1、奮斗沒有終點任何時候都是一個起點解碼專訓一：巧用一元二次方程定義及相關概念求字母或代數式的值名師點金：巧用一元二次方程定義及相關概念求值主要體現在：利用定義或項的概念求 字母的值，利用根的概念求字母或代數式的值，利用根的概念解決探究性問題等.利用一元二次方程的定義確定字母的值或取值范圍1 .已知(m 3)x2+ jm 2x= 1是關于x的一元二次方程，則 m的取值范圍 是()A.3 B. m> 3C. m> 2 D. m> 2 且 m 32 .已知關于 x 的方程(m+1)xm2+ 1 + (m2)x 1 =0.(1)m取何值時，它是一元二次方程？并寫出這個方程.(2)m取何

2、值時，它是一元一次方程？信達利用一元二次方程的項的概念求字母的值3 .若一元二次方程(2a4)x2+(3a+6)x+a 8 = 0沒有一次項，則 a的值為 4 .已知關于x的一元二次方程(m1)x 2+ 5x+m21 = 0的常數項為0,求m 的值利用一元二次方程的根的概念求字母或代數式的值5 .已知關于x的方程x2+bx+a = 0的一個根是一a(a w0),則ab的值為()A. -1 B. 0 C. 1 D. 26.已知關于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k4=0的一個根為0, 求k的化7 .已知實數a是一元二次方程x2 2 015x+1 = 0的根，求代數式a2 2 014

3、aa2+12 015的值.利用一元二次方程根的概念解決探究性問題8.已知m, n是方程x2 2x1=0的兩個根，是否存在實數a使(7m214m + a)(3n2 6n7)的值等于8?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.解碼專訓二：一元二次方程的解法歸類名師點金：解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有開平方法、因式分解法、配方奮斗沒有終點任何時候都是一個起點法和公式法等，在具體的解題過程中，結合方程的特點選擇合適的方法， 往往會 達到事半功倍的效果.形如(x + m)2 = n(n > 0)的一元次方程適合用開平方法求解1 .方程4x2-25= 0的解為()A. x = |B. x

4、 = |C. x=± 微D. x=± 叁52252.用開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為 ()A. x2-5=5 B. 3x2=0C. x2+ 4=0 D. (x + 1)2=03 .用開平方法解下列方程：(1)9x 2=121;(x +3)2 2 = 0.信達當二次項系數為1,且一次項系數為偶數時，用配方法求解較方便4 .(中考蘭州)一元二次方程x2 8x1 = 0配方后可變形為()-_22.A. (x +4) =17 B. (x +4) = 15C. (x4)2= 17 D. (x4)2=155 .解方程：x2+ 4x 2 = 0.6 .已知 x210x+y2

5、 16y+89= 0,求x的值.能化成形如(x + a)(x + b) = 0的元二次方程適合用因式分解法求解7 .(中考寧夏)一元二次方程x(x 2) =2x的根是()A. 1B. 0C. 1 和 2D. 1 和 28 .解下列一元二次方程：(1)x2 2x = 0; (2)16x29=0; (3)4x2= 4x1.如果一個一元二次方程易化為一般式，則可用公式法來求它的解9 .用公式法解一元二次方程x24 = 2x,方程的解應是()A. x =2 ±yj52 1+ .3D.(2)x 2 4x+ 1 = 0.10 .解下列方程:(1)x 2 6x= 5;如果在方程中出現一些相同的代數

6、式，把它們用某一個字母代替后能形成一個較簡單的一元二次方程，這樣的方程可用換元法來求解11 .若(a + b)(a+b + 2) 8 = 0,則 a+b 的值為()，、3A. 4或 2 B. 3或2C. 2 或 4 D. 3 或212.解方程：(x -2)2-3(x2)+2=0.解碼專訓三：特殊一元二次方程的解法技巧奮斗沒有終點任何時候都是一個起點名師點金：一元二次方程的解法是本章的重點，也是解決其他問題的根本，只有熟悉各種解法的特點，才能準確地找出所給方程的最佳解法除了常見的幾種一元二次方程的解法外，對于特殊類型的方程，可采用特殊的解法構造法1 .解方程：6x2+19x+10 = 0.換元法

7、2 .解方程：(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)=48.3 .解方程：6x4 35x3+62x2 35x+6=0.配方法4 .若 m n, p 滿足 m-n = 8, m計 p2+16=0,求 m+ n+p 的值.特殊解法5 .解方程：(x -2 013)(x -2 014) =2 015 X2 016.解碼專訓四：巧用根的判別式名師點金：對于一元二次方程ax2+bx+c = 0(a W0),式子b2 4ac的值決定了一元 次方程的根的情況，利用根的判別式可以不解方程判斷方程根的情況，反過來，利用方程根的情況可以確定方程中待定系數的值或取值范圍利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1 .

