1、分類討論思想方法分類討論思想方法 分類討論思想方法分類討論思想方法 在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對各種情況在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對各種情況 加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。 分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。有關(guān)分類討論分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。有關(guān)分類討論 思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練 人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有

2、重要的位置。 一、在什么情況下要進行分類討論一、在什么情況下要進行分類討論 1數(shù)學中的某些概念、定理、性質(zhì)、法則、公式是分類定義數(shù)學中的某些概念、定理、性質(zhì)、法則、公式是分類定義 或分類給出的，在運用它們時要進行分類討論?；蚍诸惤o出的，在運用它們時要進行分類討論。 2研究含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的研究含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的 “量變量變”而導致結(jié)果發(fā)生而導致結(jié)果發(fā)生“質(zhì)變質(zhì)變”，因而也要進行分類討論。，因而也要進行分類討論。 3在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖形位置不確定在研究幾何問題時，由于圖形的變化（圖形位置不確定 或形狀不確定），引起問題結(jié)果有多

3、種可能，就需要對各或形狀不確定），引起問題結(jié)果有多種可能，就需要對各 種情況分別進行討論。種情況分別進行討論。 4含有特殊元素或特殊位置的排列組合問題，其解題的基含有特殊元素或特殊位置的排列組合問題，其解題的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征進行恰當?shù)谋静呗裕褪前凑仗厥庠鼗蛱厥馕恢玫奶卣鬟M行恰當?shù)?劃分，轉(zhuǎn)化為最基本、最簡單的排列組合問題，然后結(jié)合劃分，轉(zhuǎn)化為最基本、最簡單的排列組合問題，然后結(jié)合 加法原理或乘法原理完成解答。加法原理或乘法原理完成解答。 5樹立劃分意識，訓練思維的嚴謹性，保證解題的正確樹立劃分意識，訓練思維的嚴謹性，保證解題的正確 與完整。與完整。 二、分類討論

4、的步驟、原則和方法二、分類討論的步驟、原則和方法 1分類評論的一般步驟是：分類評論的一般步驟是： 明確討論對象，確定對象的全體明確討論對象，確定對象的全體確定分類標準，正確進行分類確定分類標準，正確進行分類 逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。 2邏輯劃分應(yīng)遵循的原則：邏輯劃分應(yīng)遵循的原則： 分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復、分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復、 分層次，不越級討論。分層次，不越級討論。 3多層次分類及多層次分類及“二分法二分法”處理復雜問題的分類方法。處理復雜問題的分類方法。 4

5、分類討論后如何歸納結(jié)論。分類討論后如何歸納結(jié)論。 （1）統(tǒng)一式。針對變量分類討論的，且在不同條件下問題）統(tǒng)一式。針對變量分類討論的，且在不同條件下問題 有不同的結(jié)論，歸納結(jié)論時應(yīng)采用分列式。有不同的結(jié)論，歸納結(jié)論時應(yīng)采用分列式。 （2）分列式。針對參數(shù)分類討論的，且每一類討論結(jié)果均是）分列式。針對參數(shù)分類討論的，且每一類討論結(jié)果均是 總結(jié)論的一個子集，歸納結(jié)論時應(yīng)采用統(tǒng)一式?？偨Y(jié)論的一個子集，歸納結(jié)論時應(yīng)采用統(tǒng)一式。 三、靈活運用邏輯劃分的思想方法三、靈活運用邏輯劃分的思想方法 1通過通過“補集補集”間接求解。間接求解。 2有條件時，盡量減少分類層次，尋求整體解決方法。有條件時，盡量減少分類層

6、次，尋求整體解決方法。 、再現(xiàn)性題組：、再現(xiàn)性題組： 1集合集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR， 若若AB，那么，那么a的范圍是的范圍是_。 A.0a1；B.a1；C.a1；D.0a0且且a1，p log (a?a?1 )，q ， 則則p、q的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_。 A.pq；B.pq；D.當當a1時，時，pq；當；當0a1時，時，pq。 aloga(a?a?1 )sinxcosxtgxctgxy?3函數(shù)函數(shù) 的值域是的值域是_。 |sinx|cosx|tgx|ctgx|cos ?sin ?limn 4.若若? 的值為的值為_。 ?0,?，則，則 ncos sinn?2? A.1

7、或或1；B.0或或1；C.0或或1；D.0或或1或或1。 nn1y?x?5.函數(shù)函數(shù) 的值域是的值域是_。 x A.2,+；B.(- ,-22,+；C.(- ,+)；D.-2,2。 6正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和和4的矩形，的矩形， 則它的體積為則它的體積為_。 484823；C. A. 3；B. 3；D. 3或或 3。 99999 5過點過點P(2,3)，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_。 A.3x2y0； B.xy50； C.3x2y0或或xy50； D.不能確定。不能確定。 、示范性題組：、示范性題組： lo

8、ga(1?x)與與| | 例例1.設(shè)設(shè)0 x0且且a1，比較，比較| |loga(1? x) 的大小。的大小。 【分析】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)【分析】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)a有關(guān)，而分兩類討論。有關(guān)，而分兩類討論。 【解】【解】0 x101x1 log (1? x) | | log (1? x)當當0a0; 2當當a1時，時，| |loga(1? x)| |loga(1? x) 由、可知，由、可知， 例例2.已知集合已知集合A和集合和集合B各含有各含有12個元素，個元素，AB含有含有4個元素，個元素， 試求同時滿足下面兩個條件的集合試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：的個數(shù)：CAB且且 C中含

