1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五章 第三節(jié)第三節(jié)一、梯度一、梯度 二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù) 多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、梯度一、梯度復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在 ,001()()cosniiif xf xxl且有且有假設(shè)假設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù) f 在點在點 可微，可微，0 x則函數(shù)在該點則函數(shù)在該點12(cos,cos,cos)lne為為l 方向上方向上其中其中的單位向量。的單位向量。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式令向量令向量這說明這說明方向：方向：f 變化率最大的方向變

2、化率最大的方向模模 : f 的最大變化率之值的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值：00012()()(),nf xf xf xgxxx0(),lf xg el 0()maxf xglcos( ,)lgg e 001()()cosniiif xf xxl12(cos,cos,cos)lne當(dāng)當(dāng)與與 的方向一致時，的方向一致時，legg目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義0(),grad f x即即00()()grad f xf x 0(),f x或或其中其中稱為向量微分算子或稱為向量微分算子或 Nabla算子算子.00012()()(),nf xf xf xgxxx設(shè)函數(shù)設(shè)

3、函數(shù)則稱向量則稱向量12( )( ,)nuf xf x xx在點在點 可微，可微，0 x00012()()(),nf xf xf xxxx為函數(shù)為函數(shù) f(gradient),在點在點 處的梯度向量，簡稱梯度處的梯度向量，簡稱梯度0 x記作記作00012()()(),nf xf xf xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12,nxxx 其中其中稱為向量微分算子或稱為向量微分算子或 Nabla算子算子.它本身沒有意義，將它本身沒有意義，將 作用于函數(shù)作用于函數(shù) f 就得到一向量，即就得到一向量，即0()f x00012()()(),nf xf xf xxxx同樣可定義二元函數(shù)同樣可定義二元函數(shù)

4、),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad在點在點處的梯度處的梯度 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：1. 方向?qū)?shù)可以表示成：方向?qū)?shù)可以表示成：000()(),(),llf xgradf xef xel 2. 若記若記，則利用梯度可將，則利用梯度可將12(,)ndxdx dxdxf 在點在點 x 處的全微分寫成：處的全微分寫成：( )( ),df xf x dx 方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式001()()cosniiif xf xxl目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求二元函數(shù)求二元函數(shù)22uxxyy在點在點 P（-1，1處處沿方向沿方向1(2,1

5、)5le 的方向?qū)?shù)，并指出的方向?qū)?shù)，并指出u 在該在該點沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？這個最大的方向點沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？這個最大的方向?qū)?shù)值是多少？導(dǎo)數(shù)值是多少？u 沿哪個方向減小的最快？沿著沿哪個方向減小的最快？沿著哪個方向哪個方向u 的值不變化？的值不變化？解：解：( 1,1)( 1,1)( 1,1)(,)(2,2)( 3,3)uuxyuxyyx ( 1,1)( 1,1)13,( 63)55luuel 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 方向?qū)?shù)取最大值的方向即梯度方向，其單位向方向?qū)?shù)取最大值的方向即梯度方向，其單位向，方向?qū)?shù)的最大值為，方向?qū)?shù)的最大值為( 1,1)3 2.

6、uu 沿梯度的負(fù)向即沿梯度的負(fù)向即的方向減小的最快。的方向減小的最快。1(1, 1)21( 1,1)2量為量為(2)(3) 下面求使下面求使 u 的變化率為零的方向的變化率為零的方向.令令(cos ,sin )le那么：那么：( 1,1)( 1,1),3cos3sinluuel 3 2sin()4令令0ul得得,44，此時，此時u 的值不變化。的值不變化。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解: (1) 點點P處切平面的法向量為處切平面的法向量為0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在點在點 P(1,1,1) 處的切平面方程處的切平面方程.故所求切平面方程為故所求切

7、平面方程為即即zyxzyxf2),(2) 求函數(shù)求函數(shù) f 在點在點 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向?qū)?shù)沿增加最快方向的方向?qū)?shù).求等值面求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函數(shù)函數(shù) f 在點在點P處增加最快的方向為處增加最快的方向為沿此方向的方向?qū)?shù)為沿此方向的方向?qū)?shù)為5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn考慮考慮: f 在點在點P處沿什么方向變化率為處沿什么方向變化率為0 ?注意注意: 對三元函數(shù)對三元函數(shù), 與與垂直的方向垂直的方向有無窮多有無窮多)(Pf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 梯度的運算法則梯度的運算法

8、則ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad為常數(shù)）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uufufgradgrad)()()6(uufuf)()(或證明：設(shè)證明：設(shè)12( )( ,)nuu xu x xx由一元函數(shù)的由一元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有鏈?zhǔn)椒▌t，有( )f u12( )( )( ),nf uf uf uxxx12

9、( ),( ),( )nuuuf uf uf uxxx12( ),( )nuuuf uf uuxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 試證試證rxrf)( .)()(rerfrfradg處矢徑處矢徑 r 的模的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知位于坐標(biāo)原點的點電荷已知位于坐標(biāo)原點的點電荷 q 在任意點在

10、任意點),(4222zyxrrqu),(zyxP試證試證證證: 利用例利用例3的結(jié)果的結(jié)果 這說明場強(qiáng)這說明場強(qiáng):處所產(chǎn)生的電勢為處所產(chǎn)生的電勢為垂直于等勢面垂直于等勢面,且指向電勢減少的方向且指向電勢減少的方向.Eugrad)4(2rerqE 場強(qiáng)rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)1. 定義定義 假如假如 n 元函數(shù)元函數(shù)( )uf x的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)( )if xx在點在點 對變量對變量 的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在 ，則稱這個偏導(dǎo)，則稱這個偏導(dǎo)0 xjx數(shù)為數(shù)為f 在點在點 先對變量先對變量 再對變量再

11、對變量 的二階偏導(dǎo)的二階偏導(dǎo)0 xixjx數(shù)，記為：數(shù)，記為：020()()jijix xf xfxxxx 或或0()ijx xfx或或(2)0()ijfx其中其中1,1injn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如：二元函數(shù)例如：二元函數(shù) z = f (x , y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個，的二階偏導(dǎo)數(shù)共有四個，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 有有22xz);,(yxfxx2zy x ),(yxfyx2( , );y xzfx yx y x其中其中 和和 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。( , )x yfx y( , )yxf

12、x y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階的一階) (y1nnzy x 偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxe22例例5. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :

13、此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立但這一結(jié)論并不總成立. .yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及的二階偏導(dǎo)數(shù)及 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy反例：反例：),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx目錄 上頁

14、 下頁 返回 結(jié)束 ,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那那么么定理定理.例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點在點 (x , y , z) 連續(xù)時連續(xù)時, 有有而初等而初等(證明略證明略) 證明證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 證明函數(shù)證明函數(shù)22222)(yxxy22222)(yxxy22lnyxz滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯02222yzxz證：證：xz22xz2222yzxz方程方程22yxx22222)