8、(中考濰坊)已知關于x的方程kx2+ (1 k)x 1 = 0,下列說法正確的 是()A.當k=0時，方程無解B.當k=1時，方程有一個實數解C.當k=1時，方程有兩個相等的實數解D.當kw0時，方程總有兩個不相等的實數解2 .已知方程x2 2x m= 0沒有實數根，其中m是常數，試判斷方程x2+2mx + m(m 1) = 0有無實數根.利用根的判別式求字母的值或取值范圍3 .(中考北京)已知關于x的一元二次方程x2+2x+2k4 = 0有兩個不相 等的實數根(1) 求k 的取值范圍；(2) 若k 為正整數，且該方程的根都是整數，求k 的值利用根的判別式求代數式的值4 .已知關于x的一元二次

9、方程mX + nx2=0(mw0)有兩個相等的實數根,信達奮斗沒有終點任何時候都是一個起點2 mnm 4 2 n216的值.利用根的判別式確定三角形的形狀5 .已知a, b, c是三角形的三邊長，且關于 x的一元二次方程(bc)x2+ 2(a b)x +b a = 0有兩個相等的實數根，試判斷此三角形的形狀.解碼專訓五：根與系數的關系的應用名師點金：利用一元二次方程的根與系數的關系可以不解方程，僅通過系數就反映出方 程兩根的特征.在實數范圍內運用一元二次方程根與系數的關系時，必須注意 b2- 4ac>0這個前提，而應用判別式的前提是二次項系數 aw0.因此，解題時要 注意分析題目中有沒有

10、隱含條件 b2 4ac>0和a*0.信達奮斗沒有終點任何時候都是一個起點利用根與系數的關系求代數式的1 .設方程4x2 7x3=0的兩根為xi, X2,不解方程求下列各式的值：X2Xi(1)(x 1 3)(X2 3); (2) x + i +x+ i ； (3)x 1 x2.利用根與系數的關系構造一元次方程2 .構造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2 + 2x3= 0兩根的負倒數利用根與系數的關系求字母的值或取值范圍3 .(中考梅州)已知關于x的方程x2 + 2x+a2 = 0.(1) 若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a 的取值范圍；(2) 若該方程的一個根為1，求 a 的

11、值及該方程的另一根信達巧用根與系數的關系確定字母參數的存在性4.已知xi, X2是一元二次方程4kx2 4kx+k+1 = 0的兩個實數根，是否存 3在頭數k,使(2xi X2)(x 1 2x2) = 一萬成立？右存在，求出 k的值；右不存在， 請說明理由.解碼專訓六：常見熱點考題名師點金：本章主要考查一元二次方程的解法、 根的判別式、根與系數的關系、實際應 用問題等，考查形式多以選擇題、填空題、解答題形式出現，一元二次方程是中 考的熱點之一.解方程問題1 .用配方法解方程x22x1 = 0時，配方后所得的方程為()A. (x + 1)2= 0 B. (x 1)2 = 0C. (x + 1)2

12、= 2 D. (x 1)2 = 22. 一元二次方程x2 2x 3 = 0的解是()A. x1= 1, x2= 3 B. x=1, x2= 3C. x1= 1, x2= 3 D. x=1, x2= 33.(中考山西)解方程：(2x1)2= x(3x +2)-7.根的判別式的問題4下列關x 的一元二次方程有實數根的是()A. x2+1 = 0 B. x2 + x+1 = 0C. x2 x+1 = 0 D. x2 x1 = 05.已知關于x的一元二次方程(x + 1)2-mi= 0有兩個實數根，則m的取值范 圍是()A. nn>-1 B. nn>04C. nn> 1 D. mj&

13、gt; 2根與系數的關系6.已知方程x2 3，2x+1 = 0,構造個一元二次方程使它的根分別是原方程 兩根的倒數，則這個一元二次方程是（）A, x2+ 3啦x+1=0 B. x2+3&x1=0C. x2-372x41=0 D. x23加x1=0奮斗沒有終點任何時候都是一個起點實際應用問題7.(中考泉州)某校為培養青少年科技創新能力，舉辦了動漫制作活動， 小明設計了點做圓周運動的一個圖形， 如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端 點A, B出發，以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動.甲運動的路程 l( cm) 與時間t(s)滿足關系：1=2產+ 2t(t >0),乙以4 cm/s的

