1、(3)(3)半群中元素的冪半群中元素的冪 對于半群對于半群V= o V= o 是可結合的，元素的冪是可結合的，元素的冪: : x S x S 規定：規定：x1=x ,xn+1 = xn o x n Z+ x1=x ,xn+1 = xn o x n Z+ xn o xm = xn+m (xn)m = xnm xn o xm = xn+m (xn)m = xnm （4 4獨異點中的元素的冪獨異點中的元素的冪: : 獨異點獨異點 V= S, oV= e x S x S 規定：規定：x0= e ,xn+1 = xn o x n N x0= e ,xn+1 = xn o x n N (5) (5)子半群

2、和子獨異點子半群和子獨異點 如果如果V= SV= o 是半群，是半群， T TS S， T T對對V V中的運算中的運算o o封閉，那么封閉，那么 To 是是V V的子半群的子半群 如果如果V= SV=e 是獨異點，是獨異點， T TS S， T T對對V V中的運算中的運算o o 封鎖，且封鎖，且e Te T，那么，那么= T=e 是是V V的子獨異點的子獨異點上次課主要內容上次課主要內容一、半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數系統一、半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數系統(1)(1)設設V=S V= o 是代數系統，是代數系統，o o為二元運算，如果為二元運算，如果o o是可結合的，

3、則稱是可結合的，則稱V V為半群為半群(2)(2)設設V=S V= o 是半群，若是半群，若eSeS是關于是關于o o運算的單位元，則稱運算的單位元，則稱V V是幺半群，是幺半群， 也叫做獨異點有時也將獨異點也叫做獨異點有時也將獨異點V V記作記作(S(S， o o ，e)e)。例：設例：設S=( a 0 ) | a,bR S=( a 0 ) | a,bR 二階矩陣，其上的運算二階矩陣，其上的運算* *為矩陣的乘法為矩陣的乘法 0 b 0 b 二階單位矩陣為幺元二階單位矩陣為幺元 a 0a 0 V= S, V= ,e 為獨異點為獨異點 T= (0 0)|a R T= (0 0)|a R T T

4、是是S S的子集且對運算的子集且對運算* *封鎖，封鎖， 則則V1= T, V1= 是是V V的子半群的子半群 由于由于 e e不屬于不屬于T ,T ,且且V1V1中沒有幺元中沒有幺元 所以所以V1V1不是不是V V的子獨異點的子獨異點 二、半群和獨異點的同態映射二、半群和獨異點的同態映射 (1)(1)設設Vl= SlVl= o ，V2=S2V2= 是半群是半群 函數函數 f f ：Sl S2 Sl S2 若對任意的若對任意的x,y Slx,y Sl有有 f(x o y ) = f(x) f(x o y ) = f(x) * * f(y) f(y) 運算的象等于象的運算運算的象等于象的運算 則

5、稱則稱f f為半群為半群VlVl到到V2V2的同態映射，簡稱為同態的同態映射，簡稱為同態 (2)(2)設設Vl= SlVl= e1，V2=S2V2= ,e2 是獨異點，是獨異點， 函數函數 f f ：Sl S2Sl S2若對任意的若對任意的x,y Slx,y Sl有有 f(x o y ) = f(x) f(x o y ) = f(x) * * f(y) f(y) 運算的象等于象的運算運算的象等于象的運算 且且 f(e1)=e2f(e1)=e2 則稱則稱f f為獨異點為獨異點VlVl到到V2V2的同態映射，簡稱同態的同態映射，簡稱同態例：上面的例子可定義例：上面的例子可定義V V 到到V1V1的

6、同態映射的同態映射 f f 是個半群自同態是個半群自同態例：例：與與是二個半群及獨異點是二個半群及獨異點建立映射建立映射 f : N N4 f(x)= x (mod 4) f : N N4 f(x)= x (mod 4) 可驗證可驗證f f是保持運算的是保持運算的例：設例：設S=a,b,c S=a,b,c 運算表為右邊，運算表為右邊， V=S,V= 為半群為半群 構造構造 V1= V1= 定義函數定義函數 fa(x)=afa(x)=a* *x fa x fa SSSS 其中的運算其中的運算o o為函數的復合為函數的復合 則則V1V1也是半群也是半群 a b ca a b cb b c a c

