1、七年級(jí)下冊(cè)相交線與平行線題型歸納總結(jié)學(xué)生版 相交線與平行線 章末重難點(diǎn)題型 點(diǎn) 【考點(diǎn) 1 點(diǎn)到直線的距離】 】 【方法點(diǎn)撥】從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。 【例 1】（2021 春廈門(mén)期末）如圖，三角形 abc 中，acb90，cdab 于點(diǎn) d，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） a點(diǎn) a 到直線 bc 的距離為線段 ab 的長(zhǎng)度 b點(diǎn) a 到直線 cd 的距離為線段 ad 的長(zhǎng)度 c點(diǎn) b 到直線 ac 的距離為線段 bc 的長(zhǎng)度 d點(diǎn) c 到直線 ab 的距離為線段 cd 的長(zhǎng)度 【變式 1-1】（2021 春雨花區(qū)期末）如圖，acb90，cdab，垂足為 d，則下面的結(jié)

2、論中正確的是（ ） bc 與 ac 互相垂直；ac 與 cd 互相垂直；點(diǎn) a 到 bc 的垂線段是線段 bc；點(diǎn) c 到 ab 的垂線段是線段 cd；線段 bc 是點(diǎn) b 到 ac 的距離；線段 ac 的長(zhǎng)度是點(diǎn) a 到 bc 的距離 a b c d 【變式 1-2】（2021 春婁星區(qū)）如圖所示，點(diǎn) a 到 bc 所在的直線的距離是指圖中線段（ ）的長(zhǎng)度 aac baf cbd dce 【變式 1-3】（2021 春天河區(qū)校級(jí)月考）如圖，acbc，cdab，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（ ） 線段 cd 的長(zhǎng)度是 c 點(diǎn)到 ab 的距離；線段 ac 是 a 點(diǎn)到 bc 的距離； abaccd；

3、線段 bc 是 b 到 ac 的距離；cdbcab a2 個(gè) b3 個(gè) c4 個(gè) d5 個(gè) 點(diǎn) 【考點(diǎn) 2 相交線的交點(diǎn)問(wèn)題】 】 【方法點(diǎn)撥】3 條直線相交最多有 3 個(gè)交點(diǎn)，4 條直線相交最多有 6 個(gè)交點(diǎn)，5 條直線相交最多有 10 個(gè)交點(diǎn)，n 條直線相交，最多有 1+2+3+（n1）21n（n1）個(gè)交點(diǎn) 【例 2】（2021 秋旌陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）在同一平面內(nèi)的 n 條直線兩兩相交，最多共有 36 個(gè)交點(diǎn)，則 n（ ） a7 b8 c9 d10 【變式 2-1】（2021 秋鄄城縣期末）兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有 6 個(gè)交點(diǎn)，那么 7 條直線最多（ ）

4、a28 個(gè)交點(diǎn) b24 個(gè)交點(diǎn) c21 個(gè)交點(diǎn) d15 個(gè)交點(diǎn) 【變式 2-2】（2021 春沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）同一平面內(nèi)兩兩相交的四條直線，最多有 m 個(gè)交點(diǎn)，最少有 n個(gè)交點(diǎn)，那么 m n 是（ ） a1 b6 c8 d4 【變式 2-3】（2021 秋江陰市校級(jí)月考）觀察下列圖形，并圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示：兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有三個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有 6 個(gè)交點(diǎn)，像這樣，11 條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） a40 個(gè) b50 個(gè) c55 個(gè) d66 個(gè) 點(diǎn) 【考點(diǎn) 3 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷】 】 【方法點(diǎn)撥】直線 ab，cd 被第

5、三條直線 ef 所截。這三條直線形成了兩個(gè)頂點(diǎn)，圍繞兩個(gè)頂點(diǎn)的 8 個(gè)角之間有三種特殊關(guān)系： * * 同位角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€ ab,cd 的同側(cè)，在第三條直線 ef 的同旁（即位置相同），這樣的一對(duì)角叫做同位角； * * 內(nèi)錯(cuò)角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€ ab,cd 之間，在第三條直線 ef 的兩旁（即位置交錯(cuò)），這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角； * * 同旁內(nèi)角：沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，它們?cè)谥本€ ab,cd 之間，在第三條直線 ef 的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角； 【例 3】（2021 春巴州區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ） a3 和5 是同位角 b4 和5

