1、2021-12-181第六講第六講 函數性態的研究函數性態的研究一、函數的單調性一、函數的單調性四、函數的凸性四、函數的凸性五、曲線的漸近線五、曲線的漸近線六、函數作圖六、函數作圖二、函數的極值二、函數的極值三、函數的最大（小）值三、函數的最大（小）值2021-12-182用微分學研究函數區間上的變化性態用微分學研究函數區間上的變化性態Lagrange定理定理xxxfy )(0給出了給出了函數在某區間上的增量與函數在區間內某點處的函數在某區間上的增量與函數在區間內某點處的導數之間的關系，為利用導數反過來研究函數的導數之間的關系，為利用導數反過來研究函數的性質或曲線的形態提供了一座橋梁。本節我們

2、就性質或曲線的形態提供了一座橋梁。本節我們就來討論這方面的問題，主要介紹：單調性、極值來討論這方面的問題，主要介紹：單調性、極值最值、凹凸、拐點、漸近線。最值、凹凸、拐點、漸近線。2021-12-1831、單調性的判別法、單調性的判別法 函數在某區間上是否具有單調性是我們在研究函數在某區間上是否具有單調性是我們在研究函數的性態時，首先關注的問題。第一章中已經給函數的性態時，首先關注的問題。第一章中已經給出了函數在某區間上單調的定義，但利用定義來判出了函數在某區間上單調的定義，但利用定義來判定函數的單調性卻是很不方便的。定函數的單調性卻是很不方便的。xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0

3、)( xf0)( xfabBA一、函數的單調性一、函數的單調性2021-12-184 從幾何圖形上看，表示單調函數的曲線當自變量從幾何圖形上看，表示單調函數的曲線當自變量在單調區間內按增加方向變動時，曲線總是上升在單調區間內按增加方向變動時，曲線總是上升（下降）的。進一步若曲線在某區間內每點處的切（下降）的。進一步若曲線在某區間內每點處的切線斜率都為正（負），即切線的傾角全為銳（鈍）線斜率都為正（負），即切線的傾角全為銳（鈍）角，曲線就是上升（下降）的角，曲線就是上升（下降）的 這就啟示我們：能否利用導數的符號來判定單調這就啟示我們：能否利用導數的符號來判定單調性性 ？回答是肯定的。？回答是肯

4、定的。定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調減少上單調減少在在那末函數那末函數，內內如果在如果在上單調增加；上單調增加；在在，那末函數，那末函數內內如果在如果在）（導導內可內可上連續，在上連續，在在在設函數設函數baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 2021-12-185證證),(,21baxx ,21xx 且且應用拉氏定理應用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內，內，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調增加上單調增加在在baxfy , 0)(),

5、( xfba內，內，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調減少上單調減少在在baxfy 2021-12-186注注若在若在(a,b)內至多有有限個導數等內至多有有限個導數等0的點和至多的點和至多有限個不可導點，而在其余點處均有有限個不可導點，而在其余點處均有)0)(0)( xfxf則由連續性，結論仍成立則由連續性，結論仍成立此判定法則對其它各種類型的區間仍適用此判定法則對其它各種類型的區間仍適用例例1 1.1的單調性的單調性討論函數討論函數 xeyx解解. 1 xey).,(: D又又,)0 ,(內內在在 , 0 y函數單調減少；函數單調減少；,), 0(內內在在,

6、0 y.函函數數單單調調增增加加2021-12-187注意注意: :函數的單調性是一個區間上的性質，要用函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性點處的導數符號來判別一個區間上的單調性2、單調區間求法、單調區間求法問題問題: :如上例，函數在定義區間上不是單調的，如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個部分區間上單調但在各個部分區間上單調定義定義: :若函數在其定義域的某個區間內是單調若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則該區間稱為函數的的，則該區間稱為函數的單調區間單調區間.

7、導數等于零的點和不可導點，可能是單調區間導數等于零的點和不可導點，可能是單調區間的分界點的分界點方法方法: :.,)()(0)(數的符號數的符號然后判斷區間內導然后判斷區間內導的定義區間的定義區間來劃分函數來劃分函數不存在的點不存在的點的根及的根及用方程用方程xfxfxf 2021-12-188例例2 2.31292)(23的單調區間的單調區間確定函數確定函數 xxxxf解解).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當當1 x, 0)( xf上單調增加；上單調增加；在在1 ,(時，時，當當21 x, 0)( xf上單

8、調減少；上單調減少；在在2 , 1 時，時，當當 x2, 0)( xf上單調增加；上單調增加；在在), 2單調區間為單調區間為，1 ,(，2 , 1)., 22021-12-189例例3 3.)(32的單調區間的單調區間確定函數確定函數xxf 解解).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導數不存在導數不存在時時當當 x時，時，當當0 x, 0)( xf上單調減少；上單調減少；在在0 ,(時，時，當當 x0, 0)( xf上單調增加；上單調增加；在在), 0 單調區間為單調區間為，0 ,( )., 0 32xy 2021-12-1810例例4 4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時時當當

