1、.薅羂莄蒅襖羂肄蟻螀羈膆蒄蚆肀艿蠆薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆蒞莃蠆肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈螞蚈螅芀蒄薄螄莃蝕袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蝕袁葿莄罿袀腿蕿裊衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肅莀薃羇膆薆袁羆羋荿螇羅蒀薄螃羄膀蕆蠆羃節蚃薅羂莄蒅襖羂肄蟻螀羈膆蒄蚆肀艿蠆薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆蒞莃蠆肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈螞蚈螅芀蒄薄螄莃蝕袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蝕袁葿莄罿袀腿蕿裊衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肅莀薃羇膆薆袁羆羋荿螇羅蒀薄螃羄膀蕆蠆羃節蚃薅羂莄蒅襖羂肄蟻螀羈膆蒄蚆肀艿蠆薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆蒞莃蠆肆肅蕿薅肅膇莁袃肄芀

2、薇蝿膃莂莀蚅膂肂薅薁膁芄莈羀膀莆蚃袆膀蒈蒆螂腿膈螞蚈螅芀蒄薄螄莃蝕袂袃肂蒃螈袃膅蚈蚄袂莇蒁蝕袁葿莄罿袀腿蕿裊衿芁莂螁袈莄薈蚇袇肅莀薃羇膆薆袁羆羋荿螇羅蒀薄螃羄膀蕆蠆羃節蚃薅羂莄蒅襖羂肄蟻螀羈膆蒄蚆肀艿蠆薂聿莁蒂袁肈肁芅袇肇芃薀螃肆蒞莃蠆肆肅 第3章 矩陣特征值與特征向量的計算一些工程技術問題需要用數值方法求得矩陣的全部或部分特征值及相關的特征向量。3.1 特征值的估計較粗估計r(A) £ |A|欲將復平面上的特征值一個個用圓盤圍起來。3.1.1 蓋氏圖定義3.1-1 設A = aijn´n，稱由不等式所確定的復區域為A的第i個蓋氏圖，記為Gi，i = 1，2，n。定理3.1

3、-1 若l為A的特征值，則證明：設Ax = lx (x ¹ 0)，若k使得因為ÞÞÞ例1 估計方陣特征值的范圍解：G1 = z：|z 1|£ 0.6；G2 = z：|z 3|£ 0.8；G3 = z：|z + 1|£ 1.8；G4 = z：|z + 4|£ 0.6。G1G2G3G4注：定理稱A的n個特征值全落在n個蓋氏圓上，但未說明每個圓盤內都有一個特征值。3.1.2 蓋氏圓的連通部分稱相交蓋氏圓之并構成的連通部分為連通部分。孤立的蓋氏圓本身也為一個連通部分。定理3.1-2 若由A的k個蓋氏圓組成的連通部分，含且僅

4、含A的k個特征值。證明: 令D = diag(a11，a12，ann)，M = A D，記則顯然有A(1) = A，A(0) = D，易知A(e)的特征多項式的系數是e的多項式，從而A(e)的特征值l1(e)，l2(e)，ln(e)為e的連續函數。A(e)的蓋氏圓為：因為A(0) = D的n個特征值a11，a12，ann，恰為A的蓋氏圓圓心，當e由0增大到1時，li(e)畫出一條以li(0) = aii為始點，li(1) = li為終點的連續曲線，且始終不會越過Gi；aiili 不失一般性，設A開頭的k個圓盤是連通的，其并集為S，它與后n k個圓盤嚴格分離，顯然，A(e)的前k個蓋氏圓盤與后n

5、 k個圓盤嚴格分離。 當e = 0時，A(0) = D的前k個特征值剛好落在前k個圓盤G1，Gk中，而另n k個特征值則在區域S之外，e從0變到1時，與始終分離（嚴格）。連續曲線始終在S中，所以S中有且僅有A的k個特征值。注：1) 每個孤立圓中恰有一個特征值。2) 例1中G2，G4為僅由一個蓋氏圓構成的連通部分，故它們各有一個特征值，而G1，G3構成的連通部分應含有兩個特征值。3) 因為例1中A為實方陣，所以若l為A的特征值，則也是A的特征值，所以G2，G4中各有一個實特征值。3.1.3 蓋氏圓與相似變換由于特征值是相似不變量，所以代數上常用相似變換將矩陣化簡以得到特征向量，這里也可用相似變換

