1、六年級數學思維訓練分數裂項知識導航六年級數學思維訓練分數裂項 可前后抵消，這種拆項計算稱為裂項法 . 裂項分為分數裂項和整數裂項， 常見的裂項方法是 將數字分拆成兩個或多個數字單位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的 分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關系，找出共有部分，裂項的題目無需 復雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它 們消去才是最根本的。1. 分數裂差型運算公式：(1) 對于分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即an (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2)裂差型特征： 分子全部相同， 最簡單形式為都是

2、 1的，復雜形式可為都是 x(x 為任意自然數 )的，但是 只要將 x 提取出來即可轉化為分子都是 1的運算。 分母上均為幾個自然數的乘積形式，并且滿足相鄰 2 個分母上的因數“首尾相接” 分母上幾個因數間的差是一個定值。2. 分數裂和型運算公式：b形式的，這里我們把較小的數寫在前面，即 a b ，那么有 1ab1 1 1b a(a b)1n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2)2n (n 1) (n 1)(n 2)(2) 對于分母上為 3 個或 4個連續自然數乘積形式的分數，即：n (n 1) (n1 2) (n 3) 形式的，我們有：1(n 1) (n 2) (n 3)1)a

3、b11abba2)abababba1 1 1裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環節是 “兩兩抵消達到簡化的目的” ，裂和型運算的題目不僅有 “兩兩抵 消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。3. 整數裂項運算公式：1(1) 1 2 2 3 3 4 . (n 1) n 1(n 1) n (n 1)31(2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 . (n 2) (n 1) n (n 2)(n 1)n(n 1)4精典例題 1: 1 213 4 2 314 5 3 415 66 718 9 7 8 19 10思路點撥觀察分數特征，此題屬于裂差型分母為 4 個連續自然數乘積

4、，可直接運用公式。 35 17 18 19 20模仿練習 1:331 2 3 4 2 3 4精典例題 2:198 9 10思路點撥如果式子中每一項的分子都相同， 那么就是一道很常見的分數裂項的題目 但是本題中分子 不相同， 而是成等差數列， 且等差數列的公差為 2相比較于 2，4，6，這一公差為 2 的 等差數列（該數列的第 n個數恰好為 n的 2倍） ，原式中分子所成的等差數列每一項都比其大3, 所以可以先把原式中每一項的分子都分成 3 與另一個的和再進行計算5 7 17 19 模仿練習 2: 1155 ( 2 53 4 3 47 5 L 8 19710 9 1109 11)精典例題 3:

5、1324542356L34671210 11 13 14思路點撥觀察可知原式每一項的分母中如果補上分子中的數，以先將每一項的分子、分母都乘以分子中的數即：就會是 5 個連續自然數的乘積， 所以可原式22232 42 521 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 712210 11 12 13 14現在進行裂項的話無法全部相消， 需要對分子進行分拆， 性，可以用平方差公式： 32 1 5 4 ， 42 2 6 4， 52考慮到每一項中分子、3 7 4 分母的對稱12精典例題 4: 2 2 33234234592 3 4L 1011 2 L 100和運算公式的代入有 11 (1 11

6、) 12 ， 1 11 2 ， 1 2 (1 2) 22，2 3 ，1 1 1精典例題 5: 1 1 2 1 2 3 L L思路點撥本題為典型的“隱藏在等差數列求和公式背后的分數裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規律。從第一項開始，對分母進行等差數列求模仿練習 3:231 (1 2) (1 2) (1 2 3)4(1 2 3) (1 2 3 4)50(1 2 3 L 49) (1 2 3 L 50)精典例題 6:132152 1172 11 1 122292 1 112 1 132 1思路點撥這題是利用平方差公式進行裂項：22a2 b2 (a b) (a b

7、)精典例題 7: 11 3 32 5 53 7 L50299 101思路點撥 式子中每一項的分子與分母初看起來關系不大，但是如果將其中的分母根據平方差公式分 別變為 22 1，42 1，62 1， 1002 1，可以發現如果分母都加上 1，那么恰好都是分 子的 4 倍，所以可以先將原式乘以 4 后進行計算，得出結果后除以 4 就得到原式的值了12123341=49 50 =課后練習 13113113 5 5 7199 101 . 求和： 1 13 3 413451345613 4 5 20111111111111112. 計算：3610152128364555667891105120 . 求和：1 1 1 1 1 11 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 110 40 88 154 238 340課后練習