9、xxx ),1ln()(xxxf 設設.1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導，可導，且且上連續上連續在在上單調增加；上單調增加；在在), 0 , 0)0( f時，時，當當0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區間內個別點導數為零區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性不影響區間的單調性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調增加上單調增加但在但在2021-12-1811利用單調性證明不等式的步驟：利用單調性證明不等式的步驟：將要證的不等式作將要證的不等式作 恒等變形（通常是移項）使恒等變形（通常是移項）使一端為一端為0另一端即為所作

10、的輔助函數另一端即為所作的輔助函數f(x)求求)(xf 驗證驗證f(x)在指定區間上的單調性在指定區間上的單調性與區間端點處的函數值或極限值作比較即得證與區間端點處的函數值或極限值作比較即得證單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區間換成其它有限或無限區間，結論仍然成立定理中的區間換成其它有限或無限區間，結論仍然成立.應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式和證明不等式.2021-12-1812二、函數的極值及其求二、函數的極值及其求法法 由單調性的判定法則，結合函數的圖形可

11、知，由單調性的判定法則，結合函數的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成曲線在升、降轉折點處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。值得我們作一般性的討論。2021-12-18131、函數極值的定義、函數極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x2021-12-1814.)()(,)()(,;)()

12、(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數是函數就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內的對于這鄰域內的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內的一個點內的一個點是是內有定義內有定義在區間在區間設函數設函數xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數的極大值與極小值統稱為函數的極大值與極小值統稱為極值極值,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為

13、極值點極值點.2021-12-18152、函數極值的求法、函數極值的求法 設設)(xf在在點點0 x處處具具有有導導數數, ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數做函數叫叫的實根的實根即方程即方程使導數為零的點使導數為零的點xfxf 注意注意:.,)(是極值點是極值點但函數的駐點卻不一定但函數的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數可導函數xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 xFermat定理定理2021-12-181

14、6注注1）如果一個可導函數在所論區間上沒有駐點）如果一個可導函數在所論區間上沒有駐點 則此函數沒有極值，此時導數不改變符號則此函數沒有極值，此時導數不改變符號2） 不可導點也可能是極值點不可導點也可能是極值點可疑極值點：可疑極值點：駐點、不可導點駐點、不可導點 可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步判明。由單調性判定法則知，若可疑極值點的左、判明。由單調性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側鄰近，導數分別保持一定的符號，則問題右兩側鄰近，導數分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。即可得到解決。2021-12-1817.,000取取得得極極值值在在則則

15、兩兩側側異異號號在在且且導導數數的的某某鄰鄰域域內內有有一一階階在在點點設設函函數數xfxfxf （一）極值的第一充分條件（一）極值的第一充分條件定理定理2：;, 0)(),(, 0)(),(, 0)1(00000極極小小值值取取得得在在則則內內而而在在內內使使在在若若xfxfxxxfxx ;, 0)(),(, 0)(),(, 0)2(00000極極大大值值取取得得在在則則內內而而在在內內使使在在若若xfxfxxxfxx 2021-12-1818證證 (1)0)(),(, 000 xfxx內內使使在在若若 )(,),(00 xfxx內內在在 )()(, ),(000 xfxfxxx 0)(),

16、(, 000 xfxx內內使使在在又又 )(,),(00 xfxx內內在在 )()(, ),(000 xfxfxxx .,0取取得得極極小小值值在在即即xf2021-12-1819;, 0)()1(00取取得得極極小小值值在在則則若若xfxf （二）極值的第二充分條件（二）極值的第二充分條件定理定理3：.)(, 0)(,000存存在在又又且且導導數數的的某某鄰鄰域域內內有有一一階階在在點點設設函函數數xfxfxf ., 0)()2(00取取得得極極大大值值在在則則若若xfxf 證證 (1)0)(, 0)(00 xfxf有有根根據據二二階階導導數數定定義義 ,0)(lim00 xxxfxx 00

17、0)()(lim)(0 xxxfxfxfxx2021-12-1820中中有有使使在在由由極極限限性性質質),(, 0,00 xx0)(0 xxxf0)(,),(00 xfxx有有內內在在 0)(,),(00 xfxx有有內內在在 .,10取取得得極極小小值值在在知知根根據據定定理理xf2021-12-1821325( )(1).f xxx例求的極值)(駐駐點點和和不不可可導導點點先先求求可可能能的的極極值值點點3313232532)1()(xxxxxxf 52,0)( xxf得得駐駐點點令令.52, 0.0, xxx可可能能的的極極值值點點：故故有有兩兩個個為為導導數數不不存存在在的的點點又又