6、將蓋氏圓的半徑變小，以得到更好的估計。原理：取對角陣作相似變換陣：P = diag(b1，b2，bn)其中bi > 0，i = 1，2，n則與A有相同特征值.而B的第i個蓋氏圓為：， 適當選取b1，b2，bn就有可能使B的某些蓋氏圓的半徑比A的相應蓋氏圓的半徑小。1) 欲縮小Gi，可取bi最大。2) 欲縮小除Gi外的圓，可取bi最小。例2，估計的特征值范圍。解：A的三個蓋氏圓分別為：G1 = z：| z 0.9|£ 0.13；G2 = z：| z 0.8|£ 0.14；G3 = z：| z 0.4|£ 0.03l3 Î G3，較好。為了更好地估計另

7、外兩個特征值可取b3最小：取b1 = b2 = 1，b3 = 0.1即，則所以G1' = z：| z 0.9|£ 0.022；G2' = z：| z 0.8|£ 0.023；G3' = z：| z 0.4|£ 0.3三個蓋氏圓分離，故有l1 Î G1'，l2 Î G2'，l3 Î G3。3.2 冪法與反冪法冪法是求方陣的最大特征值及對應特征向量的一種迭代法。3.2.1 冪法設An有n個線性相關的特征向量v1，v2，vn，對應的特征值l1，l2，ln，滿足|l1| > |l2| ³

8、 ³ |ln| (3.2.1)1. 基本思想因為v1，v2，vn為Cn的一組基，所以任給x(0) ¹ 0， 線性表示所以有 (3.2-2)若a1 ¹ 0，則因知，當k充分大時 A(k)x(0) » l1ka1v1 = cv1 屬l1的特征向量另一方面，記max(x) = xi，其中|xi| = |x|¥，則當k充分大時，若a1 = 0，則因舍入誤差的影響，會有某次迭代向量在v1方向上的分量不為0，迭代下去可求得l1及對應特征向量的近似值。2. 規范化在實際計算中，若|l1| > 1則|l1ka1| ®¥，若|l1| &

9、lt; 1則| l1ka1| ® 0都將停機。須采用“規范化”的方法， k = 0，1，2， (3.2-4)定理3.2-1 任給初始向量有， (3.2-5)證明：而注：若的特征值不滿足條件(3.2.1)，冪法收斂性的分析較復雜，但若l1 = l2 = = l r且|l1| > |l r +1| ³ ³ |ln|則定理結論仍成立。此時不同初始向量的迭代向量序列一般趨向于l1的不同特征向量。3. 算法求maxa(x)的流程，設數組x(n)數向量x的n個分量數組x = nk = 1for(i = 2 to n, i+)若|xi| > |xk|Tk = ima

10、x = xk冪法流程：輸入數組x0, eps, Ax1 = x0y = x1/maxa(x1)x0 = Ay|maxa(x1) maxa(x0)| < eps輸出y, maxa(x0)例1，用冪法求的最大模特征值及對應特征向量見P312function y = maxa(x)k=1;n=length(x);for i=2:n if (abs(x(i)>abs(x(k),k=i; end;end;y=x(k);A=2,4,6;3,9,15;4,16,36;x0=1;1;1;y=x0/maxa(x0)x1=A*ywhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)>0.001

11、x0=x1; y=x0/maxa(x0) x1=A*yend;ymaxa(x1)3.2.2 加速方法冪法的迭代公式：當k ®¥時，max(x(k) ® l1，其中|l1| > |l2| ³ ³ |ln|注：冪法的收斂速度取決于比值|l2| / |l1|，考慮收斂加速1. 特征值的Aitken加速法(1) 思想：由定理3.2.1的證明知Þ(3.2.6)解之得 (3.2.7)使用l1(k+2)作為l1的近似值的算法稱為Aitken加速法。(2) Aitken加速法設xk線性收斂到x*，即存在c，|c| < 1，滿足xk+1 x

