1、會計學1多元函數積分學基礎多元函數積分學基礎第七章 多元函數積分學基礎 在本章中，將把一元函數定積分的概念及其性質推廣到多元函數的情形，這就是二重積分、三重積分和曲線積分，積分的范圍不再是定積分中x軸上的一個區間，而分別是一個平面區域、一個空間區域與一條曲線.下面首先學習有關二重積分知識.二重積分是本章基礎部分，同是也是本章的重點內容.第1頁/共80頁一、實例1.曲頂柱體的體積,( , )( , )0,(7-1)OxyzxOyDDzzfx ySf x yDSD 在空間直角坐標系中 以在平面上的有界閉區域 為底 以 的邊界曲線為準線 母線平行于 軸的柱面為側面 以表示的曲面 為頂 這里且在上連續

2、 的幾何體稱為以曲面 為頂 區域 為底的曲頂住體 見圖圖7-1 曲頂柱體Oxyz( , )zf x yD第2頁/共80頁( , ),f x y由于曲頂柱體的高是變動的 因此它的體積不能直接用公式體積=底面積 高來計算.為此,可采用類似于求曲邊梯形面積的方法來研究曲頂柱體的體積123(1),(1,2, ),(1,2, ),(1,2, ).niiiDniniinniVin用有限條曲線把閉區域 任意分割為 個小閉區域同時表示第 個小閉區域的面積 再以每個小閉區域為底將曲頂柱體劃分為 個小曲頂柱體 其中第 個小曲頂體的體積記為第3頁/共80頁(2)( ,)(72),( ,)iiiiiiiP x yVf

3、 x y 在每個小閉區域中任取一點見圖可以近似地等于以為底 以為高的平頂柱體的體積,即( ,)iiiiVf x y1(3)(,),niiiinf x yV 把 個小平頂柱體體積相加得它就是曲頂柱體體積 的近似值 即圖7-2 曲頂柱體劃分Di()iiP x y( , )zf x yxyzO第4頁/共80頁1( ,)niiiiVf x y11(4),( ,)()0,( ,),niiiiniiiiDf x yVnf x yV對閉區域 的分割不斷加細加密就越來越近曲頂柱體的體積 .當 個小閉區域的最大直徑 指有界閉區域上任意兩點的最大距離時的極限就是即01lim( ,)niiiiVf x y第5頁/共

4、80頁2.非均勻薄片的質量,( , )( , ),.DP x yx ym設有一塊密度不均勻的薄片在它上面任一點處的面密度為求這塊薄片的質量對于面密度均勻的薄片的質量有計算公式質量=面積 面密度,m現在面密度是變量.因此,所求質量不能直接由上述公式來計算 但因為在很小的區域內面密度變化很小 近似于均勻密度,所以采用劃分的方法來計算.123(1),(1,2, ),.niiDninim用有限條曲線把閉區域 任意分割為 個小閉區域同時表示第 個小閉區域的面積 其對應質量為第6頁/共80頁(2)( ,),( ,)( ,),iiiiiiiiiiP x ymP x yx y在每個小閉區域中任取一點可以近似地

5、等于以為面積 以處密度為的均勻面密度的質量 即( ,)iiiimx y1(3)( ,),niiiinx ym把 塊小閉區域的質量近似值相加得它就是非均勻薄片的質量 近似值 即1( ,)niiiimx y第7頁/共80頁11(4),( ,),0,( ,),niiiiniiiiDx ymnx ym對閉區域 的分割不斷加細加密就越來越接近于薄片的質量當 個小閉區域的最大直徑時的極限就是即01lim( ,)niiiimx y,在許多實際問題的研究中 像上面兩實例一樣 最終都可歸為和式極限 所以有必要對這一形式的極限進行討論 從而抽象出二重積分的定義.第8頁/共80頁二、二重積分的定義1( , )(1,

