1、2021/8/141淮安市初級中學淮安市初級中學 初中數學九年級上冊初中數學九年級上冊（蘇科版）（蘇科版）2021/8/142問題導入問題導入僅給一把有刻度的卷尺，能否測出一沙堆底部兩端、間的距離？(注意不能直接測量)2021/8/143情景創設情景創設 怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？2021/8/144 1 1。剪一個三角形，記為。剪一個三角形，記為ABCABC 2 2分別取分別取ABAB、ACAC的中點的中點D D、E E，并連接，并連接DEDE 3 3沿沿DEDE將將ABCABC剪成兩部分，并將剪成兩部分，并將ADEADE繞點繞點E E旋轉旋轉180

2、180得四邊形得四邊形DBCFDBCF做一做做一做：v 四邊形四邊形DBCF是什么特殊的四邊形？為什么？是什么特殊的四邊形？為什么？ 想一想想一想： 答：四邊形答：四邊形DBCFDBCF是平行四邊形。是平行四邊形。 由操作可知：由操作可知：ADEADE與與CFECFE關于點關于點E E成中心對稱成中心對稱 則則CF=AD,F=ADE CF=AD,F=ADE 由由F=ADEF=ADE可得：可得：ABCF ABCF 又由又由CF=ADCF=AD，AD=DBAD=DB可得：可得：DB=CFDB=CF 所以四邊形所以四邊形BCFDBCFD是平行四邊形理由：一組對邊平行且是平行四邊形理由：一組對邊平行且

3、 相等的四邊形是平行四邊形相等的四邊形是平行四邊形 ABCDEF2021/8/145 圖中線段圖中線段DE DE 是連接是連接ABCABC兩邊的兩邊的中點中點D D、E E所得的線段，稱此線段所得的線段，稱此線段DEDE為為ABCABC的中位線的中位線讀一讀讀一讀： 三角形中位線的概念三角形中位線的概念連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線中位線 三角形的中位線與三角形的中線的區別是什么？三角形的中位線與三角形的中線的區別是什么？ 答：三角形的中位線的兩端都是中點答：三角形的中位線的兩端都是中點 三角形的中線一端是中點，另一端是頂點三角形的中線一端是

4、中點，另一端是頂點想一想想一想：A AB BC CE2021/8/146議一議：議一議： ABCABC的中位線的中位線DEDE與與BCBC有怎樣的位置和數量關系？有怎樣的位置和數量關系？ 為什么？為什么？ 答：答：DEBCDEBC，DE=BCDE=BC 通過探索得知：四邊形通過探索得知：四邊形BCFDBCFD是平行四邊形是平行四邊形 則則DFBC DF=BCDFBC DF=BC 即即DEBC DE=DF=BCDEBC DE=DF=BC 三角形中位線的性質三角形中位線的性質: : 三角形的中位線三角形的中位線平行平行與第三邊，并且與第三邊，并且等于等于它的它的一半一半。 說明說明此性質的特點：同

5、一條件下有此性質的特點：同一條件下有2 2個結論個結論 因為因為DEDE為為ABCABC的中位線的中位線 所以所以DEBCDEBC，DE=BCDE=BC 位置位置關系關系 數量數量關系關系 A AB BC CEF F2021/8/147試一試試一試：你能解決本節課開始提出的問題了嗎？你能解決本節課開始提出的問題了嗎？解答：先在沙堆外取一點解答：先在沙堆外取一點C C， 連接連接 CACA、CB CB 再取再取 CACA、CB CB 的中點的中點D D、E,E,并量得并量得D D、E E間的距間的距離，假設其大小為離，假設其大小為 m m則則A A、B B 間的距離為間的距離為 2m 2m 。

6、根據是：根據是： 三角形三角形的中位線等于第三邊的一半的中位線等于第三邊的一半 ABCDEm2m2021/8/148例題解析例題解析 猜一猜猜一猜：畫一個任意四邊形，并畫出四邊的中點，再順次連：畫一個任意四邊形，并畫出四邊的中點，再順次連接四邊形的中點，得到的四邊形的形狀是什么？接四邊形的中點，得到的四邊形的形狀是什么？v如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，中，E F G HE F G H分別是分別是AB CD AD BCAB CD AD BC的中點，四邊形的中點，四邊形EFGHEFGH是是平行四邊形嗎？為什么？平行四邊形嗎？為什么？v解：四邊形解：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是