7、c a bfa(a)=a fa(b)=b fa(c)=cfb(a)=b fb(b)=c fb(c)=afc(a)=c fc(b)=a fc(c)=b建立建立S S到到SSSS的映射的映射 h: S SSh: S SS h(x)=fx h(a h(x)=fx h(a* *b)=fab)=fa* *b b由于由于 fafa* *b bx)=(ax)=(a* *b)b)* *x=ax=a* *(b(b* *x)=fa(fb(x)x)=fa(fb(x) =(fao fb)(x) =(fao fb)(x)所以有所以有 h(ah(a* *b)=fab)=fa* *b=faofb b=faofb 是保持運算

8、的映是保持運算的映射射 所以所以 h h是是V V到到V1V1的半群同態的半群同態若取值域若取值域 h hS)= fa,fb,fc S)= fa,fb,fc SS SS 那么那么 V2= V2= 那么那么 h h是是V V到到V2V2的半群同構的半群同構O fa fb fcfa fa fb fcfb fb fc fafc fc fa fb例：給定一個正方形，定義以中心做變例：給定一個正方形，定義以中心做變換：換：r1r1：保持不動：保持不動 r2r2：逆時針旋轉：逆時針旋轉9090度度 r3r3：逆時針旋轉：逆時針旋轉180180度度 r4r4：逆時針旋轉：逆時針旋轉270270度度定義兩個變

9、換的合成運算定義兩個變換的合成運算aob aob 表示先進行表示先進行a a變換再進行變換再進行b b變換變換可看出：對運算封閉可看出：對運算封閉 運算具有結合律運算具有結合律 有幺元有幺元r1r1 任意元素任意元素a a關于合成運算均有逆元關于合成運算均有逆元a-1a-1 使得使得aoa-1= a-1oa= r1aoa-1= a-1oa= r1 很多代數系統均具有以上三個性質很多代數系統均具有以上三個性質把具有以上三個性質的代數系統抽象出把具有以上三個性質的代數系統抽象出來稱為來稱為“群群”O r1 r2 r3 r4r1 r1 r2 r3 r4r2 r2 r3 r4 r1 r3 r3 r4

10、r1 r2 r4 r4 r1 r2 r3 10101 1 群的定義與性質群的定義與性質一、群的定義一、群的定義 1 1、定義、定義 設設G 是代數系統，是代數系統， 為二元運算為二元運算 假設假設 運算是可結合的，存在單位元運算是可結合的，存在單位元 e Ge G， 并且對并且對G G中的任何元素中的任何元素x x都有都有x-1 Gx-1 G，則稱，則稱G G為群。為群。 在含幺半群的基礎上添加了條件：每個元素均有逆元在含幺半群的基礎上添加了條件：每個元素均有逆元 群是半群和獨異點的特定情況群是半群和獨異點的特定情況, ,有關半群和獨異點的性質有關半群和獨異點的性質在群中均成立在群中均成立例：

11、常規的群例：常規的群Z+，Q+，R+都是群都是群而而 N+， Z+，Z+Z+正整數正整數 不是群不是群例：設例：設n n是大于是大于1 1的正整數，的正整數， Mn (R) n+ n階實矩陣的加法是群階實矩陣的加法是群 Mn (R) n n階實矩陣的乘法不是群階實矩陣的乘法不是群 任何矩陣并非均可逆任何矩陣并非均可逆例：例：P(B) + +為集合的對稱差運算是群為集合的對稱差運算是群 每個集合的逆元是什么？幺元每個集合的逆元是什么？幺元? ?例：例： Zn +n Zn = 0 Zn = 0，1 1，2 2， ，n n一一11 +n +n為模為模n n加法加法 是群是群 （幺元（幺元 0 0 、

