1、3.1 3.1 比例線段比例線段 比例的根本性質(zhì)比例的根本性質(zhì)復(fù)習(xí)回想復(fù)習(xí)回想 在小學(xué)，我們曾經(jīng)知道，假設(shè)兩個數(shù)的比值與另外兩個數(shù)的比值相等，就說這四個數(shù)成比例. 如今我們學(xué)習(xí)了實數(shù)，把這四個數(shù)了解為實數(shù)，寫成式子就是：acbd 假設(shè)假設(shè)a:b=c:d a:b=c:d 或或 ，那么稱，那么稱a a，b b，c c，d d成比例，其中成比例，其中b b，c c稱為比例內(nèi)項，稱為比例內(nèi)項，a a，d d稱為比例外項稱為比例外項. . 假設(shè)假設(shè) a a，b b，c c，d d 成比例，成比例，即即 ，那么，那么 ad=bc ad=bc 嗎？嗎？dcba在式子在式子 兩邊同乘兩邊同乘bdbd，得，得

2、ad=bc.ad=bc.acbd比例的根本性質(zhì)比例的根本性質(zhì): :假設(shè)假設(shè) , 那么那么ad=bcdcba 假設(shè) ad=bc，其中 a,b,c,d 為非零實數(shù)，那么 成嗎？與同伴交流！acbd 例例 1 知四個非零實數(shù)知四個非零實數(shù)a，b，c，d 成比例，以下各式成立嗎成比例，以下各式成立嗎？假設(shè)成立，請闡明理由？假設(shè)成立，請闡明理由.acbd,bdac.abcdbd,abcd由此得到由此得到.abcdbd 由于兩個非零數(shù)相等，那么它們的倒數(shù)也相等，因此，由于兩個非零數(shù)相等，那么它們的倒數(shù)也相等，因此，由式可以立刻得到式，即式成立由式可以立刻得到式，即式成立.由式得由式得 ad=bc. ad=

3、bc.abcd在上式兩邊同除以在上式兩邊同除以cdcd，得，得11.acbd在式兩邊都加上在式兩邊都加上1 1，得，得3.1 3.1 比例線段比例線段 比例的根本性質(zhì)比例的根本性質(zhì)重、難點重、難點重點：線段的比和成比例線段的概念及其有關(guān)計算重點：線段的比和成比例線段的概念及其有關(guān)計算. .黃金分割的定義及黃金分割比的探求黃金分割的定義及黃金分割比的探求. . 難點：判別四個數(shù)或四條線段成比例難點：判別四個數(shù)或四條線段成比例. .黃金分割點的黃金分割點的定義及相關(guān)計算類問題定義及相關(guān)計算類問題. . 如圖如圖3-1， 在方格紙上設(shè)小方格邊長為單位在方格紙上設(shè)小方格邊長為單位1有有ABC 和和AB

4、C， 它們的頂點都在格點上它們的頂點都在格點上. 試求出線段試求出線段AB，BC，AC， AB， BC， AC的長度，的長度， 并計算并計算AB與與AB， BC與與BC， AC 與與AC的長度的比值的長度的比值.普通地，假設(shè)選用同一長度單位量得兩條線段普通地，假設(shè)選用同一長度單位量得兩條線段AB， AB的長度的長度分別為，分別為， 那么把它們的長度的比那么把它們的長度的比 叫作這兩條線段叫作這兩條線段AB與與AB的比的比(ratio)， 記作記作 ，或，或 AB AB m n . 假設(shè)假設(shè) 的比值為，那么上述式子也可寫成：的比值為，那么上述式子也可寫成： 或或 AB AB .mnABmnA B

5、A BkA Bmn在四條線段中，假設(shè)其中兩條線段的比等于另在四條線段中，假設(shè)其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，線段， 簡稱為比例線段簡稱為比例線段. . 例如，知四條線段例如，知四條線段a a，b b， c c，d d，假設(shè)，假設(shè) ，那么，那么a a，b b， c c，d d是比例線段是比例線段. .acbd 知線段知線段 a，b，c，d 的長度分別為的長度分別為0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，問，問 a，b，c，d 是比例線段嗎？是比例線段嗎？例題探求例題探求 ，即，即 a，b，c，d 是比例線段是比例

6、線段.acbd0.81.2=0.40.4,23acbd，解：解： 古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克塞斯古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克塞斯(Eudoxus(Eudoxus，約前，約前400400約前約前347)347)曾經(jīng)提出一個問題：曾經(jīng)提出一個問題： 能否將一條線段能否將一條線段ABAB分成不相等的兩部分，使較短線段分成不相等的兩部分，使較短線段CBCB與較長線段與較長線段ACAC的比等于線段的比等于線段ACAC與原線段與原線段ABAB的比？的比？即，使得即，使得 成立？成立？C BA CA CA B 假設(shè)這能做到的話，那么稱線段假設(shè)這能做到的話，那么稱線段 AB 被點被點 C 黃黃金分割，點金分

7、割，點 C 叫作線段叫作線段AB的黃金分割點，較長的黃金分割點，較長線段線段 AC 與原線段與原線段 AB 的比叫作黃金分割比的比叫作黃金分割比. 如圖，設(shè)線段如圖，設(shè)線段ABAB的長度為的長度為1 1個單位，個單位，ACAC的長度為的長度為x x個個單位，那么單位，那么CBCB的長度為的長度為(1-x)(1-x)個單位個單位. .C BA CA CA B 根據(jù)式，列出方程：根據(jù)式，列出方程：11xxx 由于由于x0 x0，因此方程兩邊同乘以，因此方程兩邊同乘以x x，得，得 1x = x2 1x = x2 ，即即 x2+x-1=0. 618.0215ABAC因因 . 解得解得 舍去舍去.21

8、5,21521xx所以我們一定可以把一條線段黃金分割，所以我們一定可以把一條線段黃金分割，黃金分割比為黃金分割比為 ,它約等于它約等于0.618215 線段黃金分割的比值引起了人們極大的留意線段黃金分割的比值引起了人們極大的留意. . 許多建筑物的輪廓矩形許多建筑物的輪廓矩形( (例如古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟的例如古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟的正面輪廓矩形正面輪廓矩形) )的高與寬之比，門窗的寬與高之比都約等于的高與寬之比，門窗的寬與高之比都約等于0.6180.618，這樣看上去美觀，這樣看上去美觀. .巴臺農(nóng)神廟巴臺農(nóng)神廟印度泰姬陵正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比印度泰姬陵正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比. 著名畫家達(dá)著名畫家達(dá)芬奇的蒙娜麗莎構(gòu)圖就完美的表達(dá)了黃金分割在油芬奇的蒙娜麗莎構(gòu)圖就完美的表達(dá)了黃金分割在油畫藝術(shù)上的運用畫藝術(shù)上的運用. .經(jīng)過上面兩幅圖片可以看出來，蒙娜麗莎的頭和兩經(jīng)過上面兩幅圖片可以看出來，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中都處于完美的表達(dá)了黃金分割，使得這幅油畫看起肩在整幅畫面中都處于完美的表達(dá)了黃金分割，使得這幅油畫看起來是那么的和調(diào)和完美來是那么的和調(diào)和完美. .課堂小結(jié)課堂小結(jié)線段之間的一種數(shù)量關(guān)系：四條線段成比例線段之間的