7、平行四邊形連接連接DBDB因為因為E E、H H分別是分別是ABAB、ADAD的中點的中點 ，即即EHEH是是ABDABD的中位線的中位線所以所以EHBDEHBD，EH= BDEH= BD，理由是：，理由是：三角形的中位線平行于第三三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。邊，并且等于它的一半。同理可得，同理可得，FGBD FG=BDFGBD FG=BD所以所以EHFGEHFG，EH=FGEH=FG故四邊形故四邊形EFGHEFGH是平行四邊形，理由是；一組對邊平行是平行四邊形，理由是；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形且相等的四邊形是平行四邊形 ABCDHEFG2021/8/149順次

8、連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形順次連接任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形議一議議一議：v順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是什么形狀？為順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是什么形狀？為什么？什么？ 如果將如果將“矩形矩形”改成改成“菱形菱形”呢？呢？順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形結論：結論：(1)(2)(3)2021/8/1410議一議： 1.1.如果順次連接四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形，那么如果順次連接四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形，

9、那么原四邊形的兩條對角線存在什么關系原四邊形的兩條對角線存在什么關系 ？ （兩條對角線（兩條對角線相等相等）v2.2.上問中的菱形改為矩形呢？上問中的菱形改為矩形呢？（兩條對角線（兩條對角線互相垂直互相垂直）v3.3.當四邊形滿足什么條件時，順次連接它的四邊中點當四邊形滿足什么條件時，順次連接它的四邊中點 所得的四邊形是正方形？所得的四邊形是正方形？（兩條對角線（兩條對角線互相垂直且相等互相垂直且相等）2021/8/1411課堂訓練課堂訓練 練一練練一練：1 1。如圖（。如圖（1 1）ABCABC中，中， AB=6AB=6， AC=8AC=8，BC=10BC=10， D DE EF F分別是分

10、別是ABACBCABACBC的中點的中點 則則DEFDEF的周長是的周長是 ， 面積是。面積是。 v2 2如圖（如圖（2 2）ABCABC中，中，DEDE是是 中位線，中位線，AFAF是中線，則是中線，則DEDE與與 AFAF的關系是的關系是v3 3若順次連接四邊形四邊中若順次連接四邊形四邊中 點所得的四邊形是菱形，則點所得的四邊形是菱形，則 原四邊形（原四邊形（ ） （A A）一定是矩形）一定是矩形 （B B）一定是菱形）一定是菱形 （C C）對角線一定互相垂直）對角線一定互相垂直 （D D）對角線一定相等）對角線一定相等FABcDE(1)ACBDEF(2)互相平分互相平分6cm212cmD

11、2021/8/1412 （2011湖北襄陽，10，3分）順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是 A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對角線相等的四邊形2021/8/1413（2011四川內江，5分）如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時，四邊形EFGH是菱形 ABCDEFGH2021/8/1414 （2010 山東省德州）山東省德州）在四邊形中，點E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，如果四邊形EFGH為菱形，那么四邊形ABCD是 （只要寫出一種即可） 2021

12、/8/1415 如圖如圖, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分別是分別是ACACBDBD的中點的中點 （）（）EFEF與與ADADBCBC的關系如何？為什么？的關系如何？為什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的長。的長。ABCDEFG解：（）解：（）ADEFBCADEFBC 因為因為ADBCADBC，則，則DAFDAFGCFGCF，ADFADFCGFCGF連接連接DFDF并延長并延長DFDF交交BCBC于于G G又又AFAFFCFC所以所以ADFADFCFG(CFG(AASAAS) )所以所以DF=FGDF=FG而而DE=EBD

13、E=EB所以所以EF BCEF BC理由是：理由是：三角形的中位線平行于第三邊三角形的中位線平行于第三邊又又ADBCADBC所以所以ADEFBCADEFBC2021/8/1416v如圖如圖, ,梯形梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E EF F分別是分別是ACACBDBD的中點的中點 （）（）EFEF與與ADADBCBC的關系如何？為什么？的關系如何？為什么？ （）若（）若AD=aAD=a，BC=bBC=b，求，求EFEF的長。的長。AEGDFCB解：（解：（2 2）所以所以EF=BG=(BC-GC)EF=BG=(BC-GC) 理由是：理由是：三角形的中位線三角形的中位線 等于第三