6、2, ).( ,)( ,),( , )( , )iiniiiiiiDf x yDDninx yf x yf x yDf x y d義 設是有界閉區域 上的有界函數,將 任意分割為個小閉域同時它也表示其面積在每個小區域上任取一點并做和式若當各個小閉區域的直徑中的最大值 趨于零時,這個和式的極限存在,則稱此極限為函數在閉區域 上的二重積分,記作,即定01( , )lim( ,)niiiiDf x y df x y第9頁/共80頁,( , ),( , ),.f x yf x y ddxyD式中叫作被積函數叫作被積表達式叫作面積元素與 叫作積分變量叫作積分區域( , ),( , ).Df x y df

7、 x yD如果存在 那么稱在區域 上可積根據二重積分的定義,前面兩個實例可分別寫成二重積分形式如下.( , )Vzf x yD曲頂柱體的體積 等于曲頂在其底所在閉區域 上的二重積分( , )DVf x y d( , )mx yD非均勻薄片的質量 等于其密度在面積區域上的二重積分( , )Dmf x y d第10頁/共80頁關于二重積分的定義的幾點說明:(1),DxyDxyx yddxdyddxdy 因為二重積分的存在與閉區域 的劃分方式無關 所以可以用平行于 軸和 軸的直線劃分區域這樣 每個小區域大體上為小矩形.若把小矩形的邊長分別記作則于是面積元素可改寫為即并且(2)( ,)0,;( ,)0

8、,( ,)f x yf x yxOyf x yD當被積函數時 二重積分的幾何意義是曲頂柱體的體積 當被積函數時 柱體在平面下方二重積分為負值 而二重積分的絕對值仍然為柱體的體積.所以在閉區域上的二重積分的數值都可用它在各個部分區域上的曲頂柱體體積的代數和來表示,這就是二重積分的幾何意義.第11頁/共80頁三、二重積分的性質 由于二重積分和定積分都是和式極限,所以它們有著相似的特征,下面給出二重積分的基本性質.質 被積函數中的常數因子可以提到二重積分號外面,即性1( , )( , )DDkf x y dkf x y d質 有限個函數的代數和的二重積分,等于各個函數的二重積分的代數和,例如性2 (

9、 , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d第12頁/共80頁,DD質 如果閉區域 被有限條曲線為有限個部分閉區域 那么在 上的二重積分等于各個部分區域上的二重積分的和.例如性31212( , )( , )( , ),()DDDf x y df x y df x y dDDD這一性質表示二重積分對積分區域具有可加性.,( , )1,Df x yD質 如果在閉區域 上為 的面積 那么性41DDdd,1,.這一性質的幾何意義很明顯 因為高為的平頂柱體的體積 在數值上就等于柱體的底面積第13頁/共80頁,( , )( , ),Df x yg x y

10、質 如果在閉區域 上那么有不等式性5( , )( , )DDf x y dg x y d,特別地 由于( , )( , )( , )f x yf x yf x y則又有不等式( , )|( , )|DDf x y df x yd第14頁/共80頁( , ),Mmf x yDD質設和 分別為在閉區域 上的最大值和最小值是 的面積,則有不等式性6 ( , )Dmf x y dM()( , ),( , )f x yDDD 質 二重積分的中值定理 設函數在閉區域 上連續是 的面積 則在 內至少存在一點使得下列等式成立性7( , )( , )Df x y df ( , ),. 中值定理的幾何意義為:對于

11、任意的曲頂柱體,必存在一個以曲頂柱體的底為底,以過其底上某一點的那條高為高的平頂柱體 它的體積等于這個曲頂柱體的體積第15頁/共80頁23()(),1.DDxy dxy dDxyxy 比較二重積分與其中 由 軸軸及直線圍成例12373,01,()() ,Dxyxyxy 如圖所示 在 上任點有則由性質5得23()()DDxy dxy d解圖7-3 例1示意圖Oxy1xy1D第16頁/共80頁22(1),;01,02.DIxydDxy 利用二重積分的性質估計積分的值其中 是矩形閉區域例222116,2,6DxyD 因為在 上有而 的面積為所以由性質可得22(1)12Dxyd2解第17頁/共80頁思