12、每個元素、每個元素x x的逆元為的逆元為n-xn-x）例：例： AA oo o為函數的復合運算為函數的復合運算 是否是群？是否是群？ A A上的雙射函數構成的集合上的雙射函數構成的集合? ?2 2、一個典型的群、一個典型的群 例：設例：設G Ga,b,c,e a,b,c,e 為為G G上的二元運上的二元運算算 G G的運算具有以下的特點：的運算具有以下的特點： e e為為G G中的單位元；中的單位元； 運算是可交換的；運算是可交換的； G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己； 在在a,b,ca,b,c三個元素中，任何兩個元素三個元素中，任何兩個元素 運算的結果都等于另一個

13、元素運算的結果都等于另一個元素 稱這個群為稱這個群為K1einK1ein四元群，簡稱四元群四元群，簡稱四元群 e a b c e e a b ca a e c bb b c e a c c b a e 二、特殊的群二、特殊的群 1 1、定義、定義11115 5 (1) (1)若群若群G G是有窮集，則稱是有窮集，則稱G G是有限群是有限群 否則稱為無限群否則稱為無限群 群群G G的基數稱為群的基數稱為群G G的階的階 (2)(2)只含單位元的群稱為平凡群只含單位元的群稱為平凡群 (3)(3)若群若群G G中的二元運算是可交換的，中的二元運算是可交換的， 則稱則稱G G為交換群或阿貝爾為交換群或

14、阿貝爾(Abel)(Abel)群群例：例：Z+，R+ 都是無限群都是無限群 Zn +n 是有限群是有限群 K1einK1ein四元群是四元群是4 4階有限群階有限群 以上均為可交換群以上均為可交換群 Mn (R) n n階可逆實矩陣的乘法是群階可逆實矩陣的乘法是群 單位矩陣為幺元單位矩陣為幺元 不是交換群不是交換群三、群的性質三、群的性質1 1、定理、定理11112 2 設設G G為群，為群， a,bG a,bG 方程方程 ax=bax=b和和ya=bya=b在在G G中有解且有惟一解中有解且有惟一解證明：證明： 因為至少有一個因為至少有一個x x滿足滿足ax=b,ax=b,即即x=a-1bx

15、=a-1b如果如果x x是是G G中滿足中滿足ax=bax=b的任何元素的任何元素有有 x=ex=(a-1a)x=a-1(ax)=a-1bx=ex=(a-1a)x=a-1(ax)=a-1b故故 x=a-1bx=a-1b是滿足等式的唯一元素是滿足等式的唯一元素 同理可證滿足同理可證滿足ya=bya=b的唯一解為的唯一解為y=ba-1 y=ba-1 2 2、群滿足消去律、群滿足消去律定理定理10102 2 設設G G為群，為群， a,ba,b，cG cG 1) 1)假設假設 ab = ac ab = ac 那么那么 b = cb = c 2) 2)假設假設 ba = ca ba = ca 那么那么

16、 b = cb = c證明：證明： 因為因為G G中的每個元素都有逆元中的每個元素都有逆元 a-1(ab) = b a-1(ac) = ca-1(ab) = b a-1(ac) = c 由于由于 a-1(ab) a-1(ab) a-1(ac) a-1(ac) 所以所以 b = cb = c例例: :設設 G G 解方程解方程 a a X X 因為該群中的每個集合的逆元因為該群中的每個集合的逆元為其本身為其本身X Xa a1 1 a a解方程解方程YYa,ba,bbbY=ba,b-1=aY=ba,b-1=a3 3、設設G G為群，為群， a,bG a,bG （a a* *b b）-1= b-1-

17、1= b-1* * a-1 a-1證明：證明： （b-1b-1* * a-1 a-1）* *(a(a* *b) = b) = (a (a* *b) b) * *（b-1b-1* * a-1 a-1）= = 例例 設設G G為群，為群， a,bG a,bG ，k Z+ k Z+ 證明證明: (a-1ba)k = a-1ba : (a-1ba)k = a-1ba 的充分必要條件是的充分必要條件是 bk =b bk =b 證證 充分性充分性 展開展開 (a-1ba)k (a-1ba)k 因為條件因為條件bk =b bk =b a-1baa-1ba 必要性必要性 將條件左邊展開將條件左邊展開 利用消去

