1、6一次函數初步滿分晉級階梯函數5級一次函數解析式與圖象函數4級一次函數初步函數3級函數初步秋季班 第十二講寒假班 第六講春季班 第一講漫畫釋義 發考試成績啦知識互聯網題型切片題型切片（兩個）對應題目題型目標正比例函數例1；練習1；例2；例3；練習2；一次函數例4；例5；練習3；例6；練習4；練習5；例7編寫思路本講內容主要分為兩個模塊，模塊一主要講解正比例函數，它的特點是，從解析式角度，常數項為0，從圖象角度，直線過原點；另外直線的上升/下降趨勢取決于k>0/k<0，該版塊內容比較基礎，例1至例3進行了一些基本題目的練習；模塊二介紹一次函數的相關內容，重點練習了函數圖象所經過的象限

2、與一次函數解析式各參數之間的關系，例4、例5進行了集中訓練；本模塊還介紹了求解一次函數解析式的重要方法待定系數法，例6進行了練習；本講的最后一部分是北京十二中2012-13年度初二期末的考試真題，主要練習了一次函數動點坐標與面積問題，總結了解題方法供老師參考模塊一 正比例函數知識導航定義：一般地，形如的函數，叫做正比例函數，其中叫比例系數.圖象：正比例函數圖象是一條經過原點的直線.函數也叫直線.示意圖（草圖）圖象位置變化趨勢性質（增減性）經過原點和第一、三象限從左向右上升隨的增大而增大隨的減小而減小經過原點和第二、四象限從左向右下降隨的增大而減小隨的減小而增大夯實基礎【例1】 若函數是正比例函

3、數，則的值是_； 下列比例式中，變量與成正比例的是（ ）A. B. C. D. 若正比例函數的圖象經過點和點，當時，若，則的取值范圍是_；若，則的取值范圍是_； 如果一個函數具有以下兩條性質： 它的圖象是經過原點的一條直線； 隨的減小而減小請寫出一個滿足上述兩個條件的函數解析式_（實驗中學期末試題）【解析】 且，所以. D.由比例的基本性質，將四個等式化簡，符合的形式即為正比例函數. ；. 條件說明該函數為正比例函數，條件說明比例系數，符合以上兩點即可.【例2】 下面哪個正比例函數的圖象經過第一、三象限（ ）A B C（為常數） D 若正比例函數的圖象經過點，則隨的增大而_；（填“增大”或“減

4、小”） （西城區期末試題） 正比例函數圖象上有一點，點的橫坐標為，過作軸，垂足為，則； 在正比例函數圖象上有一點，點的橫坐標為，過作軸，垂足為，若，則【解析】 D； 減小； 2； ，注意分類討論.能力提升【例3】 一個函數的圖象是經過原點的直線，并且這條直線經過點與點，求這個函數解析式及的值，并畫出圖象； 已知與成正比例，且當時， 你能求出的表達式嗎？ 當時，的值是多少？【解析】 設解析式為，由過點可得當，代入得，解析式為再將代入中，解得.畫圖略，這里告訴學生，畫正比例函數的圖象可選取兩點：. 設，由，可得解析式為 當時，.模塊二 一次函數知識導航 定義：一般地，形如的函數，叫做一次函數.當時

5、，即為，所以正比例函數是特殊的一次函數. 圖象：一次函數的圖象是一條直線，我們稱它為直線，它可以看作直線平移個單位長度而得到（當時，向上平移；當時，向下平移） 圖象與軸交于點，與軸交于點示意圖（草圖）經過的象限變化趨勢性質（增減性）一、二、三從左向右上升隨的增大而增大，隨的減小而減小一、三、四一、二、四從左向右下降隨的增大而減小，隨的減小而增大二、三、四待定系數法求解析式：函數解析式滿足條件的兩點與一次函數的圖象直線夯實基礎【例4】 對于函數（為常數），當時，它是正比例函數；當時，函數表示一次函數，其表達式是 ； 一次函數的圖象是將正比例函數的圖象向_平移_個單位長度得到的，經過第_象限；將直

6、線向下平移2個單位會得到直線_，直線不經過第_象限；由以上平移可判斷直線與的位置關系是_，直線與的位置關系為_；如果一次函數的圖象經過第一象限，且與軸負半軸相交， 那么（ ）A，B，C，D，（實驗中學練習題）已知一次函數，其中，則所有符合條件的一次函數的圖象一定都經過（ ）（西城期末）A第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限【解析】 ； ； 上，1，一、二、四； ， 二 ；平行，平行; B； B.【例5】 下列圖象中，不可能是關于的一次函數的圖象的是（ ） A B C D如下圖，在同一直角坐標系中，直線和直線的圖象可能是（ ） A B C D 如圖所示，直線和在同一坐標系中的圖

