1、兩角和與差的余弦兩角和與差的余弦 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy內內,作單位圓作單位圓,并作并作 、 和和角角,使使角的始邊為角的始邊為Ox，交圓，交圓O于于P1,終邊交圓終邊交圓O于于P2;角的始邊為角的始邊為OP2,終邊交圓終邊交圓O于于P3; 角的始邊為角的始邊為OP1,終邊交圓終邊交圓O于于P4; 此時此時,P1.P2.P3.P4的坐標分別為的坐標分別為P1(1,0) ,P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ),P4(cos(), sin(). 由由P1P3 = P2P4及兩點間距離公式及兩點間距離公式,得：得： cos(+)1+sin(+)=cos()c

2、os+sin()sin . 整理得整理得: cos(+)=coscossinsin. 證明證明:如圖所示如圖所示PPP P123 4 XyOcos(+)=coscossinsin兩角和與差的余弦 cos(+)=coscossinsin 公式的結構特征公式的結構特征: 左邊是復角左邊是復角+ 的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、的余弦積與正弦積的差的余弦積與正弦積的差. )cos()sin(sin)cos(cos)(cos(sinsincoscos將將 替換為替換為cos()=coscos+sinsin 簡記：簡記：)(C兩角和與差的余弦cos()=coscos+sinsin 公式的結構特征公式

3、的結構特征: 左邊是復角左邊是復角+的余弦的余弦,右邊是單角右邊是單角、 的余弦積的余弦積與正弦積的和與正弦積的和.簡記：簡記：)(C)cos(sinsincoscos兩角和與差的余弦公式：兩角和與差的余弦公式：兩角和與差的余弦 例例1 1. .不查表不查表, ,求求cos(435cos(435) )的的值值. . 解解:cos( 435 )=cos75 =cos(45 +30 ) =cos45 cos30 sin45 sin30 21222322426 應用舉例應用舉例兩角和與差的余弦不查表不查表, ,求求cos105 cos105 和和cos15 cos15 的值的值. .462 cos1

4、5 =462 答案：答案：cos105=練習兩角和與差的余弦23sin,(, ),cos,3243( ,),cos(),cos()2 例2、已知求),2(,32sin解：35sin1cos2)23,(,43cos27sin1 cos4 )cos(sinsincoscos)cos(sinsincoscos127253127253兩角和與差的余弦例例3.已知已知cos(30 )=15/17, 為大于為大于30 的銳角的銳角,求求cos 的值的值. 分析：分析： =( 30 )+ 30 解：解： 30 90 , 0 30 60 , 由由cos( 30 )=1517,得得sin ( 30 )=817,

5、 cos =cos( 30 )+ 30 = cos( 30 )cos 30 sin ( 30 )sin 30 = 1517 32 817 12 =（15 3 8）34.兩角和與差的余弦例例4.在在ABCABC中中,cosA=3,cosA=35,cosB=55,cosB=513,13,則則cosCcosC的值為的值為( ).( ). 分析分析: C=180 (A+B) cosC=cos(A+B)= cosAcosB+sinAsinB 已知已知cosA=35 ,cosB=513,尚需求尚需求sinA,sinB的值的值. sinA= 45 , sinB=1213, cosC=35 513 + 45

6、1213=3365.3365兩角和與差的余弦例例5.cos25 cos35 cos65 cos55 的值等于的值等于( ). (A) 0 (B) 12 (C) 32 (D)12解解: 原式原式=cos25 cos35 sin25 sin35 =cos(25 +35 ) =cos60 =12. 故選故選: ( )兩角和與差的余弦 1. 1.已知已知cos=cos=5 513, (,313, (,32)2)求求cos(+cos(+6)6)的值的值. . 2.cos 15 2.cos 15 sin15 sin15 = -= -。 3.3.在在ABCABC中中, ,若若sinAsinB=cosAcosB,sinAsinB=cosAcosB,則則ABCABC是是 ( ).( ). (A) (A)直角三角形直角三角形 (B)(B)鈍角三角形鈍角三角形 (C)(C)銳角三角形銳角三角形 (D)(D)不確定不確定. .答案答案: 1.( ) ; 2. ( ) ; 3. ( ).課堂練習兩角和與差的余弦 1.cos(+)=coscossinsin cos()=coscos+sinsin 2.利用公式可以利用公式可以求求非特殊角的三角函數非特殊角的三角