1、自考線性代數重難點解析與全真練習第一章行列式一、重點1、理解：行列式的定義，余子式，代數余子式。2、掌握：行列式的基本性質及推論。3、運用：運用行列式的性質及計算方法計算行列式，用克萊姆法則求解方程組。二、難點行列式在解線性方程組、矩陣求逆、向量組的線性相關性、求矩陣的特征值等方面的應用。三、重要公式1、若 A 為 n 階方陣，則kA = kn A2、若 A、 B 均為 n 階方陣，則 AB =A。 B3、若 A 為 n 階方陣，則A* = An-1若 A 為 n 階可逆陣，則A-1 = A -14、若 A 為 n 階方陣， i （ i=1 ， 2， ， n）是 A 的特征值，A i四、題型及

2、解題思路1、有關行列式概念與性質的命題2、行列式的計算（方法）1）利用定義2）按某行（列）展開使行列式降階3）利用行列式的性質各行（列）加到同一行（列）上去，適用于各列（行）諸元素之和相等的情況。各行（列）加或減同一行（列）的倍數，化簡行列式或化為上（下）三角行列式。逐次行（列）相加減，化簡行列式。把行列式拆成幾個行列式的和差。4）遞推法，適用于規律性強且零元素較多的行列式5）數學歸納法，多用于證明3、運用克萊姆法則求解線性方程組若 D = A 0，則 Ax=b 有解，即x1=D1/D， x2= D2/D ， ， xn= Dn/D其中 Dj 是把 D 中 xj 的系數換成常數項。注意：克萊姆法

3、則僅適用于方程個數與未知數個數相等的方程組。4、運用系數行列式A判別方程組解的問題1）當 A 0 時，齊次方程組Ax 0 有非零解；非齊次方程組Ax b不是解（可能無解，也可能有無窮多解）2）當 A 0 時，齊次方程組Ax 0僅有零解；非齊次方程組Ax b有解，此解可由克萊姆法則求出。一、重點1、理解：矩陣的定義、性質，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，對角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）2、掌握：1）矩陣的各種運算及運算規律2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法3）矩陣的初等變換方法二、難點1、矩陣的求逆矩陣的初等變換2、初等變換與初等矩陣的關系三、重要公式及難

4、點解析1、線性運算1）交換律一般不成立，即AB BA2）一些代數恒等式不能直接套用，如設A， B，C 均為 n 階矩陣（ A+B） 2=A2+AB+BA+B2 A2+2AB+B2（AB） 2=（AB）（ AB） A2B2（ A+B）（ A-B） A2-B2以上各式當且僅當A 與 B 可交換，即AB=BA時才成立。3）由 AB=0不能得出A=0 或 B=04）由 AB=AC不能得出B=C5）由 A2=A不能得出A=I 或 A=06）由 A2=0 不能得出A=07）數乘矩陣與數乘行列式的區別2、逆矩陣1）（ A 1） 1 A2）（ kA） 1=（ 1/k ） A 1，（k 0）3）（ AB） 1=

5、B 1A 14）（ A 1）T=（ AT） 15） A 1 = A 13、矩陣轉置1）（ AT） T A2）（ kA） T=kAT，（k 為任意實數）3）（ AB） T=BTAT4）（ A+B） T=AT+BT4、伴隨矩陣1） A*A A A*= AI（ AB） *=B*A*2）（ A*） *= A n-2 A* = A n-1 ，（ n2）3）（ kA） *=kn-1A*（ A*） T=（ AT） *4）若 r （ A） =n，則 r（ A*） =n若 r （ A） =n-1 ，則 r （ A* ）=1若 r （ A）5）若 A 可逆，則（ A*） -1= （ 1/ A） A，（ A*） -

6、1 （ A-1 ） * ， A* AA-15、初等變換（三種）1）對調二行（列）2）用 k（ k 0）乘以某行（列）中所有元素3）把某行（列）的元素的k 倍加至另一行（列）的對應元素注意：用初等變換求秩，行、列變換可混用求逆陣，只能用行或列變換求線性方程組的解，只能用行變換6、初等矩陣1）由單位陣經過一次初等變換所得的矩陣2）初等陣P 左（右）乘A，所得 PA（AP）就是 A 作了一次與P 同樣的行（列）變換3）初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣E-1ij=Eij， E（ -1 ）i （ k） =Ei （ 1/k ）， E（ -1 ）ij（ k）=Eij（ -k ）7、矩陣方程1）含有未知矩

7、陣的等式2）矩陣方程有解的充要條件AX=B有解 <=>B的每列可由 <=>r （ A）=r （ A B）A 的列向量線性表示四、題型及解題思路1、有關矩陣的概念及性質的命題2、矩陣的運算（加法、數乘、乘法、轉置）3、矩陣可逆的判定n 階方陣 A 可逆 <=>存在 n 階方陣<=> A 0<=>r （ A）=n<=>A的列（行）向量組線性無關<=>Ax=0只有零解<=>任意 b，使得 Ax=b 總有解<=>A的特征值全不為零B，有AB=BA=I4、矩陣求逆1）定義法：找出B 使 AB=I

8、或 BA=I2）伴隨陣法：A-1=（ 1/ A） A*i+j注意：用該方法求逆時，行的代數余子式應豎著寫在，當 n>3 時，通常用初等變換法。3）初等變換法：對（A I ）只用行變換化為（A*中，計算 I A-1）Aij時不要遺漏（-1 ）4）分塊矩陣法5、解矩陣方程AX=B1）若 A 可逆，則X=A-1B，可先求出A-1 ，再作乘法A-1B 求出 X2）若 A 可逆，可用初等變換法直接求出X（A B）初等行變換（I X）3）若 A 不可逆， 則可設未知數列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對每列常數項分別求解。一、重點1、理解：向量、向量運算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無

