1、§3-4 三角網條件平差計算2 學時三角網測量的目的， 是通過觀測三角形的各角度或邊長， 計算三角網中各未知點的坐標、 邊的長度及方位角等。 三角網按條件平差計算時， 首要的問題是列出條件方程。 因此了解三 角網的構成，總結其條件方程的種類及各種條件方程的組成規律是十分重要的。三角網的種類比較多， 網的布設形式也比較復雜。 根據觀測內容 的不同，有測角網、測 邊網、邊角同測網 等；根據網中 起始數據 的多少，有 自由三角網和非自由三角網 。自由三 角網是指僅具有 必要起算數據 的三角網， 網中沒有多余的已知數據 。如果測角三角網中， 只 有兩個已知點（或者 已知一個已知點的坐標、 一

2、條已知邊的長度和一個已知的方位角 ），根 據數學理論， 以這兩個已知點為起算數據， 再結合必要的角度測量值， 就能夠解算出網中所 有未知點的坐標。 如果三角網中除了必要的起算數據外還有其它的已知數據， 或者說已知數 據有冗余，就會增加對網形的約束，從而增強其可靠性，這種三角網稱之為非自由三角網。 無論多么復雜的三角網，都是由單三角形、大地四邊形和中點多邊形組合而成的。在本節， 我們先討論三角網條件平差中條件方程個數的確定問題，然后主要討論測角三角網的條件方程的形式問題。一、網中條件方程的個數三角網平差的目的，是要確定三角點在平面坐標系中的坐標最或然值。如圖 3-9 所示， 根據前面學到的測量基

3、礎知識， 我們知道， 必須事先知道三角網中的四個數據， 如兩個三角 點的 4 個坐標值， 或者一個三角點的 2 個坐標值、 一條邊的長度和一個方位角， 這 4 個已知 數據我們稱之為三角網的必要起算數據。 有了必要起算數據， 就可以確定三角網在平面坐標 系中的位置、網的大小及其方位，就可以計算三角網中未知點的坐標。要對三角網進行平差計算，還必須先知道網中的總觀測數n判定必要觀測數 t，從而確定了多余觀測數：r = n - t由條件平差原理知， 多余觀測數與條件方程數是相等的， 有了多余觀測數， 也就確定出 了條件方程的個數。因此，問題的關鍵是判定必要觀測數t。1. 網中有 2 個或 2個以上已

4、知點的情況三角網中有2個或2個以上已知三角點，就一定具備了4個必要起算數據。無論是測角網、測邊網還是邊角同測網，如果有2個已知點相鄰，要確定一個未知點的坐標，需要觀測兩個觀測值(2個角，或者1條邊和1個角，或者2條邊)。也就是說，確定 1個未知點 要有2個必要觀測值；那么如果網中有p個未知點，必要觀測數應等于未知點個數的兩倍。t = 2 p(3-4-1)(1) 測角網圖3-9所示，三角網中有 2個已知點，待定點個數為p = 6。如果三角網中觀測量全部是角度時。總觀測值個數：n = 23必要觀測數：t = 2 p =12則多余觀測數，即條件平差條件方程個數：r = n -t = 11(2) 測邊

5、網在圖3-9中，如果三角網中觀測量全部是邊的長度時：總觀測值個數：n = 14必要觀測數:t = 2 -p =12r = n t = 2137161014IS,PIL205g21K則多余觀測數，即條件平差條件方程個數:(3) 邊角同測網在圖3-9中，如果三角網中的所有的角度值和所有的邊長值都進行觀測時:總觀測值個數：n = 37必要觀測數:t = 2 -p =12則多余觀測數，即條件平差條件方程個數:r = n t = 252. 網中已知點少于2個的情況有些情況下，三角網中已知點可能少于2個，只有1個已知點、1個已知邊和1個已知方位角，或者沒有已知點和已知方位角只有1個已知邊。但是，不管怎樣說

6、，1條已知邊是必須已知的，或者需要進行觀測的。如果沒有已知點，可以假定網中的1個未知點；如果沒有已知方位角，可以取網中的1個方向的方位角為某一假定值。這樣也就間接地等價于網中有2個相鄰點的坐標是已知的。(1)測角網三角網中共有p個三角點、1個已知方位角(也可以沒有)、1個已知點(也可以沒有已知點)和1個已知邊長S (或者也是觀測得到的)，并觀測了所有的角度。如果已知點和 已知方位角都沒有，就要進行必要的假設。則在進行條件平差時，必要觀測數為：t = 2 (p 2)(3-4-2)如圖3-10所示，三角網中觀測了所有角度值(如果沒有已知邊時，也觀測1條邊長作為起算數據)。網中三角點個數：p = 6