14、速度勻速運動，半圓 的長度為21 cm(1)甲運動4 s后的路程是多少？(2)甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多長時間？(3)甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多長時間？(第7題)8 .如圖，某海關緝私艇在C處發現正北方向30海里的A處有一艘可疑船只，測得它正以60 海里 /時的速度向正東方向航行緝私艇隨即調整方向，以75海里 / 時的速度航行，這樣可同時到達B 處進行攔截緝私艇從C 處到達 B 處航行了多少小時？（第 8題 ）新定義問題9 .（中考廈門）若xi, X2是關于x的方程x2+ bx+c = 0的兩個實數根，且 |x i|+|X2| =2|k|（k是整數），則稱方

15、程x2+bx+c = 0為“偶系二次方程”.如22.x +6x- 27= 0, x +4x + 4方程 x26x 27 = 0, X2 2x8=0, x2+3x27=0, =0都是“偶系二次方程”.判斷方程x2 + x12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由.信達奮斗沒有終點任何時候都是一個起點解碼專訓七：常見題型薈萃名師點金：一元二次方程題的類型非常豐富，常見的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情況，一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的應用等，只要我們掌握了不同類型題的解法特點，就可以使問題變得簡單明了一元二次方程的概念1 .方程mX 3xx2+ 2=0是關于

16、x的一元二次方程的條件是（）A.1 B. m 1C.0 D. m為任意實數元二次方程的解法2選擇適當的方法解下列方程：(x 1)2+ 2x(x1)=0; (2)x 2 6x 6=0;(3)6 000(1 x)2= 4 860; (4)(10 + x)(50 x) = 800.一元二次方程根的情況3 .在等腰三角形ABC,三邊長分別為a, b, c.其中a=5,若關于x的方 程乂2+8+2伙+(6 坊=0有兩個相等的實數根，求 ABC的周長.元二次方程根與系數的關系4 .設xi, X2是關于x的一元二次方程x2 + 2m奸n2+ 4m- 2 = 0的兩個實數根, 當m為何值時，X12 + X22

17、有最小值？最小值是多少？一元二次方程的應用5 .當x取何值時，多項式x23x與多項式5x15的值相等？6 .在一塊長16 m寬12 m的長方形荒地上，要建造一個花園，要求花園 面積是荒地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設計方案（第 6題 ）(1) 同學們都認為小華的方案是正確的，但對小芳的方案是否符合條件有不同意見，你認為小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請用方程的方法說明理由；(2)你還有其他的設計方案嗎？請在圖中畫出你所設計的草圖，將花園部 分涂上陰影，并加以說明答案解碼專訓一_ 一mi-3*0,一一1 . D點撥：由題息，得解得e2且評3.m+ 2>0, t 吊+1 = 2, r

18、一 ，、叫 一日2 .解：(1)當時，它是一兀二次萬程.解得 m= 1.出1 W0當rn 1時，原方程可化為2x2 x1=0.信達奮斗沒有終點任何時候都是一個起點,nn- 2*02(2)當或當m 1 + (m 2) w0且m2+1=1時，它是一兀一次萬程.m 1 = 0解彳3 1或0.故當m= 1或0時，它是一元一次方程.3. 2點撥：由題意得3a+6= 0,2a4w 0.解得a = - 2.信達24.解：由題意，得m1=0, 解得m= - 1.m- 1 w 0.5. A 點撥：,關于x的方程x2+ bx+a = 0的一個根是一a(a0),a2 ab+a = 0.a(a b+ 1) =0.-

19、a*0, - a b+1=0. - a b 1.6 .解：把 x = 0 代入(k+4)x2+3x+k2 + 3k4=0, 得 k2 + 3k 4= 0.解得 k1 = 1, kz= - 4. k + 4w0,kw 4,k=1.7 .解：:實數a是一元二次方程x22 015x + 1 = 0的根，.a2- 2 015a+1 = 0. .a2+ 1 = 2 015a, a2 2 015a = 1.2a2+122 015a22. a 2 014a 2 015 = a 2 014a 2 015 = a 2 014a a=a 2 015a =1.8.解：由題意可知， m2m- 1 = 0, n2 2n

20、1 = 0, . (7m214ma)(3n 6n7) =7(m2 2m)+ a3(n 2 2n) 7 = (7 + a)(3 7) = 4(7 + a),由一 4(7 +a) =8得 a= 9,故存在滿足條件的實數a,且a的值等于-9.解碼專訓二一- 2 一 一(2)(x +3) 2 = 0.(x + 3)2= 2.1=-3+V2, x2= 3也.1. C 2.C3 .解：(1)9x2= 121.3x= ±11.1111、1="3，x2=-. x4 . C 2. 一5 .解：x+4x2 = 0.x2+ 4x=2.(x +2)2= 6.x+ 2= ± 61d.乂1=

