1、3.2 測量誤差及數(shù)據(jù)處理 主要內(nèi)容v本節(jié)介紹測量誤差的基本概念，測量誤差產(chǎn)生的原因，測量誤差的特性及分類，測量誤差的數(shù)據(jù)處理方法及如何獲得測量結(jié)果等內(nèi)容。一、概述1、測量誤差的概念 定義：測得值與被測量的真值之差。測得值與被測量的真值之差。由于真值是難以得到的，常用相對真值或不存在系統(tǒng)誤差下的算術(shù)平均值來代替真值。分類：絕對誤差和相對誤差。分類：絕對誤差和相對誤差。（1）絕對誤差（）是指被測量的實(shí)際值x與真值0之差。 =x -0 絕對誤差是代數(shù)值，即它可能是正值、負(fù)值或零。如千分尺測得某軸35.005mm，高精度測量結(jié)果35.012mm（看作是約定真值），千分尺測量的絕對誤差為-0.007m

2、m。（2）相對誤差（）定義：絕對誤差的絕對值與被測量的真值（或約定測得值xi代替）之比。%100%1000ix0.007100%0.02%35.012上例千分尺測量的相對誤差為注解1v在實(shí)際測量中，雖真值不能得到，但往往要求分析或估算測量誤差的范圍，即求出真值必落在測得值附近的最小范圍，稱之為測量極限誤差lim。v它應(yīng)滿足 x-lim0 x+lim注解2 被測量大小相同，可用絕對誤差比較測量精度高低；被測量大小不同，只能用相對誤差比較測量精度高低。例：1000.008(mm) 800.007(mm)比較測量精度高低。 %008. 0%100100008. 01%00875. 0%1008000

3、7. 022、測量誤差的來源（1）計(jì)量器具誤差它是指計(jì)量器具設(shè)計(jì)、制造和裝配調(diào)整不準(zhǔn)確而產(chǎn)生的誤差，分為原理誤差、儀器制造和裝配調(diào)整誤差。測量誤差的來源.1 基準(zhǔn)件誤差：基準(zhǔn)件誤差：刻線尺制造過程中的劃線誤差、量塊使用過程中磨損產(chǎn)生的誤差等； 原理誤差：原理誤差：用近似機(jī)構(gòu)代替理論要求的機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生的誤差； 制造誤差：制造誤差：量具本身的制造誤差； 測量力引起的誤差：測量力引起的誤差：測量力引起計(jì)量器具和被測工件的變形。測量誤差的來源.2（2）測量方法誤差指測量時(shí)選用的測量方法不完善（包括工件安裝不合理、測量方法不當(dāng)、計(jì)算公式不準(zhǔn)確等）或?qū)Ρ粶y對象認(rèn)識不全面引起的誤差。測量誤差的來源.3（3）環(huán)

4、境誤差指測量時(shí)的環(huán)境條件不符合標(biāo)準(zhǔn)所引起的誤差，包括溫度、濕度、氣壓、振動、灰塵等因素。溫度：20-201122ttLL測量誤差的來源.4（4）人為誤差指測量人員的主觀因素（技術(shù)熟練程度、疲勞程度、測量習(xí)慣等）引起的誤差。總之，產(chǎn)生誤差的因素很多，分析時(shí)應(yīng)找出主要因素，采取相應(yīng)措施，設(shè)法消除減小其影響，以保證測量結(jié)果的精確。二、測量誤差的分類及數(shù)據(jù)處理 根據(jù)誤差性質(zhì)和出現(xiàn)規(guī)律分為： 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或按一定的規(guī)律變化的誤差。 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 在同一條件下，對同一被測值進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí)，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差。 粗大誤差粗大誤差

5、 超出一定測量條件下預(yù)計(jì)的誤差。1、系統(tǒng)誤差v定值系統(tǒng)誤差在全部測量過程中，它的數(shù)值和符號均不變的誤差。特點(diǎn)：使隨機(jī)誤差曲線產(chǎn)生平移。v變值系統(tǒng)誤差在相同測量條件下，多次測量同一量值時(shí)，其大小和方向按一定規(guī)律變化的誤差。特點(diǎn)：使隨機(jī)誤差曲線改變形狀，不具備抵償性。系統(tǒng)誤差的消除（1）分析可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)，從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差。（2）預(yù)先將計(jì)量器具的系統(tǒng)誤差檢定或計(jì)算出來，用修正法消除系統(tǒng)誤差。（3）在對稱位置上分別測量一次，用抵消法消除定值系統(tǒng)誤差。 （4）周期性系統(tǒng)誤差可每相隔半個(gè)周期測量一次，用半周期法消除周期性系統(tǒng)誤差。2、隨機(jī)誤差特征及其評定（1）隨機(jī)誤差的分布及其特