18、律得到利用消去律得到bk =b bk =b 例例 設設G G為群，為群， a,bG a,bG 有有ab)2=a2b2 ab)2=a2b2 證明證明: ab = ba : ab = ba 證證 展開條件等式展開條件等式 (ab)2 (ab)2 a2b2 a2b2 abab abab aabb aabb 利用消去律得到利用消去律得到4 4、 證明證明 幺元是群中唯一的等冪元幺元是群中唯一的等冪元 證證: : 設設x x是任意的等冪元是任意的等冪元 即即 xx=x xx=x e = x-1x =x-1 (x x) = ( x-1 x ) x = e x = x e = x-1x =x-1 (x x)

19、 = ( x-1 x ) x = e x = x 該性質也是群的一個特征不滿足該性質的不是群）該性質也是群的一個特征不滿足該性質的不是群）N10, 10 中的等冪元有中的等冪元有1 1、0 0、5 5、6 6，等冪元不唯一故不是，等冪元不唯一故不是群而是獨異點群而是獨異點 5 5、群中元素的冪、群中元素的冪( (群中元素可以定義負整數次冪群中元素可以定義負整數次冪 ) ) 定義：定義： G G是群，是群， aG aG ， n Z n Z 則元素則元素a a的的n n次冪次冪: : e n = 0 e n = 0 規定：規定：an = an-1a n0an = an-1a n0 (a-1)m n

20、0 n=-m (a-1)m n0 n=-m 由于群的所有元素由于群的所有元素a a都有唯一的逆元都有唯一的逆元a-1,a-1,所以可以定義負整數次冪所以可以定義負整數次冪群中元素可以定義負整數次冪群中元素可以定義負整數次冪 : :即：即： a-r=(ar)-1 a-r=(ar)-1 性質：性質： （ar)-1 = (a-1)rar)-1 = (a-1)r在在ZnZn中中 ( (設設 n=5n=5） 幺元幺元0 01-11-14 24 21 13 33 31 12 2 4 41 11 01 01 10 0那么：那么：2 23 3（2 21 13 33333 3 3535353534 4元素冪的性

21、質元素冪的性質定理定理10101 1 設設G G為群為群 則則G G中的冪運算滿足：中的冪運算滿足：(1)(1)aG aG ，(a-1)-1 = a(a-1)-1 = a(2)(2)a,bG,(ab)-1=b-1a-1a,bG,(ab)-1=b-1a-1(3)(3)aG anam=an+m n,mZ aG anam=an+m n,mZ (4)(4)aG (an)m=anm n,mZ aG (an)m=anm n,mZ (5)(5)若若G G為交換群，那么為交換群，那么(ab)n=anbn (ab)n=anbn 6 6、元素的階、元素的階定義定義10104 4 設設G G是群，是群，a Ga G

22、，使得等式，使得等式: ak=e: ak=e 成立的最小正整數稱為成立的最小正整數稱為a a的階的階(a(a的周期），的周期）， 記作記作 a a=k =k 這時也稱這時也稱a a為為k k階元階元 若不存在這樣的正整數若不存在這樣的正整數k k，則稱，則稱a a為無限階元為無限階元例如例如Z5+5中，中， 25=0 15=0 35=0 4525=0 15=0 35=0 450 0 2 2、1 1、3 3和和4 4是是5 5階元階元 0 0是是1 1階元階元在在 Z6 +6 中中 2 2和和4 4是是3 3階元，階元，3 3是是2 2階元，階元， 1 1和和5 5是是6 6階元，階元，0 0是是1 1階元，階元，在在KleinKlein四元群中四元群中 e e為為1 1階元階元 其他元素都是其他元素都是2 2階元階元 在在Z+中，中，0 0是是1 1階元，其他的整數都是無限階元階元，其他的整數都是無限階元 定理定理10.3 10.3 設設G G為群，為群，a Ga G，且，且|a|=r|a|=r 設設k k是整數，那么是整數，那么1 1） ak=e ak=e 當