1、橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程一）一）知識與技能目標知識與技能目標 掌握橢圓的定義、標準方程的推導和標準方程。掌握橢圓的定義、標準方程的推導和標準方程。過程與方法目標過程與方法目標 通過橢圓概念的引入與橢圓標準方程的推導過程，通過橢圓概念的引入與橢圓標準方程的推導過程，培養學生分析探索能力，熟練掌握解決解析幾何問培養學生分析探索能力，熟練掌握解決解析幾何問題的方法題的方法坐標法。坐標法。情感、價值與態度觀目標情感、價值與態度觀目標 通過橢圓的定義、標準方程的學習，滲透數形結通過橢圓的定義、標準方程的學習，滲透數形結合的思想，啟發學生在研究問題時，抓住問題本質，合的思想，啟發學生在研究問題時，

2、抓住問題本質，嚴謹細致思考，規范得出解答，體會運動變化、對嚴謹細致思考，規范得出解答，體會運動變化、對立統一的思想。立統一的思想。教學目標教學目標 ： 教學重點：教學重點：橢圓的定義和橢圓的標準橢圓的定義和橢圓的標準方程；方程； 教學難點：教學難點：橢圓標準方程的建立和推橢圓標準方程的建立和推導。導。1.求動點軌跡方程的一般步驟是什么？求動點軌跡方程的一般步驟是什么？（1建立適當的坐標系，用有序實數對表示曲線建立適當的坐標系，用有序實數對表示曲線上任意一點上任意一點M的坐標；的坐標；（2寫出適合條件寫出適合條件P的點的點M的集合；的集合；(可以省略，可以省略，直接列出曲線方程直接列出曲線方程)

3、（3用坐標表示條件用坐標表示條件PM），列出方程），列出方程 （5證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點曲線上的點(可以省略不寫可以省略不寫,如有特殊情況，可以如有特殊情況，可以適當予以說明適當予以說明)( , )0f x y ( , )0f x y （4化方程化方程 為最簡形式；為最簡形式；3.3.列等式列等式4.4.代坐標代坐標5.5.化簡方程化簡方程1.1.建系建系2.2.設坐標設坐標知識鏈接：知識鏈接：實驗探究：實驗探究：(1)取一條細繩，取一條細繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩點把它的兩端固定在板上的兩點F1、F2(3)用鉛筆尖用鉛筆尖M

4、把細繩拉緊，在板上慢慢移把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的是什么圖形？動看看畫出的是什么圖形？思考思考1：在筆尖移動的過程中，：在筆尖移動的過程中，M點具點具有什么不變的幾何性質？有什么不變的幾何性質？2.改變兩圖釘之間的距離，改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？圖形還是橢圓嗎？3繩長能小于兩圖釘之間繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？的距離嗎？ 一、橢圓定義：一、橢圓定義： 平面內與兩個定點平面內與兩個定點 的距離的距離之和等于常數大于之和等于常數大于 ）的點的）的點的軌跡叫做橢圓。軌跡叫做橢圓。12,F F12FF這兩個定點叫做橢圓的焦點。這兩個定

5、點叫做橢圓的焦點。 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。距。 課前預習：課前預習： 滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？ 1平面上平面上 2動點動點 M 到兩個定點到兩個定點 F1、F2 的距離的距離之和是常數之和是常數 2a 3常數常數 2a 要大于焦距要大于焦距 2c1222MFMFac小結一：小結一： 答：答：思考思考2：定義中常數：定義中常數2a為什么一定要大于為什么一定要大于2c？思考思考3：如何建立平面直角坐標系研究橢圓：如何建立平面直角坐標系研究橢圓比較方便？比較方便？建立平面直角坐標系通常遵循的原則：對稱、建立平面直角坐標系通

6、常遵循的原則：對稱、“簡約簡約”OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy二、橢圓標準方程的推導二、橢圓標準方程的推導一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸。一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸。MF1F2xyo 如圖如圖,建立直角坐標系建立直角坐標系xoy,使使x軸經過點軸經過點F1,F2并且點并且點O與線段與線段F1F2的中點重合的中點重合. 設設M(x,y)是橢圓上是橢圓上任意一點任意一點,橢圓的焦距為橢圓的焦距為2c(c0).那么那么,焦點焦點F1,F2的坐標分別是的坐標分別是(-c,0),(c,0).又設又設M與與

7、F1和和F2的距離的和等于常數的距離的和等于常數2a.思考思考4：橢圓上的點具有什：橢圓上的點具有什么幾何性質？用坐標如何么幾何性質？用坐標如何表示表示由橢圓的定義由橢圓的定義,橢圓就是集合橢圓就是集合由于由于所以得所以得將這個方程移項后兩邊平方將這個方程移項后兩邊平方,得得整理得整理得aMFMFMP221221)(ycxMF222)(ycxMFaycxycx2)()(22222222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa上式兩邊再平方上式兩邊再平方,得得整理得整理得由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知,2a2c,即即ac,所以所以a2-c20令令a2-c2=b2,其