7、角度觀測值個數：n = 12必要觀測數：t = 2 ( p -2) = 8則多余觀測數，即條件平差條件方程個數：r = n -t = 4(2)測邊網或邊角同測網若三角網中，共有p個三角點和1個已知點(或者也是假定的)，并對所有的邊長，或 者角度和邊長進行了觀測，觀測值總個數為n。在進行條件平差時，由于要加上必須的起算邊長，則必要觀測(邊或者邊和角)的個數為t = 2 ( p 2)+1(3-4-3)如圖3-10所示，網中三角點個數：p = 6如果是測邊網，則必要觀測數： 多余觀測數，即條件平差條件方程個數： 如果是邊角同測網，則 總觀測值個數：必要觀測數：多余觀測數，即條件平差條件方程個數：t

8、= 2 ( p -2) +1=9r = n t = 0n = 21t = 2 ( p -2) +1=9r = n -t = 12以上我們僅對幾種三角網， 討論了條件平差時必要觀測數及多余觀測數和條件平差方程 數的確定方法， 還有很多情況沒有涉及到。 在實際平差計算中， 應針對不同情況進行具體分 析。、條件方程的形式三角網中的條件方程主要有以下幾種形式：1. 圖形條件方程圖形條件， 又叫三角形內角和條件， 或三角形閉合差條件。在三角網中，一般對三角形 的每個內角都進行了觀測。根據平面幾何知識，三角形的三個內角的平差值的和應為180?，如圖3-12中的三角形ABP，其內角平差值的和應滿足下述關系：

9、L?1 L?2 L?3 1800(3-4-4)此即為三角形內角和條件方程。 由于三角形是組成三角網的最基本的幾何圖形， 因此， 通常稱三角形內角和條件為 圖形條件 。因此圖形條件也是三角網的最基本、 最常見的條件方 程形式。與(3-4-4)式相對應的改正數條件方程為v1 v2 v3 w 0(3-4-5)w(L1 L2 L3 180 )(3-4-6)2. 水平條件方程 水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見于中點多邊形中。如圖3-12 所示，在中點 P 上設觀測站時，周圍的五個角度都要觀測。這五個觀測值的平差值之和應等于360?，即L3L?6L9L12L15 360(3-4-7)相應的改正數

10、條件方程為(3-4-8)(3-4-9)V3V6V9% V15 W 0圖 3-11W (L3 L6 L9 L12 L15360 )B巨1節15/AB圖 3-123. 極條件方程極條件是一種邊長條件，一般見于中點多邊形和大地四邊形中。先看中點多邊形的情況。如圖3-12所示，中心P點為頂點，有五條邊，從其中任一條邊開始依次推算其它各邊的長度，最后又回到起始邊，則起始邊長度的平差值應與推算值的長度相等。在圖3-12所示的三角網中，我們應用正弦定理， 以BP邊為起算邊，依次推算AP、EP、DP、CP,最后回到起算邊 BP、，得到下式sin L sin ?sin L?7 sin £sin l?|

11、0sin L?3sin I?"sinl?14整理得(3-4-10)sin !?sin Esin L7 si n?0si n?3 gsin L2 sin l?5 sin I? sin ?1 sin ?4（3-4-10）式即為平差值的極條件方程。為得到其改正數條件方程形式，可用泰勒級數對上式左邊展開并取至一次項：sin I? sin £ sin l?7 sin l?10 sin l?3 sin l?2 sin l5 sin l?8 sin l?11 sin L14sin L1 sin L4 sinL7sinL1OsinL13sin L2 sin L5 sinL8sinL11si

12、nL14sinL1sinL4sinL7sinL10sin L13v1cot L1 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 cot L2 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13v4cot L4 - sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 丄，v7cot L7 sin L2 sinL5

13、sin L8 sinL11sin L14sin L1 sinL4sin L7 sinL10sin L13V10cot L10 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sinL7sinL10sin L13v13cot L13 一 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13v5cot L5 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sinL13丄， v

14、8cot L8 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14sin L1 sinL4sin L7 sinL10sin L13v11化簡，即得極條件的改正數條件方程:(3-4-11)ctgjv1 ctgLzV? ctgLqVq ctgLsVs ctgLiV? ctgVsctgL1oWo ctgLnVn ctgL13V13 ctgLVg w 01 sin L2 sin L5sinL8sinL11sin L14sin L1 sin L4sinL7sinL10sin L13(3-4-12)3-11所示，可以取D點為極點，以BD為起始邊，依次推算 AD、CD再回到BD邊。仿照

