1、2018 年普通高等學校招生全國統一考試最新高考信息卷理科數學（一）注意事項：1 1、本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務必 將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2 2、回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號 涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在試卷上無效。3 3、回答第n卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4 4、考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題：本大題共1212 小題，每小題 5 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的。1 1 設集合M二3,log3a?,N a,b

2、?，若M仃N 0,，則M U N二（）A.A.3,0?B B.3,0,1?C.C.3,0,2?D.D.3,0,12?【答案】B B【解析】因為Mp|N0?,a 0，所以b =0，所以log3a=0,所以a =1，所以M.3,0?,N=1,0?，所以M J N：3,0,1，故選B.2 2已知a R,i為虛數單位若復數z二a|是純虛數則a的值為（）1 +iA.A. -1-1B B. 0 0C.C. 1 1D.D. 2 2【答案】C C【解析】由題意，復數z =a =aT1T =a一1一a 1為純虛數，1+i（1+i ）（1-i ）2則a 1 = 0，即a =1，故選C.3.若cos a1n . _

3、, 且冗,貝U sin 2a的值為（)12 /3224逅A.A.- -22B B.C.C.22D.D.4、2999 99 9-2 -【答案】A An又因為sin : 0，所以.-0，所以cos：24 4已知等比數列 訂奩的前n項和Sn滿足4S5=3S4S6,且a2=1則a4等于（【答案】D D【解析】因為4S5= 3S4 S6，所以3S5- 3S4= S6- S5，所以3a5= a6,故q =3，由等比數列的通項公式得a4= a2q4_2=1 32= 9，故選D.5.5.現有 5 5 人參加抽獎活動，每人依次從裝有 5 5 張獎票（其中 3 3 張為中獎票）的箱子中不放回地 隨機抽取一張，直到

4、 3 3 張中獎票都被抽出時活動結束，則活動恰好在第4 4 人抽完后結束的概率為（）【答案】C C【解析】將 5 5 張獎票不放回地依次取出共有C5=10種不同的取法，若獲恰好在第四次抽獎結束，則前三次共抽到2 2 張中獎票，第四次抽的最后一張獎票，共有 為 P P = =，故選 C.C.106.6.個幾何體的視圖如下圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ 勺，所以灼0,b 0)，得A(-a,0 ), B(a,0 ), F (-c,0 ),a b又過點F作垂直與x軸的直線分別在第二，第三象限角雙曲線C于P、Q兩點,-9 -aCx，令x=0，得y-c ，即E0, c - a,11212已知函數f

5、 xax2- x-1exaR若對區間101 1內的任意實數Xi、x?、X3，都2有f Xif x?- f x3，則實數a的取值范圍是（）A.A.1,2丨B B.e,41C.C.1,41D.D.i,2ije,41【答案】C C【解析】由題得x = ax - ”ex x -1 ex= ax - xex= x a - ex,當a 1時，x：0,所以函數f x在1.0,1單調遞減，因為對區間0,11內的任意實數捲、X2、X3，都有f為f x?- f x3,所以f 1 f 1一f 0，所以丄a丄a _1,2 2故a -1，與a : 1矛盾，故a -1不成立.當1乞a：e時，函數f x在（0,1 na】單

6、調遞增，在In a,1單調遞減.X2、X3，都有f x,f x?- f X3,所以Pb2)如圖所示，設因為QM二2MF,解得 口A,E三點共線，所以kAE= kMA，即3，a c a又由直線PB的又因為b2=C2-a2，整理得c -a所以f (x max= f(In a )=1a In2a -aln a a,2因為對區間0,11內的任意實數x1， 即M3abT3a2 2Ca，即c=2a，所以3a c-a-10 -所以f0f1_f Ina所以1_如Jaal na a,121即一aln a-al naa-10,2 2121令g a aln a-alnaa -1,1 _a：e,12所以a ln a-

7、1：0，所以函數g a在1,e上單調遞減，所以g amax二g 1 =0,所以當 仁a :e時，滿足題意.當a_e時，函數f x在0,1單調遞增，因為對區間0,11內的任意實數X1、X2、X3，都有f為fX2- fX3,1所以f 0 f 0 _ f 1，故11 a，所以a空4，故e乞a乞4；綜上所述，a- 1,4；故選C.第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)(13)(21) 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第(22)(23)(22)(23) 題為選考題，考生根據要求作答。、填空題：本大題共4 4 小題，每小題 5 5 分。1313.若兩個非零向量a、b滿足a+b=|a-b