6、是同旁內(nèi)角 c2 和4 是對(duì)頂角 d2 和5 是內(nèi)錯(cuò)角 【變式 3-1】（2021 春西湖區(qū)校級(jí)月考）同學(xué)們可仿照?qǐng)D用雙手表示"三線八角'圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）下面三幅圖依次表示（ ） a同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角 b同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 c同位角、對(duì)頂角、同旁內(nèi)角 d同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角 【變式 3-2】（2021 春閔行區(qū)期中）如圖，同位角共有（ ）對(duì) a6 b5 c8 d7 【變式 3-3】（2021 春九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，下列結(jié)論正確的是（ ） a4 和5 是同旁內(nèi)角 b3 和2 是對(duì)頂角 c3 和5 是內(nèi)錯(cuò)角 d1 和5 是同位角 點(diǎn) 【

7、考點(diǎn) 4 平行線公理及其推論】 】 【方法點(diǎn)撥】平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行。 【例 4】（2021 春城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的是（ ） a兩條不相交的直線叫平行線 b一條直線的平行線有且只有一條 c若直線 ab，ac，則 bc d兩條直線不相交就平行 【變式 4-1】（2021 春張店區(qū)期末）已知在同一平面內(nèi)，有三條直線 a，b，c，若 ab，bc，則直線 a與直線 c 之間的位置關(guān)系是（ ） a相交 b平行 c垂直 d平行或相交 【變式 4-2】（2021 春龍泉驛區(qū)期中）下列說(shuō)法正確的是（ ） aa，b，c 是直線，且 ab，bc，則 ac ba，

8、b，c 是直線，且 ab，bc，則 ac ca，b，c 是直線，且 ab，bc，則 ac da，b，c 是直線，且 ab，bc，則 ac 【變式 4-3】（2021 春邱縣期末）下列語(yǔ)句： 不相交的兩條直線叫平行線 在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行 如果線段 ab 和線段 cd 不相交，那么直線 ab 和直線 cd 平行 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 正確的個(gè)數(shù)是（ ） a1 b2 c3 d4 點(diǎn) 【考點(diǎn) 5 利用平行線的性質(zhì)求角】 】 【方法點(diǎn)撥】?jī)蓷l直線平行則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 【例 5】（20

9、21 春澗西區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，將含有 30角的三角板（a30）的直角頂點(diǎn)放在相互平行的兩條直線其中一條上，若138，則2 的度數(shù)（ ） a28 b22 c32 d38 【變式 5-1】（2021 春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若132，則2 的度數(shù)為（ ） a68 b58 c48 d32 【變式 5-2】（2021 秋襄汾縣期末）如圖，某江段江水流向經(jīng)過(guò) b、c、d 三點(diǎn)拐彎后與原來(lái)方向相同，若abc125，bcd75，則cde 的度數(shù)為（ ） a20 b25 c35 d50 【變式 5-3】（2021 秋方城縣期末）將 ad 與 bc 兩邊平行的紙條 abc

10、d 按如圖所示折疊，則1 的度數(shù)為（ ） a72 b45 c56 d60 點(diǎn) 【考點(diǎn) 6 平行線的判定】 】 【方法點(diǎn)撥】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行： 平行線判定定理 1：同位角相等，兩直線平行 平行線判定定理 2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 平行線判定定理 3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 平行線判定定理 4：兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，兩條直線平行 【例 6】（2021 春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，下列條件：12；45；2+5180；13；61+2；其中能判斷直線 l 1 l 2 的有（ ） a b c d 【變式 6-1】（2021 春西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn) e

11、 在 ac 的延長(zhǎng)線上，對(duì)于給出的四個(gè)條件： （1）34； （2）12； （3）adce； （4）d+abd180能判斷 abcd 的有（ ） a1 個(gè) b2 個(gè) c3 個(gè) d4 個(gè) 【變式 6-2】（2021 春南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）如圖，下列條件，其中能判定 abcd 的有（ ） 12； badbcd； abcadc，34； bad+abc180 a3 個(gè) b2 個(gè) c1 個(gè) d0 個(gè) 【變式 6-3】（2021 春吳江區(qū)期中）以下四種沿 ab 折疊的方法中，由相應(yīng)條件不一定能判定紙帶兩條邊線 a，b 互相平行的是（ ） a展開(kāi)后測(cè)得12 b展開(kāi)后測(cè)得12 且34 c測(cè)得12 d測(cè)得12 點(diǎn) 【

12、考點(diǎn) 7 垂線段在生活中的應(yīng)用】 】 【方法點(diǎn)撥】連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短 【例 7】（2021 秋泰興市期末）如圖，在直線 mn 的異側(cè)有 a、b 兩點(diǎn)，按要求畫(huà)圖取點(diǎn)，并注明畫(huà)圖取點(diǎn)的依據(jù) （1）在直線 mn 上取一點(diǎn) c，使線段 ac 最短依據(jù)是 （2）在直線 mn 上取一點(diǎn) d，使線段 ad+bd 最短依據(jù)是 【變式 7-1】（2021 秋北侖區(qū)期末）如圖，平原上有 a，b，c，d 四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池 （1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫(huà)圖確定蓄水池 h 點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最小； （2）計(jì)劃把河水引入蓄水池 h 中，

