1、第六節(jié) 自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.定義：教材P77一、穩(wěn)定性的概念說明:(1)從時(shí)域響應(yīng)曲線看系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)在單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)為： 所有的指數(shù)項(xiàng)在t時(shí)都趨向于零； 實(shí)數(shù)特征根或特征根的實(shí)部反映的信息應(yīng)為負(fù)； 穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身固有的特性； 可以通過研究特征根來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性rkknktwkqitpjtweDeAAtcnkkj1210)1sin()( (2)從特征方程看系統(tǒng)的穩(wěn)定性 特征方程1+GH=0的根，就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 特征方程及特征根反映了系統(tǒng)響應(yīng)的形狀特征，但不反映系統(tǒng)的全部信息，無法定量給出系統(tǒng)的全部解； 穩(wěn)定性只是從定性角度判定系統(tǒng)是否有實(shí)用價(jià)值和進(jìn)一步分析的必要； 所

2、有特征根必須是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。一、穩(wěn)定性的概念 (3)從系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖看系統(tǒng)的穩(wěn)定性 主要是看閉環(huán)極點(diǎn)分布圖； 注意區(qū)分開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)。 (4)在分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，我們所關(guān)心的是系統(tǒng)自身的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入作用下，方程的解在t時(shí)的漸進(jìn)行為，這種解就是齊次方程的解。按李氏穩(wěn)定性定義，指的是平衡狀態(tài)穩(wěn)定性，即受擾后的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，嚴(yán)格說來兩者是不同的。但已經(jīng)過證明，對(duì)于線性系統(tǒng)而言，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是等價(jià)的。一、穩(wěn)定性的概念 閉環(huán)特征方程： 1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)數(shù)部分，或閉環(huán)傳遞函

3、數(shù)的所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平面二、穩(wěn)定性的條件01)(1110GHasasasasDnnnn (1)經(jīng)線性化后的系統(tǒng)特征方程式所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)數(shù)部分，則實(shí)際系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。 (2)線性化系統(tǒng)特征方程所有根中至少有一個(gè)為正實(shí)數(shù)或具有正實(shí)數(shù)部分，則實(shí)際系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 (3)線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中存在一個(gè)根為零或具有實(shí)部為零（純虛根），其余均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分，則實(shí)際系統(tǒng)就不能按線性系統(tǒng)來判斷。這時(shí)實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性與被忽略掉的高階微量項(xiàng)有關(guān)，需要使用原始的非線性數(shù)學(xué)模型研究這類實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.李雅普諾夫第一定理（小偏差理論） 1.基本方法：根據(jù)特征方程式的根的

4、性質(zhì)直接判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2.間接方法： 代數(shù)判據(jù)（勞斯判據(jù)和胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)） 根軌跡法 頻率判據(jù)（奈奎斯特判據(jù)） 李雅普諾夫第二方法 該方法是利用特殊的方法構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)（即李雅普諾夫函數(shù)），然后利用對(duì)此函數(shù)的特征分析來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。三、判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法 1.代數(shù)方程的有關(guān)性質(zhì)特征方程：有n個(gè)根為 ，則有：四、勞斯判據(jù)和胡爾維茨判據(jù))0(0)(01110aasasasasDnnnnnpppp，3210) 1()()()(0)()(2134213212322112121nnnnnnnnpppsppppppsppppspppspspsps或nnaaaaann，個(gè)根之積根積和，三根積

5、和，雙根積和單根和，13211, 根與系數(shù)的關(guān)系： (1) 都具有負(fù)實(shí)部的必要條件之一是：特征方程的所有系數(shù)符號(hào)相同； (2) 都具有負(fù)實(shí)部的必要條件之二是：特征方程的所有系數(shù)均不為零，即沒有缺項(xiàng)。npppp，321npppp，3212.勞斯穩(wěn)定判據(jù)步驟1和2：列勞斯陣列和陣列參數(shù)計(jì)算步驟3：判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (1)第一列所有系數(shù)均不為零 符號(hào)相同（如都為正），則系統(tǒng)穩(wěn)定。 符號(hào)不同，計(jì)算從上到下符號(hào)改變的次數(shù)，這就是含有正實(shí)根的數(shù)目。 第一列所有系數(shù)均不為零時(shí)的勞斯判據(jù)為：特征方程的根全部在根平面左半部分的充分必要條件是方程式的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號(hào)。第一列的系數(shù)中