8、= 2 b,則向量a + b與a的夾角為_n【答案】-6【解析】設b= 1，貝Ua+b=|ab= 2, a b = 0，故以a、b為鄰邊的平行四邊形是矩形，且a = J3x y _ 0X-yO，貝V 3x - 2y的最大值為設向量a b與a的夾角為二，則cos =a2a b a|ab1414 .設變量X,y滿足約束條件-11 -3x y乞4【答案】5 5-12 -【解析】畫出不等式組所表示的平面區域，如圖所示,由圖象可知，當直線y-過點A點時，直線在縱軸的截距最大,2 2所以目標函數的最大值為3 1 2 1=5.1515已知F為拋物線E:y2=2px p 0的焦點，過F作傾斜角為30的直線I與

9、拋物線E交于A、B兩點，過A、B向E的準線作垂線，垂足分別為C、D，設CD的中點為M,則|MF =_.【答案】2P聯立直線和拋物線的方程得2 24x -28px p=0.設A音，力、B x2, y2，則為x?=7 p,所以設AB的中點為N且其的橫坐標為 為一=-p,2 2所以N的縱坐標為y p 3p =.3p,326所以|MF| = J3p2+p2=2p，故填2p.1616記m二d1a1 d2a2d佝佝，若擊是等差數列，則稱m為數列訂,的“dn等差均n值”；若是等比數列，貝U稱m為數列aj的“dn等比均值”.已知數列的“2n-1【解析】設直線的方程為y -0 =設目標函數z = 3x - 2

10、y，化簡得此時目標函數取得最大值，由，解得!xy=!，即A1,1，-13 -n項和為Sn,若對任意的正整數n都有Sn乞S6，則實數k的取值范圍是【答案】13.11K 54【解析】a1- 3a22 n -1 an,由題得2-,所以ai 3a2| 2n -1 an= 2n,n所以印3a2 III 2n -3 and-2n -2，兩式相減得an:2n 1又由題得3 :3b23乜，所以b3b2|3nbn=3n,n所以b,3b2J| 3nbnJ-3n -3，兩式相減得bn=32，所以cn= 2 -k n 2k -1，因為對任意的正整數n都有Sn S6，所以C6，c 01311丄士1311解之得K，故填K

11、5454三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1717. (1212 分)已知ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c其面積為S，且b c2-a2=4、3S.(1) 求角A;(2) 若a =、3,b二m m 0，當ABC有且只有一解時，求實數m的范圍及S的最大 值.【答案】(1 1)A =n; (2 2)3-3等差均值”為2 2，數列仏？的“3n-等比均值”為 3 3記2cn二an-k log3bn，數列tCn?的前-14 -34【解析】(1 1)由己知b2 c2-a2 2bc = 2、3bcsi nA,由余弦定理得2bccos A 2bc = 2、3bcsin A,所以co

12、sA 13s in A,即sin A-n=丄,I 6丿2-15 -n I n5n 匚廠、n nn彳畀所以A一匸6,A盲(2)由己知，當ABC有且只有一解時,當m=2時，ABC為直角三角形，1133,2 21818. ( 1212 分)某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了 100100 人的身高數據進行統計分析經數據處理后，得到了如下圖1 1 所示的頻事分布直方圖，并發現這 100100 名學生中，身不低于 1.691.69 米的學生只有 1616 名，其身高莖葉圖如下圖 2 2 所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.:Am 0, n,msi

13、n - -. 3或03:m3，所以0,、一3 U2?;當0 : m乞J3時，由正弦定理msin Bm = 2sin B，sin31_2n3S 3sinB sinC =、3sin B sin一B sin BcosB23二si n2B23si n BcosB23sin2B31cos2B3前2B -上2 2 2 2冗冗 冗-2BJ r所以，當B=丄時,3Smax3.3,2綜上所述，Smax334冗-16 -(1)求該市高一學生身高高于 1.701.70 米的概率，并求圖 1 1 中a、b、c的值.(2)若從該市高一學生中隨機選取 3 3 名學生，記為身高在1.50,1.70的學生人數，求的 分布列和

14、數學期望；(3)若變量S滿足P -；：S： 0.6826且P- 2-: S2- 0.9544, 則稱變量S滿足近似于正態分布N亠匚2的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態分布N 1.6,0.01的概率分布，則認為該市高一學生的身高發育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發育總體是否正常，并說明理由.【答案】(1 1)見解析；(2 2)見解析；(3 3)見解析.【解析】(1 1)由圖 2 2 可知，100100 名樣本學生中身高高于1.701.70 米共有 1515 名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學生的身高高于1.701.70 的概率為 0.150.15 .記X為學生的身高