15、中點多邊形的極條件方程,由正弦定理，得大地四邊形的極條件平差值方程sin(L7l?8)sinl?2sin l?4sin I? sin(L3l?4)sin L7整理得sin L?2 sin l?4 sin(l?7L8)sin I? sin(L3L?4)sin L7(3-4-13)相應的改正數條件方程sinctgjv1ctgL2V2ctg (L3L4W3(ctg(L7Ls) ctgL7Mctg(L? LgM w(ctgLq ctg(L3 L4)V4(3-4-14)4.方位角條件方程1 sin L1 sin(L3 L4)sin L7 sin L2 sin L4 sin(L7L8)(3-4-15)在大

16、地四邊形中的極條件方程與中點多邊形稍有不同。如圖前面討論的三種條件方程在三角網中比較常見。如果三角網中的起始數據有了變化，起 算數據不相鄰，或者已知數據有冗余，還會增加一些限制條件，產生其它類型的條件方程,如方位角條件方程、邊長條件方程、坐標條件方程等。這些類型的條件方程常見于非自由三角網中。如圖3-13所示，為一個非自由三角網， 有4個已知點、2個未知點和12個角度觀測值。 必要觀測個數t = 2 >2 = 4,多余觀測數r = n -1 = 12 - 4 = 8 ,即共有8個條件方程，其中圖 形條件方程有4個，沒有極條件，也沒有水平角條件， 那么另4個是什么類型的呢？由于三 角網中有

17、4個已知點，每個已知點有2個坐標值，共計8個已知數據，超過了 4個必要起算 數據，從而產生4個冗余的已知數據。 這4個多余的已知數據必然會導致4個矛盾，進而產生4個條件方程。方位角條件，嚴格地說是方位角附合條件，是指從一個已知方位角出發，推算至另一個已知方位角后，所得推算值應與原已知值相等。如從4個已知點可以反算出 AB和EF兩邊的邊長值和方位角值，這些值也可看作是已 知值，作為起算數據用。設AB邊的方位角Tab , EF邊的已知方位角為 TEF。如果從AB向EF推算，推算路線 如圖中所示，設 EF方位角的推算值的最或然值為 TEF，近似值為Tef。則方位角附合條件 方程為TEfTef0(3-

18、4-16)其中TEftabL?3L?6L9L?123 180代入（3-4-16）后，整理得L?3L6L9L?12TabTef 3 1800其相應的改正數條件方程V3V6V9V12wT0(3-4-17)其中wT( L3L6L9L12 TAB TEF3 180 )(3-4-18)5.邊長條件方程邊長條件，嚴格地說是邊長附合條件，是指從一個已知邊長出發，推算至另一個 已知邊長后，所得推算值應與原已知值相等。圖3-13三角網中，設 AB邊的已知長度為 Sab , EF邊的已知長度為 SEF。如果沿圖中所示的推算路線，從 AB向EF推算，得EF邊長推算值的最或然值為S?EF，近似值為Sef 。則邊長附合

19、條件方程為(3-4-19)其中10sin l?2 sin L?5 sin l?8 sin Ei- sin L? sin l?4 sin l?7 sin E Sab將上式代入（3-4-19 ）式，并將邊長條件整理為(3-4-20)Sab sin L? sin £ sin L?7 sin L?0 Sef sin L?2 sin L?5 sin l?8 sin l?1仿照極條件式，將上式左邊用泰勒級數展開,取至一次項，整理后得其改正數條件方程:ctgjv1 ctgLzV? ctgLqVq ctgLsVsctgL7V7 ctgLsV8ctgL1°V10 ctgLnVn Ws0(3-

20、4-21)/Sef sinL2Sin L5 sin a sin L11Ws1(3-4-22)Sab sin L1 sin L4 sin L7 sin L106.坐標條件方程坐標條件方程，是指從一個已知點出發，推算至另一個已知點后，所得推算值應與該點的已知坐標值相等。圖3-13三角網中，設B點的已知坐標為（xB， yB） ，E點的已知坐標為（xE， yE ）。 如果沿圖中所示的路線，從BtC-E進行推算，得E點坐標推算值的最或然值為 （XE , ?E）, 近似值為（xe ,yE）。則坐標條件方程為(3-4-24)?e xe 0（3-4-23）y?EyE 0而?EXbXbcXce XbSbc CO