12、* = (c dk)( xk x*)，其中令則算法：計算流程圖輸入x0計算max(x0)，y0 = x0/max(x0)計算x1=A y0，max(x1)，y1= x1/max(x1)x2 = A y1，l1 = l0計算max(x2)y2= x2/max(x2)l0=max(x2)-max(x2)-max(x1)2/max(x2)-2max(x1)+max(x0)x0 = x1，x1 = x2|l1 - l0| > eps輸出l0例2 用冪法求方陣A的最大模特征值，并用Aitkem加速法解：見（P314）x0=1;1;1;y0=x0/maxa(x0)x1=A*y0;y1=x1/maxa

13、(x1)x2=A*y1;y2=x2/maxa(x2)l0=maxa(x2)-(maxa(x2)-maxa(x1)2/(maxa(x2)-2*maxa(x1)+maxa(x0)while (abs(l1-l0)>0.01 x0=x1;x1=x2;l1=l0; x2=A*y2 maxk=maxa(x2) y2=x2/maxk l0=maxa(x2)-(maxa(x2)-maxa(x1)2/(maxa(x2)-2*maxa(x1)+maxa(x0)end;2. 原點平移法思想：由矩陣論知，若l為A的特征值則l a為A aI的特征值，且特征向量相同。若l1 a為A aI的最大模特征值，且。（lk

14、 a是A aI的次最大模特征值），則對A aI計算l1 a及對應的特征向量比對計算收斂得快，此即為原點平移法。計算l1 a及特征向量的迭代公式特征向量：，max(x(k) ® l1 a，Þ a + max(x(k) ® l1。注：a的選取較為困難。例3 設，求最大模特征值及特征向量。解：（P315）冪法：A=-3,1,0;1,-3,-3;0,-3,4;x0=0;0;1;k=1;y=x0/maxa(x0)x1=A*ywhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)>0.001 x0=x1; y=x0/maxa(x0) k=k+1 x1=A*yend;ym

15、axa(x1)原點平移法：A=-3,1,0;1,-3,-3;0,-3,4;x0=0;0;1;k=1;y=x0/maxa(x0)x1=(A+4*eye(3)*ywhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)>0.001 x0=x1; y=x0/maxa(x0) k=k+1 x1=(A+4*eye(3)*yend;ymaxa(x1)-43. 對稱矩陣的Rayleigh商加速法定義 設A對稱，x ¹ 0，則稱為關于的Rayleigh商思想：A對稱特征值l1，l2，ln均為實數，且存在特征向量v1，v2，vn為標準正交基。設，a1 ¹ 0，則當k充分大時，M'

16、與k無關)注；此比Aitken加速中的(3.2-6)更快公式稱為Rayleigh商加速法。其中注：有了R(x(k)，R(x(k+1)，R(x(k+2)，的值，可再用Aitken加速法得到的一個更好的近似值：因為所以例4 設，用Rayleigh商加速法求的最大模特征值及特征向量，并與冪法相比較。解：（P317）冪法：A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;x0=1;1;1;k=1;y=x0/maxa(x0)x1=A*ywhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)>0.001 x0=x1; y=x0/maxa(x0) x1=A*y k=k+1end;ymaxa(x1)Rayleig

17、h商加速法：A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;x0=1;1;1;k=1;r=0;y=x0/maxa(x0)x1=A*ywhile(abs(r1-r)>0.001 x0=x1;r1=r; y=x0/maxa(x0) x1=A*y r = y'*x1/(y'*y) k=k+1end;ymaxa(x1)r3.2.3 反冪法用代替作冪法，即反冪法1. 求最小模特征值及相應的特征向量若可逆，|l1| > |l2| ³ ³ |ln|為其特征值，則為A-1的最大模特征值。迭代公式：x(k+1) = A1x(k)，k = 0，1，2，但A1不易求，通常可解

18、方程組Ax(k+1) = x(k)來求x(k+1)即有 (3.2.12)當k ® ¥時有注：為解(3.2-12)中的方程組。對作LR分解（帶行交模）PA = LR則有2. 求任一特征值及相應特征向量反冪法結合原點平移法思想：若已知為lj的近似值，則的特征值是而顯然非常大（最大）比值很小迭代公式：當k ® ¥時有注：(1) 若有分LR解則迭代公式 (3.2-16)(2) 在(3.2-16)中直接取z(1) = (1，1)T作初值開始迭代稱為半次迭代法例5 設的一個特征值的l的近似值，用帶原點平移的反冪法求l及相應的特征向量見P320format long;

