21)( nnnnxnnexnxxxxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例1 寫出寫出 的帶的帶 L-型余項的二階型余項的二階 麥克勞林公式麥克勞林公式. .xxf211)(23)21()(xxf25)21(3)( xxf27)21(15)( xxf)10()21(25231)(3272xxxxxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）要求要求 在在 處的泰勒公式處的泰勒公式 , ,可以采用可以采用)(xfax （2）間接法間接法由由已知函數(shù)的泰勒展開式已知函數(shù)的泰勒展開式經(jīng)過運(yùn)算獲得經(jīng)過

12、運(yùn)算獲得. .余項一般不是拉格郎日型的余項。余項一般不是拉格郎日型的余項。（1）直接法直接法求出求出 代入泰勒公式中代入泰勒公式中. .)(),(),()(afafafn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）解解)2(1111)( xxxf例例2 求求 在在 處的處的 階階aylor公式公式. .11)( xxf2 xnnnnxoxxx)2()2() 1()2()2(12 在在 處處?3 x 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）.) 12ln()1ln(xx)211ln(2lnx).) 1()21(1)21(31)21(21212ln132nnnxoxnxxx）（ 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）五五 利用泰勒展

13、開式可以求極限利用泰勒展開式可以求極限例例1 求極限求極限 xxxxsin11lim20 xxxxxsinsinlim2061 3330)(!31limxxxOxxx 330)(!31limxxOx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例 2 計算計算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(!2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）0).2)(aa(anlimn1n12nxn1為為換換2xx0 xx2aalim2xlnax

14、lna0 xx2eelim22220 xx2(xlna)21xlna1)o(x(xlna)21xlna1lim 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例4 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 解解)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx .31 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）1)( xf202)(， xxf0)()(bfaf)()()(4)(2afbfabcf 展展開開按按)()

15、2(),0(xfff展展開開按按)(),()2(bfafbaf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）21)(21)()()0(xfxxfxff 22)2)(21)2)()()2(xfxxfxff )()2)(21)(2)0()2(2122xfxfxfff )2)()(41)0()2(21)(2221xfxfffxf 1, )(max2, 0 MxfM則則令令2)2(4 )0()2(21)(22 xxMffxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）41)(max10 xfx1)( xf1)1()0( ff處處展展開開在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)0)(xxf, 0)( xf )()(212:,212121xfxfxxfbaxx

16、證證ThTh泰泰勒勒兩兩次次拉拉氏氏兩兩解解)2;)1: 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）4120000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 201)(2141)0(xff 202)1)(2141) 1 (xff 202141)0(xf 20)1 (2141) 1 (xf 1)(: xf題題給給1)1 (2121) 1 ()0(2020 xxff 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）,22121xxxx )()()()()(2)()(1002021xfxfxfxfxfxfxf )()(101022xxfxxf )()(21212ffxx 0)()(21212 fxx20000)(21)()()(xx

17、fxxxfxfxf )()(000 xxxfxf 2 , 1)()()(000 ixxxfxfxfii)(2)2)()(2)()(00210021xfxxxxfxfxfxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）xxcbxxexaxfxsin)cos()1ln(2)(22cba,)(! 4! 3! 212)(44322xoxxxxxaxf)(! 3)(243442xoxxbxoxxx)(! 382243xoxxc 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)(! 4)47 (61) 1() 1()(443xoxxcbxcbaxf0470101cbcba383111cba 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 泰勒中值定理的應(yīng)

18、用泰勒中值定理的應(yīng)用:泰勒多項泰勒多項泰勒公泰勒公 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一一、 求求 xxf1)( 在在 10 x處處的的 n階階泰泰勒勒公公式式 。 課堂練習(xí)課堂練習(xí)二二、 求求 xxexf )(的的 n階階麥麥克克勞勞林林公公式式 。 四四、 用用泰泰勒勒公公式式求求極極限限： 1 1、xexxx420sincoslim2 ； 2 2、)11ln(lim2xxxx 。 ).0()99(f121 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）冪運(yùn)算冪運(yùn)算 xvxuIbxvaxulim,lim,lim, 0. 1a有限數(shù)有限數(shù).,baIb 是是Iba, 1. 2 1不定式不定式.vvuu 1 ba, 10或或; 0, 1 Iba ba, 1或或;, 10 IbaIba