1、含參不等式恒成立問題的求解策略 “含參不等式恒成立問題”把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數與方程”、“化歸與轉化”、“數形結合”、“分類討論”等數學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養其思維的靈活性、創造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談談這類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數,有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。解：由題設可將問題轉化為不等式對恒成立，

2、即有解得。所以實數的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則當時，恒成立Oxyx-1當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍。解：設，則由題可知對任意恒成立令，得而即實數的取值范圍為。例4函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變

3、形為，討論其單調性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數在上的最大值為，所以。 例5已知函數時恒成立，求實數的取值范圍。解： 將問題轉化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數，故即的取值范圍為。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數變量進行“換位

4、”思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉化為恒成立（）。 當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數在上恒有的充要條件為。四、數形結合法數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這充分說明了數形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數圖象和不等式有著密切的聯系：1）函數圖象恒在函數圖象上方；2）函數圖象恒在函數圖象下上方。x-2-4yO-4例7設 , ,若恒有成立,求實數的取值范圍. 分析：在同一直角坐標系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題