19、A=-1,2,1;2,-4,1;1,1,-6;x0=1;1;1;B=A+6.42*eye(3);C=lu(B);R = triu(C,0);L =eye(3)+ tril(C,-1);y=x0/maxa(x0);z=1,1,1'x1=inv(R)*zwhile(abs(maxa(x1)-maxa(x0)>0.001 x0=x1; y=x0/maxa(x0) z=inv(L)*y x1=inv(R)*zend;-6.42+1/maxa(x1)預備知識：矩陣論1. 矩陣QR分解定理 設可逆，則存在正交陣Q與上三角陣R使A=QR注：方法 1) 使用史密斯正交變換 2) 使用Househ

20、older變換（反） 3) 使Givens變換2. 矩陣Schur分解定理 設，則存在正交陣Q使實Schur型其中至多2階。若1階，其元素即A的特征值若2階其特征值為A的一對共軛復特征值。注：想加快迭代速度通常先將A化為上Hessenberg陣3. 正交相似于一個n階上Hessenberg矩陣（）證明：見（P125）§3.3 QR方法 QR方法即使用QR分解構造迭代序列，是目前求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛使用的方法之一。3.3.1 QR方法的計算公式思想：從A1 = A出發用正交相似變換得序列Ak使當k ® ¥時，Ak本質收斂到塊上三角陣方法：設A1 = Q

21、1R1（QR分解），令A2 = R1Q1，設A2 = Q2R2，令A3 = R2Q2，即 k = 1，2， (3.3-1)Ak的性質： Ak A：Ak+1 = RkQk = (Qk-1Ak)Qk= Rk = Qk-1Ak= (Q1Qk)-1A(Q1Qk)記Gk = Q1Qk 正交，故有Ak A，且有A1Gk = GkAk+1 記Hk = RkR1，則Ak = GkHkQR分解GkHk = (Q1Qk)(RkR1) = Gk-1QkRk Hk-1 = Gk-1AkHk-1= A1Gk-1Hk-1 = = A1k = Ak注：為求得A的特征值，只須Ak能趨于塊上三角陣。定義： 矩陣列Ak，當k &

22、#174; ¥時，若其對角元均收斂，且嚴格下三角部分元素收斂到0，則稱Ak本質收斂到上三角陣。 矩陣列Ak，當k ® ¥時，若其對角子塊收斂到1階或2階的方陣，其下部收斂到0，則稱Ak本質收斂到塊上三角陣。定理3.3-1設A的特征值滿足條件：|l1| > |l2| > > |ln| > 0，vi為li對應的特征向量，i = 1，2，n。記X = (v1，v2，vn)，若有直接三角分解X-1 = LU（杜利特爾分解），則(3.3-1)序列Ak本質收斂于上三角陣，其主對角元素均為的特征值。例1 用QR方法求的A特征值，其中見（P322）注：若A

23、不滿足定理條件，Ak不一定本質收斂于上三角矩陣。3.3.2 上Hessenberg矩陣的QR方法及帶原點平移的QR方法 在使用QR方法之前，先A將作正交相似變換化為上Hessenberg矩陣H，然后對H作QR迭代，可大量節省運算量。 Givens變換記s = sinq，c = cosq，則為旋轉變換正交陣。推廣到n維：稱為Givens矩陣或Givens變換（旋轉變換）。易知J(i，k，q)為正交陣。 對上Hessenberg矩陣用Givens變換作QR分解令hi+1,i* = si hii + ci hi+1,i = 0，即選擇qi使右邊第i+1行第i列元素為0，而H的第i行與第i+1行零元素位置上左乘J(i，i+1，qi)后仍為0，其他行則不變。（可以證明） 這樣i = 1，2，n-1共n-1次左乘J后H變為上三角陣R。即U定理 = R，其中UT= J(n-1，n，qn-1)J(1，2，q1)正交，且為下Hessenberg陣，Þ U為上Hessenberg陣 Þ H = UR (QR分解) 記H1 = H，設H1= U1R1 令H