9、有中含有3個元素；個元素；CA。 【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：中的元素分兩類： 屬于屬于A元素；不屬于元素；不屬于A而屬于而屬于B的元素。并由含的元素。并由含A中中 元素的個數(shù)元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種。而將取法分三種。 102132【解】【解】 1084 812812128CCCCCC【另解】（排除法）：【另解】（排除法）： 例例3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)ax2x2，對于滿足，對于滿足1x0，求實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。的取值范圍。 【分析】含參的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的值域問題，先對【分析】含參的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的值域

10、問題，先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置進行分類討論。開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置進行分類討論。（也屬數(shù)形結(jié)合法）（也屬數(shù)形結(jié)合法） 11?41?1?a1?4?a?11?a?f( )2?0? ?或或 ?f(1 )a? 2? 20或或 ? f(4)16 a?8?20a?a?11【解】當【解】當a0時，時，f(x)a（x ）2 aa ?11a1或或 a ； 22?f(1 )a?2?20當當a 。 2(x?4a)(x?6a)1例例4.解不等式解不等式 0 (a為常數(shù)，為常數(shù)，a ) 2a?12【分析】含參不等式，參數(shù)【分析】含參不等式，參數(shù)a決定了決定了2a1的符號和兩根的符號和兩

11、根 114a、6a的大小，故對的大小，故對a0、a0、 a0、a0時，時，a ；4a 0。 2 所以分以下四種情況討論：所以分以下四種情況討論： 當當a0時，時，(x4a)(x6a)0，解得：，解得：x 6a； 當當a0時，時， 0，解得：，解得：x0； x21當當 a0，解得，解得:x4a； 21當當a 時，時，(x4a)(x6a)0，解得：，解得：6ax0)， 2ya 解得：解得： 21? a（0a1） y1 由上可得，由上可得，z(1 )1?a或或(1 )1? a 【注】本題用標準解法（設(shè)【注】本題用標準解法（設(shè)zxy再代入原式得到一個方程再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁

12、難，而挖掘隱含，對組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論分兩類討論則簡化了數(shù)學問題。（簡化型）則簡化了數(shù)學問題。（簡化型） 【另解】設(shè)【另解】設(shè)zxy，代入得，代入得 x?y?2222?x?y?2 x?y?a? ?2 xy?022x?y?2xyi?a;22當當y0時，時， 例例6.在在xoy平面上給定曲線平面上給定曲線y2x，設(shè)點，設(shè)點A(a,0)，aR，曲線上的，曲線上的點到點點到點A的距離的最小值為的距離的最小值為f(a)，求，求f(a)的函數(shù)表達式。的函數(shù)表達式。 （本題難度（本題難度0.40） 【分析】求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，【分析】求兩點間距

13、離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)， 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x0下的最小值問題，而下的最小值問題，而 引起對參數(shù)引起對參數(shù)a的取值討論。的取值討論。 【解】設(shè)【解】設(shè)M(x,y)為曲線為曲線y2x上任意一點，則上任意一點，則 2MA?(x?a)?y?(x?a)?2xx?2 (a?1 )x?a? x?(a?1 )?(2 a?1 )222222y2x限定限定x0，所以分以下情況討論：，所以分以下情況討論： 由于由于 當當a10時，時，xa1取最小值，即取最小值，即 當當a10時，時，x0取最小值，即取最小值，即 2MAmin?2 a?122MAmin?a2? 2 a?1

14、(a 1 時 )綜上所述，有綜上所述，有f(a) 。 ?(a?1 時 )|a|?、鞏固性題組：、鞏固性題組： 2222A.(0,); B.(,1 );C.(0,)?(1 ,?);D.(,?)3333abcacb2.非零實數(shù)非零實數(shù)a、b、c，則，則 的值組成的值組成 |abc|a|c|b|的集合是的集合是_。 A.-4,4；B.0,4；C.-4,0；D.-4,0,4 3.f(x)(ax)|3ax|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_。 A.當當x2a時，有最小值時，有最小值0； B.當當x3a時，有最大值時，有最大值0； C.無最大值，且無最小值；無最大值，且無最小值； D.有最小值但無最大值。有最小值但無最大值。 4.設(shè)設(shè)f(x,y)0是橢圓方程，是橢圓方程，g(x,y)0是直線方程，則方程是直線方程，則方程 f(x,y)g(x,y)0（R）表示的曲線是）表示的曲線是_。 2loga1.若若 log (xa)(a0且且a1) aa211.設(shè)首項為設(shè)首項為1，公比為，公比為q(q0)的等比數(shù)列的前的等比數(shù)列的前n項和為項和為S， 又設(shè)又設(shè) ，求，求 T 。 S2Tn?nlimSn?1nn12.若復數(shù)若復數(shù)z、z 、z 在復平面上所對應(yīng)三點在復平面上所對應(yīng)三點A、B、C組成