1、【課時(shí)訓(xùn)練】課時(shí)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 一、選擇題 1. (2018 山東荷澤一模)函數(shù) f(x) = In x x 在區(qū)間(0, e上的最大 值為( ) A . 1e B. 1 C. e D. 0 【答案】B 1 1 x 【解析】因?yàn)?f(x) = - 1，當(dāng) x (0,1)時(shí)，f(x)0; 當(dāng) x (1 , e時(shí)，f (x)V0,所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào) 遞減區(qū)間是(1, e，所以當(dāng) x= 1 時(shí)，f(x)取得最大值 In 1 1 = 1. 2. (2018 廣西來(lái)賓一模)已知函數(shù) f(x) = x(x m)2在 x= 1 處取得 極小值，則實(shí)數(shù) m=( ) A .

2、 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】f (x)= (x m)2 + 2x(x m) = (x m) (3x m).由 f (1) =0 可得 m= 1 或 m= 3.當(dāng) m= 3 時(shí)，f (x)= 3(x 1)(x 3),當(dāng) 1vx v 3 時(shí)，f(x) v0;當(dāng) xv 1 或 x3 時(shí)，f(x)0.此時(shí)在 x= 1 處 取得極大值，不合題意.所以 m= 1,此時(shí) f (x) = (x 1)(3x 1)，當(dāng) xv 1 時(shí)，f(x)v0;當(dāng) xv3或 x 1 時(shí)，f(x)0.此時(shí)在 x= 1 處取得極小值.選 B. 3. (2018 安徽池州一模)已知函數(shù) f(x) = x3

3、 px2 qx 的圖象與 x 軸切于點(diǎn)(1,0),貝 S f(x)的極大值、極小值分別為() 4 4 A . 27, 0 B. 0, 27 c.27，0 【答案】C 【解【解析】由題意知，f (x) = 3x2 2px q,由 f (1) =0, f(1)= 3 2p q = 0, 3 2 0 得 解得 p= 2,q= 1,.f(x) = x3 2x2+x.由 f (x) 11 p q= 0, 2 1 1 4 =3x 4x+ 1 = 0,得 x= 3 或 x= 1,易知當(dāng) x=3 時(shí)，f(x)取極大值 27, 當(dāng) x= 1 時(shí)，f(x)取極小值 0. 4. (2018山東濰坊二模)已知函數(shù)f(

4、x) = x3+ 3x2 9x+1,若f(x) 在區(qū)間k,2上的最大值為 28,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為( ) A . 3,+x ) B. ( 3,+x) C.(汽一 3) D.(汽一 3 【答案】D 【解析】由題意知 f (x) = 3x2+ 6x 9,令 f (x)= 0,解得 x = 1 或 x= 3,所以 f(x), f(x)隨 x 的變化情況如下表: x ( ，3) 3 (3,1) 1 (1，+X) (x) + 0 一 0 + f(x) A 極大值 決 極小值 /L 又 f( 3)= 28, f(1) = 4, f(2) = 3, f(x)在區(qū)間k,2上的最大值為 28,所以 k 0

5、)在1, +X)上的 最大值為扌則 a 的值為() A. 3 1 3 B. 4 27 4 C. 3 D . 3+ 1 【答案】A x a X 【解析】由 f(x)= 得 f (x)= 2 .當(dāng) a 1 時(shí)，若 x a, x + a (x + a) 則 f (x)v0, f(x)單調(diào)遞減；若 1vXV a,則 f (x)0, f(x)單調(diào)遞 增.故當(dāng) x= ,a時(shí)，函數(shù) f(x)有最大值 2：=拐，得 a=4v1，不合 題意；當(dāng) a= 1 時(shí)，函數(shù) f(x)在1, +乂)上單調(diào)遞減，最大值為 f(1) 1 =2，不合題意；當(dāng) Ovav 1 時(shí)，函數(shù) f(x)在1，+)上單調(diào)遞減， 1 3 此時(shí)最

6、大值為 f(1) = =-3，得 3 1，符合題意，故 a 的值 a+1 3 為 3 1選 A. 6. (2018浙江瑞安中學(xué)月考)已知函數(shù) f(x) = x3+ bx2 + cx 的圖象 如圖所示，貝 S 8 C. 3 A.: 16 3 根，所以 xi + x2= 2, xg2,所以 x2 + 宀(xi + x2 2XIX2= 43=| 【答案】C 【解【解析】由圖象可知 f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)與(2,0)，因此 1 + b+ c= 0， 彳 解得 b= 3，c = 2，所以 f(x) = x3 3x2 + 2x，所 8 + 4b+ 2c = 0， 以 f (x)= 3x2 6x +