8、中其中b0,代入上代入上式式,得得b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以兩邊同時除以a2b2,得得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)0(12222babyax這個方程就這個方程就叫做橢圓的叫做橢圓的標準方程標準方程.思考思考5：如果將焦點放在：如果將焦點放在y軸上，則坐標軸上，則坐標方程為？方程為？ 得到圓的標準方程是什么？得到圓的標準方程是什么？) 0( 12222babxay總體印象：對稱、簡約，總體印象：對稱、簡約，“像直線方程的截距像直線方程的截距式式012222babyax焦點在焦點在y軸：軸：焦點在

9、焦點在x軸：軸：三、橢圓的標準方程三、橢圓的標準方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx)0(12222babyax)0(12222babxay1 1、方程的右邊是常數、方程的右邊是常數1 12 2、方程的左邊是和的形式，每一項的、方程的左邊是和的形式，每一項的分子是分子是 x2x2、y2y2，分母是一個正數。，分母是一個正數。橢圓的標準方程的特點？橢圓的標準方程的特點？（1）（2）根據上述討論，如何判斷橢圓的焦點的位置？根據上述討論，如何判斷橢圓的焦點的位置？假設假設 x2 項的分母大，則其焦點就在項的分母大，則其焦點就在 x 軸上

10、，假設軸上，假設 y2 項的分母項的分母大，則其焦點就在大，則其焦點就在 y 軸上，軸上，xOyF1F2xOyF1F2)0( 12222babyax)0(12222babxay)0, 0(222 bacacba122MFMFa(2)(2)已知橢圓的焦距為已知橢圓的焦距為8 8，到兩焦點的距離之和為，到兩焦點的距離之和為1010，則它的標準方程為則它的標準方程為_。例例1.(1)1.(1)已知橢圓的兩個焦點坐標分別已知橢圓的兩個焦點坐標分別為為(-4,0)(-4,0)和和(4,0)(4,0)，橢圓上的點到兩焦，橢圓上的點到兩焦點的距離和為點的距離和為1010，則它的標準方程為，則它的標準方程為_

11、；并且經過點并且經過點 ，則它的標準方程為，則它的標準方程為_。(3)(3)已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是 ， 4,0 , 4,05,2 23221259xy221259xy221925xy或典型例題典型例題并且經過點并且經過點 ，則它的標準方程為，則它的標準方程為_。(3)(3)已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是 ， 4,0 , 4,05,2 23221259xy并且經過點并且經過點 ，則它的標準方程為，則它的標準方程為_。(3)(3)已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是 ， 4,0 , 4,05,2 23221

12、259xy例例2 判定下列橢圓的焦點在？軸，并指明判定下列橢圓的焦點在？軸，并指明 a2、b2，寫出焦點坐標。，寫出焦點坐標。22(1) 14933xy22(2) 11625xy2222(4) 11xynn22(3) 9252250 xy(1)X 軸。（軸。（-4，0和和4，0）(2)在在 y 軸。（軸。（0，-3和和0，3）22(3)1,259x,0,0 xy 在軸 （ 5） （ -5）(4) y 軸。（軸。（0，-1和和0，1）規律總結：規律總結：1、求一個橢圓的標準方程需求幾個量？、求一個橢圓的標準方程需求幾個量？2、“橢圓的標準方程是個專有名詞，橢圓的標準方程是個專有名詞，就是指上述的

13、兩個方程。形式是固定的。就是指上述的兩個方程。形式是固定的。1、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程(1) a=5，b=3，焦點在，焦點在 x 軸軸(2) a=9，c=7，焦點在，焦點在 y 軸上軸上(3)兩個焦點的坐標是（兩個焦點的坐標是（-2，0和和2，0）并且經過點并且經過點2.5，-1.5）達標練習：達標練習：2、 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請填空：，請填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦點坐標為，焦點坐標為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C為橢圓上一點，為橢圓上一點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，分別為橢圓的左、右焦點， 并且并且CF1=2,則則CF2=_. 1162522yx5436(-3,0)、(3,0)8變題：變題： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成試口答完成2.14491622 yx1、橢圓的定義、橢圓的定義課堂小結：課堂小結：2、橢圓的標準方程、橢圓的標準方程 焦點分別在焦點分別在x軸軸 y軸上的標準方程軸上的標準方程)0(12222babyax)0(12222babxay3、標準方程的簡單應用、標準方程的簡單應用12222byax (ab0)12222aybx (ab0)F1F2MoyxoyxF2F1M222cba項中哪個分母大，焦點就在哪一條軸上。項中哪個分母大，焦點就在哪一條軸上