1、 讓更多的孩子得到更好的教育?二元一次方程組?全章復習與穩(wěn)固根底知識講解責編：趙煒【學習目標】1.了解二元一次方程組的有關概念，會解簡單的數(shù)字系數(shù)；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題，并能檢驗解的合理性.毛2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會方程與函數(shù)的關系.3.了解解二元一次方程組的“消元思想，從而初步理解化“未知為“和化復雜問題為簡單問題的劃歸思想.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、二元一次方程組的相關概念1. 二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)和，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 要點詮釋：1在方程中“元是指未知數(shù)，“二元就是

2、指方程中有且只有兩個未知數(shù).2“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項單項式的次數(shù)是1.3二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為 的形式.3. 二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點詮釋：1它的一般形式為其中，不同時為零2更一般地，如果兩個一次方程合

3、起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組3符號“表示同時滿足，相當于“且的意思4. 二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：1方程組中每個未知數(shù)的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數(shù)值代入兩個方程，假設兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.2方程組的解要用大括號聯(lián)立；3一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個. 要點二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的根本方法：代入消元法、加減消

4、元法和圖像法1用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：從方程組中選定一個系數(shù)比擬簡單的方程進行變形，用含有或的代數(shù)式表示或，即變成或的形式；將或代入另一個方程不能代入原變形方程中，消去或，得到一個關于或的一元一次方程；解這個一元一次方程，求出或的值；把或的值代入或中，求或的值；用“聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點詮釋： (1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比擬簡單或代入后化簡比擬容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另

5、一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.2用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：根據(jù)“等式的兩邊都乘以或除以同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；根據(jù)“等式兩邊加上或減去同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比擬簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值

6、；將兩個未知數(shù)的值用“聯(lián)立在一起即可.要點詮釋：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.3圖像法解二元一次方程組的一般過程：把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式 在直角坐標系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標出交點交點坐標就是方程組的解要點詮釋：二元一次方程組無解<=>一次函數(shù)的圖像平行無交點 二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交有一個交點 二元一次方程組有無數(shù)個解<=>一次函數(shù)的圖像重合有無數(shù)個交點利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相

7、反，求兩條直線的交點坐標可以轉化為求這兩條直線對應的函數(shù)表達式聯(lián)立的二元一次方程組的解.要點三、實際問題與二元一次方程組要點詮釋：1解實際應用問題必須寫“答，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；2“設、“答兩步，都要寫清單位名稱；3一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.要點四、二元一次方程組與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關系 1任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數(shù).2我們知道每個二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標的

8、點0，5，5，0，2，3恰好在一次函數(shù)y的圖像上，反過來，在一次函數(shù)的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.要點詮釋：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數(shù)的圖像相同.2. 二元一次方程組與一次函數(shù)每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式待定系數(shù)法：先設出函數(shù)表達式，再根據(jù)

9、所給的條件確定表達式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.2.根據(jù)所給條件, 列出一組含有待定系數(shù)的方程.3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.要點五、三元一次方程組1定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組.要點詮釋：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：1方程組中的每一個方程都是一次方程；2如果三個一元一次方程合起來共有

10、三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2三元一次方程組的解法解三元一次方程組的根本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)解三元一次方程組的一般步驟是： 1利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組； 2解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值； 3將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比擬簡單的方程，得到一個一元一次方程； 4解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值； 5將求得的三個未知數(shù)的值

11、用“合寫在一起要點詮釋：1有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比擬簡單的解法2要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，假設相等，那么是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解3. 三元一次方程組的應用列三元一次方程組解應用題的一般步驟：1弄清題意和題目中的數(shù)量關系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；2找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；3根據(jù)這些相等關系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；4解這個方程組，求出未知數(shù)的值；5寫出

12、答案(包括單位名稱)要點詮釋：(1)解實際應用題必須寫“答，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該舍去(2)“設、“答兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統(tǒng)一(3)一般來說，設幾個未知數(shù)，就應列出幾個方程并組成方程組【典型例題】類型一、二元一次方程組的相關概念1.以下方程組中，不是二元一次方程組的是 .A. B. C. D.【思路點撥】利用二元一次方程組的定義一一進行判斷.【答案】B.【解析】二元一次方程組中只含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的次數(shù)都是1，方程組中，可以整理為.【總結升華】準確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解此題的關鍵.舉一反三

13、：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復習409413 例12】【變式】假設是二元一次方程，那么a= ，b= 【答案】1, 02.以 為解的二元一次方程組是 .A. B. C. D.【答案】C.【解析】通過觀察四個選項可知，每個選項的第一個二元一次方程都是，第二個方程的左邊都是，而右邊不同，根據(jù)二元一次方程的解的意義可知，當 時，.【總結升華】不滿足或不全部滿足方程組中的各方程的選項都不是方程組的解.舉一反三：【變式】2021綿陽假設+|2ab+1|=0，那么ba2021=A1 B1 C52021 D52021【答案】解：+|2ab+1|=0，解得：，那么ba2021=3+22021=1應選：A類型