21、-2+*y6, x2= 2 - "J6.6 .解：x2- 10x+y216y+89= 0.(x2 10x+ 25)+(y2-16y+ 64) = 0.(x 5)2+ (y 8)2=0. . x = 5, y = 8.,x 5.一=一y 87 . D8 .解：(1)x2 2x=0, x(x2)=0, xi = 0, x2= 2.233(2)16x -9 = 0, (4x + 3)(4x 3) =0, x1=4, x2=(3)4x2 = 4x1, 4x2 4x+1=0, (2x1)2= 0, xi = x2= 2.9 . B10 .解：(1)x 2-6x + 5 = 0, a=1, b=

22、 6, c = 5, . b2 4ac=( 6)24X1X5=16, .x =6±V162X1 x= 5, x2 = 1.(2)x 2 4x+ 1 = 0,a= 1, b= 4, c= 1, .b2 4ac= ( 4)24X 1X 1=12. 呼=亨=2±木. x1=2+V3, x2=2乖.11 . A12 .解：(x 2)23(x2) + 2=0.設x2=y,原方程化為y2- 3y+2=0, 解彳y y = 1, y2= 2.當 y=1 時，x 2=1, x = 3,當 y=2 時，x 2 = 2, x = 4.原方程的解為xi = 3, X2 = 4.解碼專訓三1 .解

23、：將原方程兩邊同乘以6,得(6x) 2+ 19 (6x) +60= 0.解彳36x= - 15或6x= - 4. Xi= 一x2 =3.2 .解：原方程即(x 1)(x 4)(x 2)(x -3) =48, 即(x2 5x+4)(x 2-5x+6) =48.設 y=x2 5x+5,則原方程變為(y1)(y +1)=48.解彳4 y1 = 7, y2= 7.當 x2 5x+5= 7 時,當 x2 5x+5= 7 時，b2 4ac=(5)2 4X1X12= 23<0,方程無實數 根.5+ 335- 33原方程的根為x1=2 , x2=2 .3 .解：經驗證，x=0不是方程的根，原方程兩邊同除

24、以 x：得6x2 35x+ “356 八62 +2= 0, x x即 6 x2 + 4 -35 x + - +62=0. xx設 y=x+1,則 x2+ N=y2 2, xx原方程可變為6(y22) 35y+62=0.解彳3 y1 = 5, y= 10. 23,15-1當 x+=j時，解得 x = 2, x2 = 5； x 22,1 10 一. 一1當 x+-=-時，解得 X3= 3, X4=5 X 33經檢驗，均符合題意.1 一 1 原方程的解為 X1 = 2, X2 = 5，X3=3, X4= ".234 .解：因為 mi-n = 8,所以 nn= n + 8.將 n+8 代入

25、mn+ p2+16=0 中，得 n(n+8) + p2+16=0,所以 n2 + 8n+16+p2= 0,即(n+4)2 + p2= 0.又因為(n + 4)2>0, p2>0,所以n + 4 = 0, p = 0,解得n= - 4, p=0.所以 nn= n+8=4,所以 nn n+p= 4+ ( 4)+0=0.、x-2 013=2 016,一、5 .解：萬程組的解一定是原萬程的解，解彳#x = 4 029.x-2 014=2 015方程組x-2 013 = 2 015 , x-2 014 = 2 016的解也一定是原方程的解，解得x= - 2.V原方程最多有兩個實數解，:原方程

26、的解為X1 = 4 029, X2= -2.點撥：解本題也可采用換無法:設 x-2 014=t,則x2 013= t +1,原方 程可化為t(t +1)=2 015 X2 016,先求出t,進而求出X.解碼專訓四1 . C點撥：當k=0時，方程為一元一次方程，解為 x=1；當kw0時, 因為 b24ac=(1 k)2 4k ( 1) = k2 + 2k+1 = (k + 1)2>0,所以當 k=1 時, b2-4ac=4,方程有兩個不相等的實數解；當k=1時，b2-4ac=0,方程有兩個相等的實數解；當kw0時，b2-4ac>0,方程總有兩個實數解.故選 C2 .解：:x2 2x-