18、 解解 2021-12-1822x)0 ,( 0)52,0(52),52( )(xf0 不存在不存在0極極大大值值極極小小值值320253 ;, 0)0(極極大大值值 f極極小小值值,20253)52(3 f)325()(3xxxf 112021-12-1823例例6 6解解.20243)(23的極值的極值求出函數求出函數 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖

19、形如下2021-12-1824Mm2021-12-1825三、函數的最大（小）值三、函數的最大（小）值 在生產實踐中，為了提高經濟效益，必須要在生產實踐中，為了提高經濟效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是用料最省，費考慮在一定的條件下，怎樣才能是用料最省，費用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數學上統統歸結為求函數的最大值或最小值問在數學上統統歸結為求函數的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性存在性 ；最值的求法。；最值的求法。 假定假定f ( x )在在 a , b

20、上連續，除去有限個點外上連續，除去有限個點外處處可導，且至多有有限個點處導數為處處可導，且至多有有限個點處導數為0。我們。我們就在這樣的條件下討論就在這樣的條件下討論f ( x )在在 a , b 上的最值上的最值的求法。的求法。2021-12-18261、最值的求法、最值的求法 首先由閉區間上連續函數的性質首先由閉區間上連續函數的性質f ( x )在在 a , b 上必存在最大值和最小值上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在開區間內取得，其次，若最大值（或最小值）在開區間內取得，則這個最值一定是則這個最值一定是 極值，由假定，這個點一定是駐極值，由假定，這個點一定是駐點或不可導

21、點；此外最值也可能在區間的端點處取點或不可導點；此外最值也可能在區間的端點處取得，故求連續函數在閉區間上最值的方法是得，故求連續函數在閉區間上最值的方法是oxyoxybaoxyabab2021-12-1827步驟步驟: :1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值; )(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm 2021-12-1828.)(.,)(),()1(00最

22、最大大值值或或最最小小值值就就是是所所要要求求的的則則而而且且是是極極值值點點有有唯唯一一的的駐駐點點內內如如果果在在xfxxfba.)(,),()(,)(),()2(00小小值值為為所所要要求求的的最最大大值值或或最最則則內內部部取取得得最最大大值值或或最最小小值值必必在在的的知知道道又又從從實實際際問問題題本本身身可可以以有有唯唯一一的的駐駐點點內內如如果果在在xfbaxfxxfba最大、最小值應用問題最大、最小值應用問題2021-12-18293217( )(1) 1,2.f xxx例求在的最大、最小值內內在在由由前前面面的的例例題題知知)21, 1()(, xf. 0,5221 xx不

23、不可可導導點點有有駐駐點點經經計計算算得得：, 0)0( f, 2)1( f2)1(, 0)0(minmax ffff320253)52( f3281)21( f 解解 2021-12-183008,V例要做一個容積為的圓柱形無蓋鐵桶 問底半徑與高的比例為多少時 用料最省？所所需需鐵鐵皮皮面面積積為為高高為為設設底底半半徑徑為為,hr)0(202 rrVrS 解解 02222)(20320 rVrrVrrS 令令301 Vr 得得唯唯一一駐駐點點2021-12-1831.)(,必必存存在在的的最最小小值值從從問問題題的的實實際際意意義義知知道道rS )(lim,)(lim0rSrSrr又又.,

24、.), 0()(,301是是最最小小值值點點唯唯一一駐駐點點從從而而達達到到的的內內部部的的最最小小值值一一定定在在因因此此 VrrS rVVVrVhrr 30320020)(1 .,用用料料最最省省相相等等時時與與高高當當底底半半徑徑即即hr192021-12-1832四、函數的凸性四、函數的凸性 前面我們介紹了函數的單調性和極值，這對于前面我們介紹了函數的單調性和極值，這對于了解函數的性態很有幫助，但僅知道單調性還不了解函數的性態很有幫助，但僅知道單調性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。曲方向。oyxL3L2L1AB 如右圖所示

25、如右圖所示L1 ，L2 ，L3 雖然都是從雖然都是從A點單調上升到點單調上升到B點，但它們的彎曲方向卻點，但它們的彎曲方向卻不一樣。不一樣。 L1 是是“上凸上凸”弧，弧，L2是是“下凸下凸”弧弧 ，L3既有下凸弧，既有下凸弧，也有上凸弧，也有上凸弧，2021-12-1833問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC2021-12-1834.,)()()(.,1)()()(,.,:)(2211221

