1、3.5 控制系統的穩態誤差3.5  控制系統的穩態誤差描述控制系統的微分方程     (3.73)式（3.73）是一個高階微分方程，方程的解可以表示為     (3.74)式中，前兩項是方程的通解，而 是方程的一個特解。隨時間的增大，方程的通解逐漸減小，方程的解y(t)越來越接近特解。當時，方程的通解趨于零     這時系統進入了穩定狀態。特解是由輸入量確定的，反映了控制的目標和要求。系統進入穩態后，能否達到預期的控制目的，能

2、否滿足必要的控制精度，要解決這個問題，就必須對系統的穩態特性進行分析。穩態特性的性能指標就是穩態誤差。3.5.1  穩態誤差控制系統的誤差可以表示為              (3.75)式中是被控制變量的期望值，y(t)是被控制變量的實際值，即控制系統的輸出。穩定的控制系統，在輸入變量的作用下，動態過程結束后，進入穩定狀態的誤差，稱為穩態誤差圖3.23 單位反饋和非單位反饋系統（a)單位反饋系統；（b)非單位反饋系統在控制工程中，常用控制系統的

3、偏差信號來表示誤差。對圖3.23（a)所示的單位反饋系統，誤差與偏差的含義是相同的，即            (3.76)式中r(t)為系統的給定值，也就是輸出y(t)的期望值。單位反饋系統的穩態誤差為:         (3.77)對圖3.23（b)所示的非單位反饋系統，因為反饋變量f(t)并不與輸出變量y(t)完全相同，所以給定值與反饋變量之差，即偏差并不是（3.75）式意義上的誤差

4、。但如果反饋環節H(s)不含有積分環節，在時，由于暫態項的消失，反饋量與輸出量之間就只差一個比例系數我們認為反饋量可以代表輸出量，于是，定義非單位反饋系統的誤差為              (3.78)式中r(t)是非單位反饋系統的給定值，f(t)是反饋信號。根據圖3.23（b)非單位反饋系統各環節間信號的關系，可得         (3.79)如果把單位反饋系統看成

5、是一般反饋系統的特殊情況，則（3.79）式就被定義為控制系統誤差的拉普拉斯變換表達式。根據拉普拉斯變換的終值定理得即         (3.80)式（3.80）表明，控制系統的穩態誤差不僅僅是由系統本身的特性決定的，還與輸入函數有關。同一個系統在輸入信號不同時，可能有不同的穩態誤差。也就是說控制系統對不同的輸入信號，控制精度是不同的。3.5.2  積分環節對穩態誤差的影響式（3.80）中的開環傳遞函數可以表示為       &

6、#160;       (3.81)式中K表示系統的開環放大系數。N表示開環傳遞函數所包含的積分環節數。在分析控制系統的穩態誤差時，我們根據系統開環傳遞函數所含的積分環節數來對系統進行分類。若N=0，即控制系統開環傳遞函數不含積分環節，稱為0型系統。若N=I,則稱為I型系統。N= ,稱為型系統。現在，我們來討論不同類型的控制系統在典型輸入信號作用下的穩態誤差。1.  單位階躍函數輸入下的穩態誤差單位階躍函數輸入下系統的穩態誤差為       &#

7、160;                        (3.82)如果我們定義          (3.83)式中稱為位置誤差系數，則單位階躍輸入下系統的穩態誤差為        

8、;(3.84)對于0型系統           (3.85)           (3.86)穩態誤差為           (3.87)式（3.87）說明，0型系統在單位階躍輸入下是有穩態誤差的。所以我們稱0型系統對單位階躍輸入是有差系統。可以通過增大開環放大系數K使

9、穩態誤差減小，但不能消除，因為系統本身的特性決定了穩態誤差不可能完全消除。對于型或型系統：系統的開環傳遞函數為型            (3.88)型           (3.89)系統的位置誤差系數         (3.90)系統的穩態誤差為  

10、0;         (3.91)（3.91）式說明，若要求系統對階躍輸入的穩態誤差為零，系統必須含有積分環節。可以看出，積分環節具有消除穩態誤差的作用。2.  單位斜坡函數輸入的穩態誤差單位斜坡函數輸入下控制系統的穩態誤差為   定義         (3.93)則系統的穩態誤差為        

11、 (3.94)式中，稱為速度誤差系數。對于0型系統           穩態誤差為         (3.95)對于型系統                 (3.96)穩態誤差為   

12、60; (3.97)式中K為系統的開環放大系數。對于型系統            (3.98)穩態誤差為               (3.99)在單位斜坡函數輸入下，0型系統的穩態誤差為無窮大。這說明0型系統不能跟蹤斜坡函數。I型系統雖然可以跟蹤單位斜坡輸入函數，但存在穩態誤差，即I型系統對斜坡輸入是有差的。若要在單

13、位斜坡函數作用下達到無穩態誤差的控制精度，系統開環傳遞函數必須含有二個以上的積分環節。3.  單位拋物線函數輸入下的穩態誤差單位拋物線輸入函數作用下系統的穩態誤差為                       (3.100)定義           

14、 (3.101)則有            (3.102)式中稱為加速度誤差函數。對0型系統             (3.103)對表3.2  典型輸入信號作用下系統的穩態誤差系統類型誤差系數輸入r(t)=1輸入r(t)=t輸入r(t)=0型K00型K0型K型系統     &#

15、160;        (3.104)對型系統          (3.105)K為系統的開環放大系數。在拋物線函數輸入下，0型、型系統都不能使用。型系統則是有差的。若要消除穩態誤差，必須選擇 型以上的系統。但系統中積分環節太多，動態特性就會變壞，甚至使系統變得不穩定。工程上很少應用型以上的系統。表3.2給出了典型輸入函數作用下各型系統的穩態誤差。從以上討論中可以得出結論：積分環節具有消除穩態誤差的作用。這就是許多控

16、制系統中引入積分環節的原因。誤差系數是利用拉普拉斯變換終值定理得出的，它只是時間趨于無窮大時的值，因此是靜態誤差系數，它們并不反映誤差隨時間變化的情況。3.5.3  擾動作用下的穩態誤差以上我們討論了控制系統對給定值信號的穩態誤差。在控制系統受到擾動時，即使給定值不變，也會產生穩態誤差。系統的元件受環境影響、老化、磨損等會使系統特性發生變化，也可以產生穩態誤差。系統在擾動作用下的穩態誤差大小反映了系統抗干擾的能力。圖3.24是一個控制系統的結構圖。我們現在來討論這個系統在擾動d(t)作用下的穩態誤差。按疊加原理，我們假定R(s)=0,系統中只有擾動輸入。系統在擾動作用下的輸出為圖3.24 控制系統結構圖誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得