13、怎樣開(kāi)渠最短并說(shuō)明根據(jù) 【變式 7-2】（2021 春召陵區(qū)期中）如圖所示，碼頭、火車(chē)站分別位于 a，b 兩點(diǎn)，直線 a 和 b 分別表示鐵路與河流 （1）從火車(chē)站到碼頭怎樣走最近，畫(huà)圖并說(shuō)明理由； （2）從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫(huà)圖并說(shuō)明理由； （3）從火車(chē)站到河流怎樣走最近，畫(huà)圖并說(shuō)明理由 【變式 7-3】（2021 秋延慶縣期末）如圖，點(diǎn) p，點(diǎn) q 分別代表兩個(gè)村莊，直線 l 代表兩個(gè)村莊中間的一條公路根據(jù)居民出行的需要，計(jì)劃在公路 l 上的某處設(shè)置一個(gè)公交站 （1）若考慮到村莊 p 居住的老年人較多，計(jì)劃建一個(gè)離村莊 p 最近的車(chē)站，請(qǐng)?jiān)诠?l 上畫(huà)出車(chē)站的位置（用點(diǎn) m 表示），

14、依據(jù)是 ； （2）若考慮到修路的費(fèi)用問(wèn)題，希望車(chē)站的位置到村莊 p 和村莊 q 的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)诠?l 上畫(huà)出車(chē)站的位置（用點(diǎn) n 表示），依據(jù)是 點(diǎn) 【考點(diǎn) 8 利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行】 】 【例 8】（2021 秋渦陽(yáng)縣期中）已知：如圖，1+2180，ad求證：abcd（在每步證明過(guò)程后面注明理由） 【變式 8-1】（2021 春江城區(qū)期中）如圖，adbc 于 d，efbc 于 f，12，ab 與 dg 平行嗎？為什么？ 【變式 8-2】（2021 春懷寧縣期末）如圖，已知點(diǎn) ad，b 在同一直線上，12，3e，試判斷de、bc 有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由 【變式 8-3】

15、（2021 春明光市期末）如圖：已知1+2180，3b，請(qǐng)問(wèn) ab 與 de 是否平行，并說(shuō)明理由 點(diǎn) 【考點(diǎn) 9 利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等】 】 【例 9】如圖，已知 bdac，efac，點(diǎn) d，f 是垂足，12，求證：adgc 【變式 9-1】（2021 春彭澤縣期中）如圖，已知：abe+deb180，12，則f 與g 的大小關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由 【變式 9-2】（2021 春惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn) e、f 在直線 ab 上，點(diǎn) g 在線段 cd 上，ed 與 fg交于點(diǎn) h，cefg，cedghd （1）求證：cegf； （2）試判斷aed 與d 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由

16、； （3）若d30，求aed 的度數(shù) 【變式 9-3】（2021 春北流市期末）如圖，1c，2+d90，befd 于 g，證明bc 點(diǎn) 【考點(diǎn) 10 平行線中構(gòu)造平行線】 】 【例 10】（2021 春普寧市期中）已知 abcd，點(diǎn) p 為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接 ap、cp （1）探究： 如圖（1）pab145，pcd135，則apc 的度數(shù)是 ； 如圖（2）pab45，pcd60，則apc 的度數(shù)是 （2）在圖 2 中試探究apc，pab，pcd 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由 （3）拓展探究：當(dāng)點(diǎn) p 在直線 ab，cd 外，如圖（3）、（4）所示的位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫(xiě)出apc，pab，pcd 之間

17、的數(shù)量關(guān)系 【變式 10-1】（2021 春桂平市期末）（1）如圖，cef90，點(diǎn) b 在射線 ef 上，abcd，若abe130，求c 的度數(shù)； （2）如圖，把"cef90'改為"cef120'，點(diǎn) b 在射線 ef 上，abcd猜想abe與c 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由 【變式 10-2】（2021 春金水區(qū)校級(jí)期中）在綜合與實(shí)踐課上，老師計(jì)同學(xué)們以"兩條平行線 ab，cd 和一塊含 60角的直角三角尺 efg（efg90，egf60）'為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng) （1）如圖（1），若三角尺的 60角的頂點(diǎn) g 放在 cd 上，若221，求1 的度數(shù)； （2）如圖（2），小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn) e、