7、象大致是（ ） A B C D【解析】 D；由題意得不可能有，那么圖像不可能是D； B；首先觀察一次函數過第一、三象限，排除A、D，又因為一次函數與軸的交點是，當交點在軸上方，正比例函數過第二、四象限，故B正確；當交點在軸下方，此時正比例函數過第一、三象限，C不正確；C；觀察發現四個選項中的直線都是經過第一、二、三象限，即；所以經過第一、三、四象限，故選C.能力提升【例6】 已知一次函數圖象經過點和 求這個一次函數的解析式； 求這條直線和坐標軸的交點坐標【解析】 設一次函數解析式為，將和代入解析式得解得，即一次函數解析式為； 與軸、軸的交點坐標分別為.真題賞析【例7】 如圖，直線分別與軸、軸交

8、于點、，且點的坐標為，點的坐標為若點是第二象限內的直線上的一個動點 在點的運動過程中，試寫出的面積S與的函數關系式，并寫出自變量 的取值范圍； 當的面積為時，求出點的坐標(2013北京十二中期末)【解析】 將E代入得設點SOPA=當時，變成一條直線若S=，則，此時點P的位置【分析】此題目的易錯點為自變量的取值范圍，由于題目中規定“點是第二象限內的直線上的一個動點”，故點P不在坐標軸上，且三角形三邊不能在同一直線上【探究對象】一次函數動點坐標與面積問題【思路分析】此類題目的一般過程是：在計算面積的過程當中需要用動點坐標表示線段長度，進而表示面積，故需設出動點坐標；因動點在所給圖形上運動，故點的坐

9、標應滿足此圖形所對應的函數解析式，即找到了y與x之間的關系，代入面積公式即可求得S與x之間的關系；最后，需注意自變量的取值范圍；在一些較難題目中，如果動點在多邊形的邊上運動時，注意應為分段函數【備注】一次函數動點問題之面積S與運動t之間的關系將在春季班進行總結講解學有余力的班級，老師們可以帶著學生進行以下專題的探究：【探究對象】利用函數圖象法求解一次函數相關問題【探究目的】通過函數圖象整合出信息，有直觀、清晰、簡明的特點，是訓練學生利用數形結合的思路解題的重要途徑【探究1】柳卡問題數學家們咋了？ 據說，在近代科學史上曾發生過一件有趣的事：19世紀的一次世界科學會議上，來自世界各國的許多名數學家

10、共進早餐，法國數學家柳卡突然向在場的人們提出一個被他稱為“最困難”的問題： 某輪船公司每天中午都有一艘輪船從巴黎的外港勒阿佛爾開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往勒阿佛爾。航行時間都是7晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上，問今天中午從勒阿佛爾開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來？（包括在兩港口相遇）問題提出后，一時竟真的難住了數學家們，盡管為此進行過探討和爭論，但得到的答案莫衷一是，就是說，這次會議竟還沒有人真正解決這個問題。時隔許久，才有一位數學家實驗性地畫出了一個簡單到幾乎連小學生都能看懂的圖形，從而宣告問題的徹底解決。這個例子說明用函數

11、圖象求解問題，體現出了數形結合的強大威力，圖解如下：【探究2】已知：如圖1，點G是BC的中點，點H在AF上，動點P以每秒2 cm的速度沿圖1的邊線運動，運動路徑為：GCDEFH ，相應的ABP的面積y（cm2）關于運動時間t（s）的函數圖像如圖2，若AB=6 cm，則下列四個結論中正確的個數有（ D ）   圖1中的BC長是8cm     圖2中的M點表示第4秒時y的值為24 cm2  圖1中的CD長是4cm     圖2中的N點表示第12秒時y的值為18 cm2  A1個&

12、#160;    B2個      C3個     D4個 （常州市中考題）分析：根據函數圖象可以知：從0到2，y隨t的增大而增大，經過了2秒，由動點P以每秒2cm的速度運動得，P運動了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段時，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知，從而CD=4cm，面積24cm2，即圖2中的M點表示第4秒時y的值為24 cm2；圖2中的N點表示第12秒時，表示點P到達H點，ABP的面積是18 cm2。四個結論都正確。故選D。教師備注：本題是訓練數