27、m= 0沒有實數根，.(2)2 4 ( m)= 4+ 4m<0即 m<-1.,對于方程 x2 + 2m奸m(m 1)=0,b2 4ac=(2m)24 m(m 1) = 4m>4方程x2+ 2m奸m(m 1)=0有兩個不相等的實數根.3 .解：(1)根據題意得 b24ac=4 4(2k 4) =20 8k>0,一 5解彳# k<2.由k為正整數，可得k = 1或k= 2.利用求根公式可求出方程的根為 x= 1 ±5-2k,.方程的根為整數，5 2k為完全平方數，一. k的值為2.4 .解：由題意可知，b2 4ac=n2+8m= 0,8m= n2,22222

28、mn mn mnmnmn(vm- 4) 2+ n216 n2+ 8m+ 16+n216 n2+ 8m n2- n2n2+n2- m2一 8.mn nT= =m m5.解：二,一元二次方程(bc)x2+ 2(a b)x+b a = 0有兩個相等的實數根,-2_2(a b) 4(bc) (ba) =0,4(a b)(a c) =0,.,.a=bM£ a = c,.此三角形是等腰三角形.解碼專訓五1 .解：根據一元二次方程根與系數的關系，有7x1 + x2=4, x1x2 =4-4，3 c、，7.八八(1)(x 1 3)(x 2 3) x1x2 3(x 1 + x2) + 9=43xd+

29、9= 3.x2 x1 x2 (x2 + 1) +x1(x1 + 1)2 2) x+1+x2+1 (x2+1)(x1+1)2.2, ,XiX2XiX2X1X2+ Xi + X2 + 12(X1 + X2) 2x1X2+ (X1 + X2)X1X2+ (X1 + X2) + 17 237二 -2X :444 1013 7,+ 14 4342,解：設方程5x2+2x 3=0的兩根為X1, X2,，、2(3) .(X1 X2)二印 ,2則 X1 + X2= c,59716'XX2=一35.=設所求方程為y2+py + q = 0,兩根為y1，y2,El1則 y1 = -G1 y2= _X2 p

30、 (y 1 + y2)= 一1X21111X1 + X221一 +=二；q=y1y2= X1 X2X1X2X1X23X115二一二.X1X23，、 o 25 一 力所求的萬程為 丫+3丫 3=0，即 3y+2y5=0.3 .解：(1) v22-4X1X(a-2) = 12-4a>0,解得 a<3.；a的取值范圍是a<3.(2)設方程的另一根為心，由根與系數的關系得解得a= - 1,x - 3.1 + X1 = - 2,1x1 = a 2,4 .解：不存在.理由如下：;一元二次方程4kx2 4kx+k+1=0有兩個實數根， .kw0,且 b2 4ac=(4k)24X4k(k+1

31、) = 16k". .k<0. X1, X2是方程4kx24kx+k+ 1 = 0的兩個實數根,Xl+ X2= 1 ,k+1XiX2=.4k(2X1 X2)(xok + 9L2X2)=2(Xl+X2) 9X1X2=一而.; (2x i X2)(x4k3.92, k = 5. 3.又丁 k<0, .不存在實數 k,使(2xiX2)(x i 2X2)= 2成立解碼專訓六1. D 2.A3 .解：(2x1)2= x(3x + 2)7.4x2 4x+1=3x2+2x 7.x2-6x + 8=0.x1 = 2, X2=4.4 . D 5. B2X +(X16 . C點撥：設方程x?

32、 342x+1 = 0的兩根分別為X1, X2,新方程為 bx + c = 0,新方程兩根分別為 X1 , X2 ,則 X1 + x2=312, X1 ,X2= 1, b= ，、1 , 1X1 + X2111,+ X2 )=一 + = 二 - 3v2, c= X1 , X2 = 1 , 一= 1.X1 X2X1X2X1 X2 X1X27 .解：(1)當 t=4 時，l=2t2+ |t =1x42 + 3X4=14.答：甲運動4 s后的路程是14 cm(2)設它們運動了 m s,根據題意，一 1 2 3. 一442m+2nn 4ml= 21.解得：m=3, m2=14(不合題意，舍去).答：甲、

33、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3 s.(3)設它們運動了 n s后第二次相遇，根據題意，得1 2 3n + 2n + 4n=21 義 3.解彳# ni = 7, n2= 18(不合題意，舍去).答：甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了7 s.8 .解：設緝私艇航行了 x小時到達B處.根據題意，得302+(60x) 2 = (75x) 2,一 22 一斛彳4xi=3，x2= 3(不符合題思，舍去).答：緝私艇從C處到達B處航行了 2小時.3點撥：本題是根據速度、時間、路程之間的關系和勾股定理等有關知識列方 程解答，把幾何知識、代數知識有機結合來進行解答.9 .解：不是，理由如下：解方程 乂2+乂-12 = 0,得 x1 = 4, x2= 3.