6、征在同一條件下，對同一被測值進(jìn)行多次重復(fù)測量時(shí)，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差。每一單次測量所產(chǎn)生的誤差絕對值和符號不能預(yù)料，但以足夠多的次數(shù)重復(fù)測量，隨機(jī)誤差的總體服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。表3.4 測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表序號測量值范圍測量中值出現(xiàn)次數(shù)ni相對出現(xiàn)頻率ni/n17.13057.1315x1=7.131n1=10.00727.13157.1325x2=7.132n2=30.02037.13257.1335x3=7.133n3=80.05447.13357.1345x4=7.134n4=180.12057.13457.1355x5=7.135n5=280.18767.13557.1365

7、x6=7.136n6=340.22777.13657.1375x7=7.137n7=290.19387.13757.1385x8=7.138n8=170.11397.13857.1395x9=7.139n9=90.060107.13957.1405x10=7.140n10=20.013117.14057.1415x11=7.141n11=10.007測得值的平均值：7.136n=ni=150(ni/n)=1隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線 7.131 7.133 7.135 7.137 7.139 7.141 （2）隨機(jī)誤差的基本特性 單峰性單峰性 絕對值小的隨機(jī)誤差比絕對值大的出現(xiàn)的概率大。 離散性離

8、散性 隨機(jī)誤差的絕對值有大有小，呈離散分布。 對稱性對稱性 絕對值相等的正負(fù)隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相同。 有界性有界性 一定測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的界限。（3）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差根據(jù)概率論，正態(tài)分布曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式式中 y概率密度； 標(biāo)準(zhǔn)偏差； 隨機(jī)誤差； e自然對數(shù)的底。222e21y（3）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差概率密度y與隨機(jī)誤差及標(biāo)準(zhǔn)偏差有關(guān)，當(dāng)=0時(shí)，概率密度最大，且有標(biāo)準(zhǔn)偏差是各隨機(jī)誤差平方和的平均值的正平方根。21niin21maxy正態(tài)分布的概率計(jì)算.1v標(biāo)準(zhǔn)偏差表示了隨機(jī)誤差的離散程度， 越小，ymax越大，分布曲線越陡峭，測得值越集中，測量精度越高。v反之，越大， y

9、max越小，分布曲線越平坦，測得值越分散，測量精度越低。圖3.5 不同標(biāo)準(zhǔn)偏差的正態(tài)分布曲線0633622611正態(tài)分布的概率計(jì)算.2v由概率論v隨機(jī)誤差落在（+、-）之間的概率p為1v隨機(jī)誤差出現(xiàn)在（+、-）內(nèi)的概率為1e21222dydPdP222e21 tdtdtPttttt2e22e2102222v由拉普拉斯函數(shù)v知當(dāng)t=1時(shí)，= ，2(t)=68.27%； 當(dāng)t=2時(shí)，=2，2(t)=95.44%； 當(dāng)t=3時(shí)，=3，2(t)=99.73%。正態(tài)分布的概率計(jì)算.3v令t=/，則dt=d/ ttdtt022e21測量的極限誤差由于超出范圍的隨機(jī)誤差的概率僅為0.27，因此，可將隨機(jī)誤差

10、的極限值取作3，并記作：min=3，如圖3.6所示。圖3.6 隨機(jī)誤差的極限誤差033123123（4）隨機(jī)誤差的評定 實(shí)際測量，被測真值0未知，i也未知，故無法求出標(biāo)準(zhǔn)偏差。假設(shè)有測量列x1、x2、xn，則有 算術(shù)平均值 作為被測真值0的最佳估計(jì)值。 殘余誤差niinxnnxxxx1211.nixxvii,.,2 , 1x評定指標(biāo) 用貝塞爾(Bessel)公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：112nvnii單次測量結(jié)果可表示為單次測量結(jié)果可表示為X = xi3這表示被測量真值0在（xi3）中的概率是99.73%。評定指標(biāo) 測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差相同條件下，對同一被測量重復(fù)進(jìn)行若干組的“n次測量”，

