1、第五節隱函數的求導公式一.一個方程的情形二、方程組的情形三.小結思考題、一個方程的情形1 F(x,j) = O y = y(x)如何求空？dx隱函數存在定理1設函數在點P(x。 ,幾)的 某一鄰域內具有連續的偏導數，且F(x。,兒)=0,竹(”00) )工0 則方程F(x,j) = 0在點P(x09y0)的 某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續 導數的函數J=/(X) ),它滿足條件Jo=/( (XO),并心隱函數的求導公式公式推導-F(x,y) = O =y=y(x):.F(x,y(x) = O求導竺+竺竺=0V P ar dy dx.空=_生dx Fy例1驗證方程H + J2-1=

2、 0在點(0,1)的某鄰 域內能唯一確定一個單值可導、 且x = 0|j = l的隱函數y =f(x)9并求這函數的一階和二階導 數在=0的值.解令 F(X,J) =X2+J2-1則Fx= 2x, Fy= 2y9F(0,l) = (),Fv(04) = 20,依定理知方程x2+j2-l = 0在點(0,1)的某鄰域 內能唯一確定一個單值可導、Kx=0Wj = 1的 函數丿=/()函數的一階和二階導數為已知Inxx2+ y2= arctan ,x解解 令F(x,j) = lnx/x2+ y2- arctanX則化=Fy(工 =xyx2y2dyFrx + y-1 I-.dxFyy-x例2已知Inx

3、x2+ j2= arctan,將x ax12x + 2y-yf=1yfx-y2x+y2i+(Z)2Xdyx + ydxj-x2. F(x,j,z) = O=z=z(x,j),$n何求冬，空? dx dy隱函數存在定理2設函數F(x,y,z)在點P(x”兒,S)的某一鄰域內有連續的偏導數，且川丸,Vo，Zo) )= 0，幾(嶺0憶0) )矣0,則方程A(x,y,2) = 0在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數z = /(x,j),它滿足條件S = /boo) ),另解:兩邊舷求并有dx F:9Z _Fydy Fz12例3設X2+J2+Z2-4Z= 0,求寫.or-解解

4、令F(x,z) = x+/+z-4z,dz Fxx則Fx=2x,F2=2Z-4,&= -p另解：對兀求偏導2x + 2z -4 = 0dx dxdz x _ _ 9Sr 2-zH公式vF(x,j,z) = O, =z =z(x,y),F(x,”z(x) =O,將上式分別對求導dz d ,dz d xT-T = () - )dx dx dx dx2 z(2 - z) + x密( (2-z)+x占-=ax =2-z(2 z)2一(2-Z) )2_ (2 z)2+ x2=“2-z)L 把x看成的函數對丿求偏導數得冬,dy把丿看成KZ的函數對Z求偏導數得?.OZ解 令iz = x +j+z,

5、v = xyz,則z = /(”川),ii例4思路：極=/(x +dydz把z看成dzdxdx12Z =u = x + y+z, v = xyz把z看成“y的函數對r求偏導數得 著 3+亶)+M+磴)， 整理得 主=_A2_& m把X看成的函數對y求偏導數得RYrx0 = /； ( +1) + /；(xz+yz),dy內13Z = f(u,v U = x + y+z, v = xyz,整理得迦=_厶上也，fu+ W，把y看成X,z的函數對z求偏導數得1 =尤(?+1) +岸(凈+農OZ,.整理得血上人 El 比化+ W二、方程組的情形fF(x,j,/,v) = Ofw = w(x,j)

6、G(X,J,M,V) = OV=V(X,J)公式推導(設兀“一刃=0, jz/ + xv = 1,直接代入公式;運用公式推導的方法,將所給方程的兩邊對X求導并移項du drx- y = -w dx dxdu dv y + x - = -r.dx dx在丿工 0 的條件下,-M-ydu = 7 x xu 4- yv dx x -yx2+ y2V X1、dii求亦dudyX-Myu-xvx2+y2dii _ xv- yu dyx2+y2dv _m +將所給方程的兩邊對y求導，用同樣方法得x + y+Z = Odu?79J-xy +z = 1dz解：方程組對求導三、小結隱函數的求導法則(分以下幾種情

7、況)(1)(1)F(x,j) = O(2)(2)F(x,j,z) = O(3)(3)|F(x,j,u,v) = Odx df dy dx dz5y dzx-y乙_xx-y習題-5P372,4,6,7,8,9,10(2)(3)41思考題已知王:=0（丿），其中P為可微函數，ZZ.dzdz 求x丁OX+咗=?dy22思考題解答XV記=則：=-zzzD ”兒1 U -X9y(-J) )化=一卩(一)一，耳=r 一卩(一) 2 ,Z ZZZZ及二 E 二 z&=7 以?張人Fz x-yqf(- ZZ工曰 &dz于是 x r +丿 r =z dx dy練習題一、填空題：1% 設 In s

8、x2+ y2= arctan ,則xdy _dx_-2、設 z” L 則dz去=-dz設 2sin( x + 2j -3z) = x + 2j - 3ztdz dz+dx dy證明:三、如果函數/(x,y,z)對任何 恒滿足關系式 ftx.ty,tz) =tkf(x9y9z),則稱函數為k次齊次函數,試證蟲次齊次函數滿足方程 df df df、* tx*詁kg W四、設 z-3xyz求舟dxdy五、求由下列方程組所確定的函數的導數或偏導數：(u = f(x,y)六、設函數(x)由方程組 j/?(x,j,z) = O 所確定，且雲*追* 0求字g均可微) dy dz dx七、設 J =是由方程尸(兒曲 2所確定的X的函數，求倉.八、設乙=z( (3) )由方程 F(x + -,j + -)=o 所確定，(其中具有J Xdz . dz練習題答案-x（6z + 1） dz x lyiiz +Tidx +-uf；（2”g 上 12-/；g；（Vf-