9、關組的概念，線性相關與線性無關的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質，基礎解系的概念。2、掌握：向量的運算及運算規律，矩陣秩的計算，齊次、非齊次線性方程組解的結構。3、運用：線性相關、線性無關的判定，線性方程組解的判斷，齊次、非齊次線性方程組的解法。二、難點線性相關、線性無關的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯系。三、重點難點解析1、 n 維向量的概念與運算1） 概念2） 運算若（ a1， a2， ， an） T，（ b1， b2， ， bn） T加法：（a1+b1 ， a2+b2 ， ， an+bn） T數乘： k（ ka1， ka2 ， ， kan

10、 ）T內積：（。） a1b1+a2b2+， ， +anbn T T2、線性組合與線性表出3、線性相關與線性無關1）概念2）線性相關與線性無關的充要條件線性相關1， 2， ， s 線性相關<=>齊次方程組（ 1， 2， ， s）（ x1， x2， ， xs） T 0 有非零解<=>向量組的秩 r （ 1， 2， ， s） s （向量的個數）<=>存在某 i （ i=1 ， 2， ， s）可由其余 s-1 個向量線性表出特別的： n 個 n 維向量線性相關 <=> 1 2 n 0 n+1 個 n 維向量一定線性相關線性無關1， 2， ， s 線性無關

11、<=>齊次方程組（1， 2， ， s）（ x1， x2， ， xs） T 0 只有零解<=>向量組的秩r （ 1， 2， ， s） s （向量的個數）<=>每一個向量i （ i=1 ， 2， ， s）都不能用其余s-1 個向量線性表出重要結論A、階梯形向量組一定線性無關B、若 1， 2， ， s 線性無關，則它的任一個部分組i1， i2， ，i t必線性無關，它的任一延伸組必線性無關。C、兩兩正交，非零的向量組必線性無關。4、向量組的秩與矩陣的秩1）極大線性無關組的概念2）向量組的秩3）矩陣的秩r （ A） r （ AT）r （ A+B） r （ A） r

12、（ B）r （ kA） r （ A），k 0r （ AB） min（ r （ A）， r （ B）如 A 可逆，則 r （AB） r （ B）；如 B 可逆，則 r （ AB） r （ A） A 是 m×n 陣， B是 n× p 陣，如 AB 0，則 r （A） r （B） n 4）向量組的秩與矩陣的秩的關系 r （ A） A 的行秩（矩陣 A 的行向量組的秩） A 的列秩（矩陣 A 的列向量組的秩）經初等變換矩陣、向量組的秩均不變若向量組（）可由（）線性表出，則r （） r （）。特別的，等價的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。5、基礎解系的概念及求法1）概念

13、2）求法對 A 作初等行變換化為階梯形矩陣，稱每個非零行中第一個非零系數所代表的未知數是主元（共有r （A）個主元），那么剩于的其他未知數就是自由變量（共有自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎解系。6、齊次方程組有非零解的判定1）設 A 是 m×n 矩陣， Ax0 有非零解的充要條件是r（ A） n，亦即n- r （ A）個），對A 的列向量線性相關。2）若 A 為 n 階矩陣， Ax 0 有非零解的充要條件是A 03） Ax 0 有非零解的充分條件是mn，即方程個數未知數個數7、非齊次線性方程組有解的判定1）設 A 是 m× n 矩陣， Ax b 有解的充要條件是

14、系數矩陣A 的秩等于增廣矩陣（ A 增）的秩，即 r （ A） r （ A 增）2）設 A 是 m× n 矩陣，方程組Ax b有解 <=> r （ A） r （ A 增） n有無窮多解 <=> r （ A） r （ A 增） <n< p>無解 <=> r （ A） +1=r （ A增）8、非齊次線性方程組解的結構如 n 元線性方程組Ax b 有解，設，2， ，t 是相應齊次方程組Ax 0 的基礎解系，是 Ax b 的一個解，則k1 1+k2 2+kt t+ 是 Ax b 的通解。1）若 1， 2 是 Ax b 的解，則 1- 2

15、是 Ax 0 的解2）若是Ax b 的解，是Ax 0 的解，則 +k仍是 Ax b 的解3）若 Ax b 有解，則 Ax 0 只有零解；反之，當Ax0 只有零解時， Ax b 沒有無窮多解（可能無解，也可能只有解）四、題型及解題思路1、有關 n 維向量概念與性質的命題2、向量的加法與數乘運算3、線性相關與線性無關的證明ks1）定義法設 k1 1+k2 2+ks s0，然后對上式做恒等變形（要向已知條件靠攏！由 B C可得 ABAC，因此，可按已知條件的信息對上式乘上某個A展開整理上式， 直接用已知條件轉化為齊次線性方程組，最后通過分析論證的取值，得出所需結論。2）用秩（等于向量個數）k1，k2

16、 ， ，3）齊次方程組只有零解4）反證法4、求給定向量組的秩和極大線性無關組多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過初等變換來求解。5、求矩陣的秩常用初等變換法。6、求解齊次線性方程組與非齊次線性方程組備注說明，非正文，實際使用可刪除如下部分。本內容僅給予閱讀編輯指點：1 、本文件由微軟OFFICE 辦公軟件編輯而成，同時支持WPS 。2 、文件可重新編輯整理。3 、建議結合本公司和個人的實際情況進行修正編輯。4 、因編輯原因，部分文件文字有些微錯誤的，請自行修正，并不影響本文閱讀。Note:it is notthetext.Thefollowingpartscanbe deletedforactualuse.This contentonlygivesinstructions:readingandediting1. This document is edited by Microsoft office office software and supports WPS.2. The files can be edited and reorganized