7、2.因?yàn)?x1,x2是方程 f (x)= 3x2 6x+ 2= 0 的兩根，所以 xi + x2= 2, xg2,所以 x2 + 宀(xi + x2 2XIX2= 43=| 1 2 7. (2018 福建寧德一模)若函數(shù) f(x) = 3X3+x2 3 在區(qū)間(a, a + 5) 上存在最小值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) A . 5,0) B. ( 5,0) C. 3,0) D. ( 3,0) 3 y - 2 1 審云 【答案】C 【解【解析】由題意知，f (x)= x2+ 2x=x(x + 2),令 f (x) = 0, 解得 x= 0 或2,故 f(x)在 (, 2), (0,+乂)上

8、是增函數(shù)，在( 2,0)上是減函數(shù)，做出其圖象如圖所示.令 1x3 + x2 3= 3 得，x= 0 或 x= 3,則結(jié)合圖象可知， i a + 5 0, 選 C. 8. (2018 湖北武漢一模)已知函數(shù) f(x) = x3 2x2 4x 7,其導(dǎo)函 數(shù)為f (x)，給出以下命題： . (2 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3, 2J; f(x)的極小值是15; 當(dāng) a2 時(shí)，對(duì)任意的 x2 且 x 工 a,恒有 f(x)f(a) + f (a)(x a); 3 w av 0, 解得 a 3,0).故 根，所以 xi + x2= 2, xg2,所以 x2 + 宀(xi + x2 2XIX2= 43=

9、| 函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn). 其中真命題的個(gè)數(shù)為() A . 1 C. 3 【答案】C 【解析】f (x) = 3x2 4x 4= (x 2)(3x + 2).令 f (x)v0, 得30, 2 得 xv 3 或 x2,結(jié)合可知 f(x)的極小值是 f(2)= 15;顯然當(dāng) a2 時(shí)，對(duì)任意的 x2 且 XMa,恒有 f(x)f(a) + f (a)(x a)不成 f 2、 149 立；f 3 = 0, f(2)= 15v 0,并結(jié)合易知 f(x)有且只 有一個(gè)零點(diǎn).故選 C. 二、填空題 1 9. (2019 江蘇泰州調(diào)研)函數(shù) f(x) = 3X3 + x2 3x 4 在0,2上的

10、最 小值是 _ . 17 【答案】擰 【解析】f (x) = x2 + 2x 3,令 f (x) = 0 得 x= 1(x= 3 舍去).又 17 =3 . 10. (2018 廣州模擬)已知函數(shù) f(x) = x3 + 3ax2 + bx+ a2在 x= 1 時(shí)有極值 0,貝 S a b = _ . 【答案】7 【解析】由題意得 f (x) = 3x2 + 6ax + b ,則 1+3a b + a = 0, f a= 1, a= 2, 解得 或 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) a = 1, 17 f(0) = 4, f(1) = y, f(2)= 10 3 ,故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1) 3 6a

11、 + b= 0, lb = 3, b= 9. b= 3 時(shí)，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增無(wú)法取得極值，而 a= 2, b = 9 滿足題意， 故 a b= 7. 11. (2018 廣西柳州模擬)已知函數(shù) f(x)= x3 + mX + (m+ 6)x + 1 既 存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 _ . 【答案】(一 = ,3)U (6,+乂 ) 【解析】對(duì)函數(shù) f(x)求導(dǎo)得 f (x) = Bx2+ 2mx+ m+6,要使函數(shù) f(x)既存在極大值又存在極小值，則 f (x) = 0 有兩個(gè)不同的根，所以 判別式 A0,即 4m2 12(m+ 6)0,所以 m2 3m 180,

12、解得 m 6 或 mv 3. 12. (2018 內(nèi)蒙古包頭聯(lián)考)已知函數(shù) f(x) = x3 6x2 + 9x abc, a v bv c,且 f(a) = f(b) = f(c) = 0.現(xiàn)給出如下結(jié)論： f(0)f(1)0; f(0)f(1)v 0; f(0)f(3)0; f(0)f(3)v 0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 _ . 【答案】 【解析】 行 (x) = 3x2 12x + 9= 3(x 1) (x 3), 由 f (x)v0, 得 1 vxv 3;由 f (x) 0,得 xv 1 或 x3. f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(一x, 1), (3,+*)上是 增函數(shù).

13、 又 av bv c, f(a) = f(b) = f(c) = 0, y 極大值=f(1) = 4 abc 0, y 極小值=f(3) = abcv 0, 0v abcv 4. /a, b, c 均大于零，或者 av0, bv0, c0. 又 x= 1, x= 3 為函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)，a0, b0 不成立, 如圖. f(0)v0；.f(0)f(1)v0, f(0)f(3)0,/正確結(jié)論的序號(hào)是. 三、解答題 x 13. (2018 大連雙基測(cè)試)已知函數(shù) f(x) = a ex(a0). a (1) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 求函數(shù) f(x)在1,2上的最大值. x 1 【解】(1)f(x) = - g(a0),貝 y f (x)= ex. a a 1 令 f (x) ex=0,貝卩 x= In a. a 當(dāng) x 變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表: x 汽lna