21、sTBc s?ce cosTce(3-4-25)其中SbcSabsin 1?(3-4-26)sin L2ScEsin 1? sin l?4 sin L7 sin l?2SabQQQQ(3-4-27)sin 鳥 sin L5 sin L8 sin L?1TBcTabL3 180(3-4-28)TceTabL3 l?6 L9 L10 2 180(3-4-29)將上述(3-4-26) (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒級數展開，取至一次項，整理后得：(Xe XB)(ctgLiW ctgLzV?) (Xe XcXctgLqVq ctgLsVs)(Xe Xc)(ctgL7V7 ctgL

22、gVg) (Xe Xc XctgLv ctgLnvn)(3-4-30)(yEyB)( V3) (yEyc)( V6)We yc)( V9) (yEyc)( w。)wx 0為不使閉合差項Wx過大，影響平差結果的精度，在計算坐標條件方程時，可以考慮X、y以公里（km）為單位，而Wx中的坐標差項以米（m）為單位。即Wx(Xe Xe )1000206.265(Xe Xe )(3-4-31)同理可寫出橫坐標改正數條件方程(yEyB)(ctgLiW ctgL2V2)仏yc)(ctgL4V4ctgLsVs)(yEyc)(ctgL7V7 ctgLgVs)(yE ycXctgLwctgLii%)(3-4-32)

23、 (XeXb)( V3) (XeXc)( V6) (XeXc)( V9) (Xe Xc)( %)Wy0其中(3-4-33)Wy206.265(Ye Ve)坐標附合條件方程， 尤其是改正數條件方程， 形式上雖然比較復雜， 但也非常具有規律性。這一點，請同學們結合圖3-13認真地分析，看能否總結出其概括形式。以上八種條件方程及其改正數條件方程的類型和形式，基本上涵蓋了測角型三角網條件方程的基本形式。需要說明的是，三角網布設形式極其多樣，條件方程的形式也較為繁雜， 但關鍵是要掌握其基本形式，并能融會貫通靈活運用。三、例題如圖3-14是一個三角網，A、B、E、F是已知點，C、D是待定點，等精度觀測了所

24、有內角值，已知數據和觀測數據如表3-4所示。試列出用條件平差法時的改正數條件方程。表3-4已知坐標(m)已知方位角已知邊長(m)B (183120.420,29502560.540)Tab = 32?20 ' 14.9 'Sab = 2501.118E (181740.210,29505455.940)Tef = 355?53 ' 42.6Sef = 2582.529角度觀測值3 =46?21 '56.1 ”3 =:62?21 '42.43 =58?03 '46.6 '3 =91?4354.0 ”訖=74?59 '41.4 ”3

25、=:67?39 '43.63 =53?15 '16.1 '3 =47?2149.9 3 =58?38 '17.2 ”3 =:49?58 '38.93 =68?40 '54.3 '3 =40?5408.1 圖 3-14解：這是一個非自由測角三角網。觀測值總數n = 12必要觀測數t = 4多余觀測數r = n -t = 8即，有8個條件方程，而網中共有： 4個圖形條件、4個坐標附合條件、1個方位角條4個圖形條件、1個方件和1個邊長附條件可選。由于坐標條件較為復雜，為計算方便，選位角條件、1個邊長條件和2個坐標條件。運算線路如圖中所示。因為角

26、度的觀測精度相同，取Q = P -=E首先，根據觀測值，利用余切公式計算有關近似坐標:C (181440.319,29503390.921)D (183084.184,29504111.735)E (181740.109,29505456.041)圖形條件方程V1V2V3W10V4V5V6W20V7V8V9W30V10V11V12W40方位角條件方程V3V6V9V12W50邊長條件方程Sab sin I?1 sin ? sin l?7 sin L10SEF sin l?2 sin l?5 sin l?8sin L?11其改正數形式cot L1 v1cotL2v2COt L4V4cot L5v5

27、 cot L7v7cotLgVgcot L10V10cot L11V11W60縱橫坐標條件方程(XeXB)(cot L1V1cot L2V2)(XeXc )(cot L4V4cot L5V5)(Xe Xd )(cot L7V7COtLgVs)(yE yB)( V3)(yE yc)( V6) (yE yD)( w) w 0(yE yB)(cotLN1 cotLzV?) 隊 yc)(cot L4V4 cot L5V5)(yEyo)(cot L7V7 COtLgVs) (Xe Xb)( V3)(Xe Xc)( V6)(Xe Xd)( V9) W80其中閉合差項為:w1(L1L2L3180 )=5.3w2(L4L5L6180 ):=-4.9W3(L7L8L9180 )=2.5w4(L10L11L12180)=8.0W5(L3L6L9L12Tab tef3 180 ) = - 7.8W61S