26、121212211221121函函數數上上為為上上凸凸在在則則稱稱如如果果函函數數下下凸凸上上為為在在則則稱稱都都成成立立和和的的任任意意非非負負實實數數對對于于滿滿足足不不等等式式如如果果設設函函數數bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf （一）（一） 凸性定義及性質凸性定義及性質四、函數的凸性四、函數的凸性2021-12-1835)(xfy 1x2xxxyo都都有有及及必必要要條條件件是是上上為為下下凸凸的的充充分分在在函函數數,:,)(212121xxxxxbaxxbaxf 性質：性質：xxxfxfxxxfxf 2211)()()()(2021-12-1836).()

27、,()(:)(,),(,)(非非增增內內單單調調非非減減在在函函數數的的充充分分必必要要條條件件是是上上凸凸為為下下凸凸在在則則可可導導開開區區間間在在連連續續在在閉閉區區間間設設函函數數baxfbafbabaxf （二）（二） 凸性的判定凸性的判定定理定理1：( 用一階導數判定函數的凸性用一階導數判定函數的凸性 )證證 必要性必要性上上為為下下凸凸函函數數在在區區間間設設,)(baxf2021-12-1837212121:,xxxxxxbaxx 且且有有性性根根據據極極限限的的保保號號都都可可導導與與在在因因為為,)(21xxxf2211)()(lim)()(lim11xxxfxfxxxfx

28、fxxxx 21211)()()(xxxfxfxf 即即2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 有有2021-12-18382211)()(lim)()(lim22xxxfxfxxxfxfxxxx 也也有有)()()(21212xfxxxfxf 即即)()(21xfxf 于于是是有有2121,)(xxxbaxxx 且且充分性充分性有有滿滿足足存存在在根根據據微微分分中中值值定定理理,:,221121xxx 2021-12-1839)()()(222 fxxxfxf )()()(111 fxxxfxf )()(,21 ff 有有由由已已知知2211)()()()(xxxfxfxxxfx

29、f 因因此此有有.,)(,下下凸凸的的上上是是在在區區間間函函數數這這就就是是說說baxf2021-12-1840定理定理2：( 用二階導數判定函數的凸性用二階導數判定函數的凸性 ).0)(0)(:)(,),(,)( xfxfbafbabaxf的的充充分分必必要要條條件件是是函函數數上上凸凸為為下下凸凸在在則則二二階階可可導導內內在在上上連連續續在在設設函函數數定理定理3：( 用切線位置判定函數的凸性用切線位置判定函數的凸性 )()()(,:,),(,)(0000 xxxfxfxfbaxbafbabaxf 有有分分必必要要條條件件是是為為下下凸凸函函數數的的充充在在則則可可導導間間在在開開區區

30、連連續續在在閉閉區區間間設設函函數數切線位于切線位于曲線下方曲線下方2021-12-1841證證 必要性必要性為為下下凸凸函函數數假假設設 f有有且且,1010 xxxbaxxx 010111)()()()(xxxfxfxxxfxf )()()(00001xfxxxfxfxx 令令)()()(000 xxxfxfxf 2021-12-1842充分性充分性曲曲線線的的切切線線方方程程為為,0bax 0)()()()()(,000 xxxfxfxfxyxfbax有有若若)()()(000 xxxfxfxy )()()(,0000 xfxxxfxfxx 有有時時當當)()()(,0000 xfxxx

31、fxfxx 有有時時當當有有且且,2121xxxbaxxx 2211)()()()(xxxfxfxxxfxf 2021-12-1843.)()(,(,)()(,()(0000的的拐拐點點為為曲曲線線則則稱稱點點反反在在該該點點兩兩側側曲曲線線凸凸性性相相上上的的一一個個點點，是是曲曲線線設設點點拐拐點點定定義義：xfyxfxxfyxfx 0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy （四（四 ） 拐點拐點定理定理1：（拐點必要條件）（拐點必要條件）. 0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxxf則則有有拐拐點點的的為為若若有有二二階階導導數數設設2021-12-1844.)(,(,000

32、0個個拐拐點點的的一一是是則則兩兩側側異異號號在在若若的的某某鄰鄰域域內內有有二二階階導導數數在在點點設設fxfxxfxf 定理定理2（拐點的充分條件）（拐點的充分條件）證證. 0)(.)()(,),(,),(,)()(,(00000000 xfxfxxffxxfxxxfxfx所所以以有有二二階階導導數數存存在在處處取取得得極極值值，且且在在單單調調非非減減內內在在非非增增單單調調內內則則在在右右側側下下凸凸側側上上凸凸不不妨妨設設該該點點左左的的拐拐點點為為 2021-12-1845例例9 9.14334凹、凸的區間凹、凸的區間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸的下凸的上凸的上凸的下凸的下凸的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(2021-12-1846).,32,32, 0,0 ,(凹凸區間為凹凸區間為2021-12-1847.,曲曲線線的的漸漸近近線線則則稱稱該該直直線線為為于于零零某某一一定定直直線線的的距距離離趨趨近近若若此此動動點點到到點點時時動動點點沿沿曲曲線線無無