13、形結合思路的典范，老師應引導學生逐步善于通過圖象獲取信息來分析問題，這是解相關問題的關鍵。【探究3】A、B兩地相距45千米，圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時間x的函數關系有一輛客車9點從B地出發，以45千米/時的速度勻速行駛，并往返于A、B兩地之間（乘客上、下車停留時間忽略不計）（1）從折線圖可以看出，騎車人一共休息 次，共休息 小時；（2）請在圖中畫出9點至15點之間客車與A地距離y隨時間x變化的函數圖象；（3）通過計算說明，何時騎車人與客車第二次相遇 （吉林省中考題）分析：（1）看圖可知，折線圖中有兩段水平的線，故休息了兩次，時間是兩次之和（看橫軸），為兩小時； （2）由于客車9點從

14、B地出發，以45千米/時的速度勻速行駛，由此可以確定它到A、B兩站的時刻，根據時刻和速度即可畫出圖象；（如上右圖） （3）根據題意，客車一小時行駛45千米，故它的圖象是兩小時一個來回從左向右看，兩條折線的第二個交點就是它們第二次相遇求出EF的函數解析式就可以了，找到特殊點（10，0）和（11，45）用待定系數法可求出，直線EF所表示的函數解析式為y =45x450 把y=30代入y=45x450，得45x450=30， x= 答：10點40分騎車人與客車第二次相遇思維拓展訓練（選講）訓練1. 已知：正比例函數的圖象經過第四象限內的兩點及 求、兩點的坐標及這個正比例函數的解析式； 畫出這個函數的

15、圖象； 根據圖象回答，當從2逐漸減小到時，的值是如何變化的？【解析】 將兩點坐標代入中，得 解得，點在第四象限，解析式為，； 畫圖略； 當時，當時， 的值從增大到9.訓練2. 如果直線經過一、三、四象限，那么直線經過第_象限；直線經過第_象限 一次函數的圖象不過第一象限，則整數 【解析】 一、二、三；二、四； 依題意得 解得，所以的整數值為4，5.訓練3. 函數與的圖象在同一坐標系內的大致位置正確的是（ ）A B C D【解析】 C.訓練4. 已知直線經過原點和點，直線經過點和點 求及的函數關系式，并畫出圖象 若兩直線相交于點，觀察圖象直接寫出點坐標【解析】 由待定系數法可得畫圖略； .實戰演

16、練知識模塊一 正比例函數 課后演練【演練1】 如果函數是正比例函數，那么的值為_【解析】 由且得.【演練2】 一個函數的圖象是經過原點的直線，并且這條直線經過第四象限及點與點，求這個函數解析式及的值.【解析】 設解析式為，由過點與點可得 解得直線過第四象限 解析式為將點代入得.知識模塊二 一次函數 課后演練【演練3】 若一次函數的圖象如圖所示，則的取值范圍 為 已知一次函數，若隨的減小而減小，則該函數的圖像經過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限 如圖，一次函數的圖像大致是（ ）A B C D若將直線的圖象向上平移3個單位長度后經過點，則平移后直線的解

17、析式為（ ）A BC D（西城期末）【解析】 ； A ； B ； A.【演練4】 老師給出一個函數，甲、乙、丙各正確指出了這個函數的一個性質： 甲：函數的圖象經過了第二象限；乙：函數的圖象也經過了第三象限；丙：在每個象限內，隨的增大而減小請你寫出一個滿足這三個條件的函數 （實驗中學月考） 已知：一次函數的圖象與軸的交點到原點的距離為3，且過點，求它的解析式. （人大附期中）【解析】 根據丙的說法可肯定，根據乙的說法可知，例如等符合要求的即可. 依題意得，再將點代入即可求出解析式為或【演練5】 一輛汽車在行駛過程中，路程（千米）與時間（小時）之間的函數關系如圖所示，當，關于的函數解析式為，那么當

18、 時，關于的函數解析式為 _. 正比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點，兩圖象與軸圍成的三角形的面積為，求這兩個函數的解析式.【解析】 由，當，當，圖象經過，兩點，解析式為： 正比例函數解析式為，一次函數解析式為或.一飯千金幫助漢高祖打平天下的大將韓信，在未得志時，境況很是困苦。那時候，他時常往城下釣魚，希望碰著好運氣，便可以解決生活。但是，這究竟不是可靠的辦法，因此，時常要餓著肚子。幸而在他時常釣魚的地方，有很多漂母（清洗絲棉絮或舊衣布的老婆婆）在河邊作工的，其中有一個漂母，很同情韓信的遭遇，便不斷的救濟他，給他飯吃。韓信在艱難困苦中，得到那位以勤勞克苦僅能以雙手勉強糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便對她說，將來必定要重重的報答她。那漂母聽了韓信的話，很是不高興，表示并不希望韓信將來報答她的。后來，韓信替漢王立了不少功勞，被封為楚王，他想起從前曾受過漂母的恩惠，