14、二、二元一次方程組的解法  3.解方程組【思路點撥】由于此題結構比擬復雜，不能直接消元，應先將方程組化為一般形式，再看如何消元，即用加減或代入消元法【答案與解析】解：將原方程組化簡得得：-3y3，得y-1，將y-1代入中，x9-54故原方程組的解為【總結升華】消元法是解方程組的根本方法，消元的目的是把多元一次方程組逐步轉化為一元一次方程，從而使問題獲解舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復習409413 例22】【變式】方程組的解是二元一次方程m(x+1)=3(x-y)的一個解，那么m= 【答案】3類型三、實際問題與二元一次方程組4.2021佛山某景點的門票價格如表：購票人數(shù)/人

15上每人門票價/元12108某校七年級1、2兩班方案去游覽該景點，其中1班人數(shù)少于50人，2班人數(shù)多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨購票，那么一共支付1118元；如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票，那么只需花費816元1兩個班各有多少名學生？2團體購票與單獨購票相比擬，兩個班各節(jié)約了多少錢？【思路點撥】1設七年級1班有x人、七年級2班有y人，根據(jù)如果兩班都以班為單位單獨購票，那么一共支付1118元；如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票，那么只需花費816元建立方程組求出其解即可；2用一張票節(jié)省的費用×該班人數(shù)即可求解【答案與解析】解：1設七年級1班有x

16、人、七年級2班有y人，由題意，得，解得：答：七年級1班有49人、七年級2班有53人；2七年級1班節(jié)省的費用為：128×49=196元，七年級2班節(jié)省的費用為：108×53=106元【總結升華】此題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時建立方程組求出各班的人數(shù)是關鍵舉一反三：【變式】(山東濟南)如下圖，教師節(jié)來臨之際，群群所在的班級準備向每位辛勤工作的教師獻一束鮮花，每束由4支鮮花包裝而成，其中有象征母愛的康乃馨和象征尊敬的水仙花兩種鮮花，同一種鮮花每支的價格相同，請你根據(jù)第一、二束鮮花提供的信息，求出第三束鮮花的價格【答案】解：設康乃馨每

17、支x元，水仙花每支y元根據(jù)題意，可列方程組，解得所以第三束鮮花的價格是x+3y5+3×417(元)答：第三束鮮花的價格是17元類型四、二元一次方程組與一次函數(shù)5. 如下圖，直線L1，L2相交于A點，請根據(jù)圖象寫出以交點坐標為解的二元一次方程組，并求出它的解【思路點撥】由圖知：直線l1、l2相交于A點，那么以兩個函數(shù)的解析式為方程組的二元一次方程組的解即為兩個函數(shù)圖象的交點坐標【答案與解析】解：設直線l1的解析式是y=kx+b，直線l1經(jīng)過1，3和0，4，根據(jù)題意，得：解得：那么直線l1的函數(shù)解析式是y=-x+4；同理得直線l2的函數(shù)解析式是y=2x+1那么所求的方程組是兩個函數(shù)圖象的

18、交點坐標為1，3，所以方程組的解為：【總結升華】一般地，每個二元一次方程組都對應著兩個一次函數(shù)，也就是兩條直線從“數(shù)的角度看，解方程組就是求使兩個函數(shù)值相等的自變量的值以及此時的函數(shù)值從“形的角度看，解方程組就是相當于確定兩條直線的交點坐標6. 甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時勻速駛出，甲車開往B城，乙車開往A城由于墨跡遮蓋，圖中提供的只是兩車距B城的路程s甲千米、s乙千米與行駛時間t時的函數(shù)圖象的一局部1乙車的速度為千米/時；2分別求出s甲、s乙與t的函數(shù)關系式不必寫出t的取值范圍；3求出兩城之間的路程，及t為何值時兩車相遇；4當兩車相距300千米時，求t的值【答案與解析】解：1120÷1=120千米/時，故答案為120；2設s甲與t的函數(shù)關系為s甲=k1t+b，圖象過點3，60與1，420，解得s甲與t的函數(shù)關系式為s甲=180t+600 設s乙與t的函數(shù)關系式為s乙=k2t，圖象過點1，120，k2=120s乙與t的函數(shù)關系式為s乙=120t 3當t=0，s甲=600，兩城之間的路程為600千米 s甲=s乙，即180t+600=120t，解得t=2當t=2時，兩車相遇 4當相遇前兩車相距300千米時，s甲s乙=300，即180t+600120t=300，解得t=1