15、，結合圖1 1 可得：2f 1.301.4f 1.80：X 1.900.02,13f 1.40：X E1.50；=f 1.70：X 1.800.13,100, , 1f 1.50：X_1.60二f 1.60：X _1.701 -2 0.02 2 0.13 = 0.35,又由于組距為 0.10.1，所以a =0.2,b=1.3,c=3.5.(2 2)以樣本的頻率估計總體的概率，可知從這批學生中隨機選取1 1 名，身高在1.50,1.70】的概率為-17 -P 1.50：X乞1.70 = f 1.50：X乞1.60 f 1.60：X 1.70 =0.7,因為從這批學生中隨機選取3 3 名，相當于三

16、次重復獨立試驗，所以隨機變量服從二項分布B 3,0.7,故的分布列為：P = n =C30.3310.7nn =0,1,2,3,-18 -E0 01 12 23 3P&）0.0270.0270.1890.1890.4410.4410.3430.343E =0 0.027 1 0189 2 0.441 3 0.343 = 2.1（或E=3 0.7 =21）（3 3）由N 1.6,0.01，取=1.60,；:,01,由（2 2）可知，P-；X：；- P 1.50：X乞1.70=0.7 0.6826,又結合（1 1）,可得：P（4 2bX蘭卩+2b）=P（1.40cX W1.80）,=2 f

17、 1.70X E1.80 P（1.50：X乞1.70） =0.96 0.544,N 1.6,0.01的概率分布，應該認為該市高一學生的身高發育總體是正常的.AD/BC,PA =AB =AC二AD =3,BC = 4,M為線段AD上一點，2AM二MD,N為PB的中點.(1) 證明：MN/平面PCD;(2) 求直線PN與平面AMN所成角的正弦值.【答案】(1 1)見解析.(2 2)色.71【解析】(1 1)由己知得AM AD =1,DM =2,3取CP的中點T,連接DT,TN由N為PB中點知TN/BC,TN二丄BC = 2,2又AD/BC故TN/DM，四邊形DMNT為平行四邊形，于是MN/DT.因

18、為DT平面PCD,MN二平面PCD，所以MN/平面PCD.(2 2)取BC的中點E,連結AE,由AB二AC得AE _ BC，從而AE AD,所以這批學生的身高滿足近似于正態分布1919. ( 1212 分)如下圖，四棱錐P ABCD中，PA1底面ABCD,BC-19 -,AM = 0,1,0,AN , -12 2y2=1的右焦點為F，坐標原點為O.橢圓C的動弦AB過右焦點F且不垂直于坐標軸，AB的中點為N，過F且垂直于線段AB的直線交射線ON于點M.(1 1)求點M的橫坐標;(2 2) 當 OMF最大時，求 MAB的面積.【答案】(1 1)見解析；(2 2)出0.10【解析】(1 1)易知F

19、2,0，設AB所在直線為y二kx-2 k = 0,A x1,y1,B x2,y2,In AM =0 -y可取心)5n AN =0即丿453，可取n=下,-1x - y十z = 0&5丿、一22設n =x, y, z為平面AMN的法向量,故直線PN與平面AMN所成角的正弦值為則T 1n PNcos c n,PN=n |PlN3_3514 3也2752以A為坐標原點,AE的方向為x軸正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系A_ xyz，由題意知，A 0,0,0，P 0,0,3，M 0,1,0，B(g ), N可，2X2020. ( 1212 分)已知橢圓 -5且AE = . AB2-BE2-

20、20 -聯立方程組2X2.y 15，化簡得y=k x-22 2 2 25k 1 x -20k x 20k -5 = 0,由韋達定理得x-ix2=20k25k21x-|x220k2一55k2110k22k（5k2+1 5k2+1丿從而ON所在直線方程為15k又FM所在直線方程為（2 2）由（1 1）得M 5,1 12 22k，則詬1，2k，紡處，2k則cos OMF二5 J4225k26k1 4225k410k2116k2125k426k211625k226!k2_二5(當且僅當321k2=時取等號)，5當COS. OMF取得最小值時，OMF最大，此時x1*2=2,AB二1 k2片_x211, 22_4 （_；）FMm+4嚴1，從而SAMAB=一AB FM23 30102121. （1212 分）已知函數f x =1 nxmxT,g x =xl nx-n x2-1 m, n R.(1)若函數f x,g x在區間0,1上均單調且單調性相反，求m,n的取值范圍;x，-21 -22 -（2 2）若O”：a：b，證明：,0b,0b 4 4In a