6、如果出現(xiàn)負(fù)號(hào)，則勞斯行列表中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)就等于特征方程式的實(shí)部為正的實(shí)數(shù)根的數(shù)目，也就是特征根在根平面右半部分的數(shù)目。例：特征方程 ，試判斷穩(wěn)定性。0012233asasasa解：勞斯陣列為：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa穩(wěn)定的充要條件為：0123,aaaav 均大于零00321aaaav 且勞斯判據(jù)的例子特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論q 用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，不會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；q勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點(diǎn)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。例：系統(tǒng)的特征方程為：0543

7、22345sssss012345ssssss0050093205905 .15 .0532411-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 329 勞斯陣第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號(hào)變化兩次，表示有兩個(gè)極點(diǎn)在s的右半平面。q 勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。 處理辦法：用很小的正數(shù) 代替零的那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零（即 ）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號(hào)相反，計(jì)作一次符號(hào)變化。例：0122234ssss01234sssss001002201)( 002211122令 則 故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。22 0122,22特殊情況下勞斯陣列

8、的列寫及結(jié)論q 勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。例如:502548242)2)(25)(4(2345221ssssssss)4(22s處理辦法：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論例：0161620128223456ssssss0123456sssssss00080

9、0031008300000161220161221620811 6 81 6 81 3 03 8 0 可見，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。大小相等，位置徑向相反的根可由輔助方程求得：0)4)(2(22ss2,2,4, 32, 1jsjs08624 ss033 ss 輔助方程為： ，求導(dǎo)得： ，用1，3，0代替全零行即可。3.胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（主要用于4階以下的系統(tǒng)）設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：)0(0)(01110aasasasasDnnnn全部特征根的實(shí)部都為負(fù)數(shù)的充要條件是各胡爾維茨行列式 都大于零，即 。121，nnn0k胡爾維茨行列式的構(gòu)造：(1) 的主對(duì)角線上按從左上到右下依次寫為 ；(2)主對(duì)角線以上各

10、元素的下標(biāo)依次逐一上升，以下各元素的下標(biāo)依次逐一下降；(3)凡元素的下標(biāo)大于n或小于零者均寫為零；(4)實(shí)際上只需檢驗(yàn) 即可。0k), 3 , 2 , 1(,321nkaaaak, 0, 031nn五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用q 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-4 系統(tǒng)的特征方程為： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。05432234ssss解：排列勞斯陣如下：00500605104253101234sssss 因?yàn)?，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由于勞斯陣第一列有兩次符號(hào)變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。 )40( , 0iai五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用例3-5系統(tǒng)的特征方程為

11、： 試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。 014 . 02 . 005. 0001. 0234ssss解：系統(tǒng)的特征方程為： 0100040020050234ssss列胡爾維茨行列式如下：10002001004005000100020010040050, 0501, 02001400502040050010002001040050301, 01000434a且所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于 所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計(jì)算 這樣可以減小一半的計(jì)算量。, 0ia。、即可或4231五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用例3-6系統(tǒng)的特征方程為： 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。04

12、623482422345sssss解：勞斯陣如下：0004648223241345sss 行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：3s2324)(46482)(2424sssQsssQ或其導(dǎo)數(shù)為： 將4,48或1,12代替 行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：sssQ484)(33s002300100231201212324223241012345ssssss 勞斯陣第一列系數(shù)全為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定因?yàn)?行全為零，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下：)50( , 0iai1,230) 1)(23(, 0)(4, 32, 122jsjssssQ，有令3s五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用設(shè)剩余的一個(gè)根為-p

13、。則： ，整理得：0)2324)(24ssps0232324242345pspsspss比較系數(shù)得：-p=-2極點(diǎn)分布如下：23j23j1j1j2五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用q 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù) 。pK例3-7已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。)2)(1(sssk解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ksssksssksssks23)2)(1(1)2)(1()(23特征方程為：02323ksss五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)

14、用勞斯陣列：kkkssss0363210123要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，0k勞斯陣第一列皆大于06006032kkkk有6Kp所以，臨界放大系數(shù)q 確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度） 利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 利用實(shí)部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則 ，表示穩(wěn)定裕量為0。0 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度

15、越高。可用 代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。s zs例系統(tǒng)特征為： ，可知它是穩(wěn)定的。令 則：068523sss1 zs022, 06) 1(8) 1(5) 1(2323zzzzzz即010122110123zzzz1z 行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替 行。輔助方程為： ，其系數(shù)為1，0。其解為：1z0222s12, 1js有一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。五、勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用dj可用共軛極點(diǎn)對(duì)負(fù)實(shí)軸的張角 來表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng) 時(shí)，表示極點(diǎn)在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。 越小，穩(wěn)定性