11、每組n次測量的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為nx測量列算術(shù)平均值的極限偏差取作：測量列算術(shù)平均值的極限偏差取作：99.73%3lim置信概率為xxx3、粗大誤差v定義：由于測量不正確等原因引起的明顯歪曲測量結(jié)果的誤差或大大超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。v3(拉依達(dá))準(zhǔn)則：服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差 殘余誤差：|i|3（剔除） 三、測量精度v測量精度：測量精度： 是指測得值與其真值的接近程度。v測量誤差：測量誤差： 是指測得值與其真值的差別量。v測量誤差越大，測量精度就越低；反之，測量精度就越高。測量精度的分類.1 精密度精密度指在一定的條件下進(jìn)行多次測量時(shí)，各測得值的一致程度。v反映隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差對測量結(jié)果

12、的影響。 正確度正確度指在一定的條件下進(jìn)行多次測量時(shí)，各測得值的平均值與其真值的一致程度。v反映定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。 準(zhǔn)確度指在一定的條件下進(jìn)行多次測量時(shí)，各測得值與其真值的一致程度。v表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的綜合影響。精密度高正確度低精密度低正確度高精密度低正確度低精密度高正確度高測量精度的分類.2靶示測量精度與測量誤差(a)(b)(c)(d)四、等精度等精度直接測量列的數(shù)據(jù)處理v等精度測量等精度測量是指采用相同的測量基準(zhǔn)、測量工具與測量方法，在相同的測量環(huán)境下，由同一個(gè)測量者進(jìn)行的測量。v在這種條件下獲得的一組數(shù)據(jù)，每個(gè)測量值都具有相同的精度。1、直接測量數(shù)

13、據(jù)的處理（1）粗大誤差：剔除（2）系統(tǒng)誤差：已定系統(tǒng)誤差按代數(shù)和合成（3）彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，按方和根法合成nii1,系系總nii12lim,lim,總數(shù)據(jù)處理步驟（1）檢查測量列中有無系統(tǒng)誤差，如為定值或已知規(guī)律的系統(tǒng)誤差，加以清除或修正。（2）計(jì)算測量列的 、vi和。（3）判斷粗大誤差，若存在剔除重新計(jì)算 、vi和。（4）計(jì)算測得值的算術(shù)平均值的極限誤差（5）寫出多次測量結(jié)果的表達(dá)式。xx 2、處理事例例:以一個(gè)30mm的5等量塊為標(biāo)準(zhǔn)，用立式光學(xué)比較儀對一圓柱軸進(jìn)行十次等精度測量，測得值如表所示，已知量塊長度的修正值為-1m，試對其進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后寫出測量結(jié)果。序號測量值xi

14、(mm)130.050230.048330.049430.047530.051630.052730.044830.053930.0461030.050 處理過程.1解(1) 實(shí)測數(shù)據(jù)列于表中第二列(2) 系統(tǒng)誤差修正，全部測得值分別加上量塊的修正值-0.001mm，如表第三列。 序號測量值xi(mm)去除系統(tǒng)誤差的測量值xi130.05030.049230.04830.047330.04930.048430.04730.046530.05130.050630.05230.051730.04430.043830.05330.052930.04630.0451030.05030.049 處理過程.

15、2(3) 求算術(shù)平均值10111030.048()niiiixxxnmm序號測量值xi(mm)去除系統(tǒng)誤差的測量值xi130.05030.049230.04830.047330.04930.048430.04730.046530.05130.050630.05230.051730.04430.043830.05330.052930.04630.0451030.05030.04930.048ixxn(5) 求標(biāo)準(zhǔn)偏差： 處理過程.3(4) 求殘余誤差：xxvii序號去除系統(tǒng)誤差的測量值xi殘余誤差vi(mm)殘余誤差的平方vi2(mm)130.049+0.0010.000 001230.047-

16、0.0010.000 001330.04800430.046-0.0020.000 004530.050+0.0020.000 004630.051+0.0030.000 009730.043-0.0050.000 025830.052+0.0040.000 016930.045-0.0030.000 0091030.049+0.0010.000 00101niiv00007. 012niiv30.048ixxnmmnvnii0028. 011000007. 0112等精度直接測量的數(shù)據(jù)處理表序號測量值xi(mm)去除系統(tǒng)誤差的測量值xi殘余誤差vi(mm）殘余誤差的平方vi2（mm）130.

17、05030.049+0.0010.000 001230.04830.047-0.0010.000 001330.04930.04800430.04730.046-0.0020.000 004530.05130.050+0.0020.000 004630.05230.051+0.0030.000 009730.04430.043-0.0050.000 025830.05330.052+0.0040.000 016930.04630.045-0.0030.000 0091030.05030.049+0.0010.000 001048.30nxxi01niiv00007. 012niiv處理過程.3(6) 判斷粗大誤差 用拉依達(dá)準(zhǔn)則進(jìn)