14、邊的一半。等于第三邊的一半。而而GC=ADGC=AD所以所以EF=(BC-AD)=(b-a)EF=(BC-AD)=(b-a)由（）可知：由（）可知：EFEF是是DBGDBG的中位線的中位線2021/8/1417探索研究：探索研究： 已知：ABC的周長為a，面積為s，連接各邊中點得A1B1C1，再連接A1B1C1各邊中點得A2B2C2 ， 則（）第次連接所得 A3B3C3的周長,面積 （）第n次連接所得 AnBnCn的周長，面積ABC次序123n所得三角形周長得三角形面積所64s116s14s1n4s14a12a18a12a1n8a164s12a1n4s1nABCABCv分析：填表分析：填表20

15、21/8/1418 斜拉橋是利用一組組鋼索，把橋面重力斜拉橋是利用一組組鋼索，把橋面重力傳遞到聳立的兩側的高塔上的橋梁。它不傳遞到聳立的兩側的高塔上的橋梁。它不需要建造橋墩。需要建造橋墩。如圖，某斜拉橋的一如圖，某斜拉橋的一組鋼索組鋼索a,b ,c,d,e共五共五條，它們互相平行，條，它們互相平行，鋼索與橋面的固定點鋼索與橋面的固定點P1，P2，P3，P4，P5中每相鄰兩點等距離中每相鄰兩點等距離.abcdep1p2p3p4p5問至少需要知道幾根鋼索的長，才能計問至少需要知道幾根鋼索的長，才能計算出其余鋼索的長？算出其余鋼索的長？2021/8/1419一、梯形的中位線：BCDAFEEBCDAF

16、判斷：下列梯形中的線段判斷：下列梯形中的線段EF是否是梯是否是梯形中位線？形中位線？1：E，F為為AD，BC中點；中點；2：E，F為AC，CD中點；3：E，F為AD，BC中點。FABCDE2021/8/1420二、梯形中位線的判定：BCDAMN1、連結梯形兩腰中點的線連結梯形兩腰中點的線段即為梯形的中位線段即為梯形的中位線；、根據平行線等分線段定、根據平行線等分線段定理推論：理推論：MN/AD/BC AM=BM_DN=CN（經過梯形一腰中點且（經過梯形一腰中點且平行于底的直線必平分另一腰平行于底的直線必平分另一腰)MN為梯形ABCD的中位線2021/8/1421BCDAMN在梯形ABCD中，A

17、D/BC,M、N分別為AB，CD的中點。猜想：中位線MN與上、下底AD、BC之間怎樣的位置關系和數量關系？二 梯形中位線定理的猜想及證明猜想結論：梯形的中位線平行于底，并且等于兩底和的一半2021/8/1422證明猜想：DCBANM已知：梯形ABCD中，AD/BC，M、N 分別為AB、CD中點。求證：MN/BC，MN=(AD+BC)證明：連結AC，取AC中點E，連結 EM、EN。 AM=MB，AE=EC ME是ABC的中位線 ME/BC，ME=BC DN=CN，AE=CE NE是ACD的中位線 NE/AD，NE=AD AD/BC EN/BC又 EM/BC M、E、N一直線MN=ME+EN=(A

18、D+BC)E 2021/8/1423三、梯形的中位線定理三、梯形的中位線定理：梯形的中位線平行底且等于兩底和的一半。balABCDFE設梯形的上、下底為a、b，中位線為l;則 l=_,a+b=_, a=_,b=_;(a+b)2l2l-b2l-abalhABCDFEG設梯形的上、下底為a、b，中位線為l，高為h,則S梯形=_，也可以S梯形=_；(a+b)hlh梯形中位線與三角形中位線的關系。【EF/BC/AD, EF= (AD+BC) 】2021/8/1424四、梯形的中位線定理的應用梯形的中位線定理的應用練習、1、已知：梯形上底為8，下底為10，則中位線長=_；2、已知：梯形上底為8，中位線為

19、10，高為6，則下底=_，S梯形=_；3、 等腰梯形中位線為6，腰長為4，則周長=_；9DCBANM1260202021/8/14254、已知：AB/CD/EF/GH/MN,C、E、G為AM的四等分點，AB=6，MN=14，則CD=_，EF=_，GH=_。810125、已知：AB/CD/EF/GH，CE為AG的三等分點，AB=9，GH=18，則CD=_,EF=_。ABCDEFGHMN第4題1215ABCDEFGH第 5題2021/8/1426例1:ACFDGBHE已知:在梯形ABCD中,AD/BC,E、分別是、中點，與對角線、相交于、。、圖中可分解出幾個“三角形中位線”基本圖形？、猜想：與、之間有何數量關系？并給出證明。結論：（A）2021/8/1427證明結論：（A）ACFDGBHE證明：在梯形ABCD中E、F為AB、CD中點EF/AD/BCAE