1、1第九節第九節圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中的定點、定值問題最新考綱會證明與曲線上動點有關的定值問題，會處理動曲線(含直線)過定點的問題考點 1定點問題直線過定點1.動直線 l 過定點問題的基本思路設動直線方程(斜率存在)為 ykxt，由題設條件將 t 用 k 表示為 tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m，0)2動直線 l 過定點問題的解題步驟第一步：設 ab 直線 ykxm，聯立曲線方程得根與系數關系，求出參數范圍；第二步：由 ap 與 bp 關系(如 kapkbp1)，得一次函數 kf(m)或者 mf(k)；第三步：將 kf(m)或者 mf(k)代入 ykxm，得 yk(xx定

2、)y定(2017全國卷)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)，四點 p1(1，1)，p2(0，1)，p3(1，32)，p41，32 中恰有三點在橢圓 c 上(1)求 c 的方程；(2)設直線 l 不經過 p2點且與 c 相交于 a，b 兩點若直線 p2a 與直線 p2b的斜率的和為1，證明：l 過定點解(1)由于 p3，p4兩點關于 y 軸對稱，故由題設知橢圓 c 經過 p3，p4兩點又由1a21b21a234b2知，橢圓 c 不經過點 p1，所以點 p2在橢圓 c 上2因此1b21，1a234b21，解得a24，b21.故橢圓 c 的方程為x24y21.(2)證明：設直線 p2a 與直

3、線 p2b 的斜率分別為 k1，k2.如果 l 與 x 軸垂直，設 l：xt，由題設知 t0，且|t|2，可得 a，b 的坐標分別為t，4t22，t，4t22，則 k1k24t222t4t222t1，得 t2，不符合題設從而可設 l：ykxm(m1)將 ykxm 代入x24y21 得(4k21)x28kmx4m240.由題設可知16(4k2m21)0.設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x28km4k21，x1x24m244k21.而 k1k2y11x1y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2（m1） （x1x2）x1x2.由題設 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)

4、(x1x2)0.即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210，解得 km12.當且僅當 m1 時，0，于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 過定點(2，1)本題為“弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一3點 p 做相互垂直的直線交圓錐曲線于 ab，則 ab 必過定點(x0（a2b2）a2b2，y0（b2a2）a2b2)本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個限定 ap 與 bp 條件(如kapkbp定值，kapkbp定值)，直線 ab 依然會過定點教師備選例題過拋物線 c： y24x 的焦點 f 且斜率為 k 的直線 l 交拋物線 c 于 a， b

5、兩點，且|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)若 a 關于 x 軸的對稱點為 d， 求證： 直線 bd 過定點， 并求出該點的坐標解(1)易知點 f 的坐標為(1，0)，則直線 l 的方程為 yk(x1)，代入拋物線方程 y24x 得 k2x2(2k24)xk20，由題意知 k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x22k24k2，x1x21，由拋物線的定義知|ab|x1x228，2k24k26，k21，即 k1，直線 l 的方程為 y(x1)(2)由拋物線的對稱性知，d 點的坐標為(x1，y1)，直線 bd 的斜率 kbdy2y1x2x

6、1y2y1y224y2144y2y1，直線 bd 的方程為 yy14y2y1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y214x4x1，y214x1，y224x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即 y1y24(y1，y2異號)，直線 bd 的方程為 4(x1)(y1y2)y0，恒過點(1，0)1.已知拋物線 c 的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點 a(1，2)為拋物線 c 上一點4(1)求拋物線 c 的方程；(2)若點 b(1，2)在拋物線 c 上，過點 b 作拋物線 c 的兩條弦 bp 與 bq，如 kbpkbq2，求證：直線 pq 過定點解(1)若拋物線的焦點在 x 軸上，設拋物線方

7、程為 y2ax，代入點 a(1，2)，可得 a4，所以拋物線方程為 y24x.若拋物線的焦點在 y 軸上，設拋物線方程為 x2my，代入點 a(1，2)，可得m12，所以拋物線方程為 x212y.綜上所述，拋物線 c 的方程是 y24x 或 x212y.(2)證明：因為點 b(1，2)在拋物線 c 上，所以由(1)可得拋物線 c 的方程是 y24x.易知直線 bp，bq 的斜率均存在，設直線 bp 的方程為 y2k(x1)，將直線 bp 的方程代入 y24x，消去 y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.設 p(x1，y1)，則 x1（k2）2k2，所以 p（k2）2k2，2k4k.用2

8、k替換點 p 坐標中的 k，可得 q(k1)2，22k)，從而直線 pq 的斜率為2k4k22k（k2）2k2（k1）22k34kk42k34k42kk22k2，故直線 pq 的方程是y22k2kk22k2x(k1)2在上述方程中，令 x3，解得 y2，所以直線 pq 恒過定點(3，2)52已知圓 x2y24 經過橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的兩個焦點和兩個頂點，點 a(0，4)，m，n 是橢圓 c 上的兩點，它們在 y 軸兩側，且man 的平分線在y 軸上，|am|an|.(1)求橢圓 c 的方程；(2)證明：直線 mn 過定點解(1)圓 x2y24 與 x 軸交于點(2，0)，即

9、為橢圓的焦點，圓 x2y24 與 y 軸交于點(0，2)，即為橢圓的上下兩頂點，所以 c2，b2.從而 a2 2，因此橢圓 c 的方程為x28y241.(2)證明：設直線 mn 的方程為 ykxm.由ykxm，x28y241，消去 y 得(2k21)x24kmx2m280.設 m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x24km2k21，x1x22m282k21.直線 am 的斜率 k1y14x1km4x1；直線 an 的斜率 k2y24x2km4x2.k1k22k（m4） （x1x2）x1x22k（m4） （4km）2m2816k（m1）2m28.由man 的平分線在 y 軸上，得 k1k

10、20.又因為|am|an|，所以 k0，所以 m1.因此，直線 mn 過定點(0，1)動圓過定點動圓過定點問題求解時可以先取特殊值或者極值，找出這個定點，再用向量法證明用直徑所對圓周角為直角6(2019北京高考)已知拋物線 c：x22py 經過點(2，1)(1)求拋物線 c 的方程及其準線方程；(2)設 o 為原點，過拋物線 c 的焦點作斜率不為 0 的直線 l 交拋物線 c 于兩點 m，n，直線 y1 分別交直線 om，on 于點 a 和點 b.求證：以 ab 為直徑的圓經過 y 軸上的兩個定點解(1)由拋物線 c：x22py 經過點(2，1)，得 p2.所以拋物線 c 的方程為 x24y，

11、其準線方程為 y1.(2)拋物線 c 的焦點為 f(0，1)，設直線 l 的方程為 ykx1(k0)由ykx1，x24y得 x24kx40.設 m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x24.直線 om 的方程為 yy1x1x.令 y1，得點 a 的橫坐標 xax1y1.同理得點 b 的橫坐標 xbx2y2.設點 d(0，n)，則dax1y1，1n，dbx2y2，1n，dadbx1x2y1y2(n1)2x1x2x214x224(n1)216x1x2(n1)24(n1)2.令dadb0，即4(n1)20，則 n1 或 n3.綜上，以 ab 為直徑的圓經過 y 軸上的定點(0，1)和(0，3)

12、動圓過定點問題本質上是向量垂直的問題.在平面直角坐標系 xoy 中，動點 e 到定點(1，0)的距離與它到直線 x1 的距離相等7(1)求動點 e 的軌跡 c 的方程；(2)設動直線 l：ykxb 與曲線 c 相切于點 p，與直線 x1 相交于點 q，證明：以 pq 為直徑的圓恒過 x 軸上某定點解(1)設動點 e 的坐標為(x， y)， 由拋物線的定義知， 動點 e 的軌跡是以(1，0)為焦點，x1 為準線的拋物線，所以動點 e 的軌跡 c 的方程為 y24x.(2)證明：易知 k0.由ykxby24x，消去 x，得 ky24y4b0.因為直線 l 與拋物線相切，所以1616kb0，即 b1

13、k，所以直線 l 的方程為 ykx1k，令 x1，得 yk1k，所以 q(1，k1k)設切點 p(x0，y0)，則 ky204y04k0，解得 p(1k2，2k)，設 m(m，0)，則mqmp(1k2m)(1m)2k(k1k)m2m2m1k2，所以當m2m20，m10，即 m1 時，mqmp0，即mqmp.所以，以 pq 為直徑的圓恒過 x 軸上的定點 m(1，0)考點 2定值問題圓錐曲線中定值問題的 2 大解法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)引起變量法：其解題流程為在平面直角坐標系 xoy 中，已知橢圓 c：x24y21，點 p(x1，y1)，q(x2， y2)是橢

14、圓 c 上兩個動點， 直線 op， oq 的斜率分別為 k1， k2， 若 mx12，y1，nx22，y2，mn0.(1)求證：k1k214；8(2)試探求opq 的面積 s 是否為定值，并說明理由解(1)證明：k1，k2均存在，x1x20.又 mn0，x1x24y1y20，即x1x24y1y2，k1k2y1y2x1x214.(2)當直線 pq 的斜率不存在，即 x1x2，y1y2時，由y1y2x1x214，得x214y210.又點 p(x1，y1)在橢圓上，x214y211，|x1| 2，|y1|22.spoq12|x1|y1y2|1.當直線 pq 的斜率存在時，設直線 pq 的方程為 yk

15、xb.聯立得方程組ykxb，x24y21，消去 y 并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即 b20)spoq12|b|1k2|pq|12|b| （x1x2）24x1x22|b|4k21b24k211.綜合知poq 的面積 s 為定值 1.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數式為定值：依題意設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式，化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得；9(3)求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再

16、依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得教師備選例題已知動圓 p 經過點 n(1，0)，并且與圓 m：(x1)2y216 相切(1)求點 p 的軌跡 c 的方程；(2)設 g(m，0) 為軌跡 c 內的一個動點，過點 g 且斜率為 k 的直線 l 交軌跡c 于 a，b 兩點，當 k 為何值時，|ga|2|gb|2是與 m 無關的定值？并求出該定值解(1)由題意，設動圓 p 的半徑為 r，則|pm|4r，|pn|r，可得|pm|pn|4rr4，點 p 的軌跡 c 是以 m，n 為焦點的橢圓，2a4，2c2，b a2c2 3，橢圓的方程為x24y231.即點 p 的軌跡 c 的方程為x24y231.

17、(2)設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意知2m2，直線 l：yk(xm)，由yk（xm） ，x24y231，得(34k2)x28k2mx4k2m2120，x1x28mk24k23，x1x24m2k2124k23，y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km6mk4k23，y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m23k2（m24）4k23，|ga|2|gb|2(x1m)2y21(x2m)2y22(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21)6m2（4k23）24（34k2）（4k23）2.要使|ga|2|gb|2的

18、值與 m 無關，需使 4k230，解得 k32，此時|ga|2|gb|27.1.已知拋物線 c：y22px 經過點 p(1，2)，過點 q(0，1)的直線 l 與10拋物線 c 有兩個不同的交點 a，b，且直線 pa 交 y 軸于 m，直線 pb 交 y 軸于n.(1)求直線 l 的斜率的取值范圍；(2)設 o 為原點，qmqo，qnqo，求證：11為定值解(1)因為拋物線 y22px 過點(1，2)，所以 2p4，即 p2.故拋物線 c 的方程為 y24x.由題意知，直線 l 的斜率存在且不為 0.設直線 l 的方程為 ykx1(k0)由y24x，ykx1，得 k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1.又 pa，pb 與 y 軸相交，故直線 l 不過點(1，2)從而 k3.所以直線 l 斜率的取值范圍是(，3)(3，0)(0，1)(2)證明：設 a(x1，y1)，b(x2，y2)由(1)知 x1x22k4k2，x1x21k2.直線 pa 的方程為 y2y12x11(