12、考題1.,0 ;二重積分的幾何意義是什么? 其中Df x y df x,y答案2.,1.,已知則的值為多少?Df x yf x y d答案3.應用對稱性計算二重積分時應注意些什么?答案第18頁/共80頁課堂練習題2lnln.1.根據二重積分性質比較積分與( 是矩形閉區域35,01)的大小DDxy dxydDxy答案2.(01,01).利用二重積分的性質估計積分I=是矩形區域的值的范圍Dxy xy dDxy答案第19頁/共80頁 在實際應用時,用二重積分的定義和性質去計算二重積分是十分復雜和困難的.本節將介紹一種實用的計算方法,此種方法主要是把二重積分的計算化成連續計算的兩次定積分,即二次積分.

13、一、在直角坐標系下計算二重積分,( , )0,( , ),( , ).Df x yf x y dDf x y由二重積分的幾何意義可知 當時的值等于以區域 為底 以曲面為頂的曲頂柱體的體積第20頁/共80頁12( )( ),;(74)Dxyx axb設底面區域 為見圖10200010200()000()0 , ,(),()(, )()(, ),xxa bxxxxxxzf xyA xf xy dyxabxxx 在區間上任意選定一點過該點作垂直于 軸平面截曲頂柱體得一截面 此截面為一個以區間為底以曲線為曲邊的曲邊梯形(見圖7-5),由定積分的幾何意義可得截面積因為是 與 之間的任意點 所以把 記為可

14、得在 處的截面面積為圖7-4 積分區域OOabD( )2xyabD( )2xyxyxy( )a積分區域( )b積分區域第21頁/共80頁1020()()( )( ,),()xxA xfx y dyaxb由已知平行截面面積計算體積的公式可得曲頂柱體的體積為( )baVA x dx21( )( )( , )bxaxf x y dy dx xyzOb0 xa1( )yx2( )yx( , )zf x yD圖7-5 截面圖形第22頁/共80頁,.,( , ),( )( )(),yxyxf x yyyxxxxabyx12 上式表明 計算二重積分時 可以化為先對再對 的二次積分來計算先對 積分時 把 看作

15、常量只看作 的函數 并對計算從到的定積分,然后把計算結果 關于 的函數 再對 計算從 到 的定積分.從而得到把二重積分化為先對再對的二次積分公式為即有21( )( )( , )( , )bbxaaxDf x y ddxf x y dy 第23頁/共80頁21( )( )( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 12,( )( ),(76),Dyxy cydxy 類似地 若底面區域 為見圖則可得到把二重積分化為先對再對 的二次積分公式圖7-6 積分區域Oxycd1( )xyD2( )xyOxycdD1( )xy2( )xy( )a積分區域( )b積分區域21( )(

16、 )( , )( , )dycyDf x y dxdydxf x y dx第24頁/共80頁關于公式的幾點說明:(1),( , )0,(7 10),(711)zf x y 在上述結論中 假設實際上式式的成立不受此條件限制(2),:.DxyDDD 應用公式時 積分區域 必須滿足以下條件 平行于 軸或軸的直線與區域 的邊界曲線的交點不多于兩個若不具備此條件,把區域 分成若干小閉區域(見圖7-7),使每個小閉區域都能滿足上述條件,然后應用公式算得各部分區域上的二重積分,則它們的和就為閉區域 上的二重積分.圖8-7 積分區域分割xyO第25頁/共80頁323(3),1,01.Dxx yy dxdyDx

17、y 計算其中 是矩形閉區域:0例11132332300(3)(3)Dxx yy dxdydxxx yy dy ()D畫出積分區域見圖7-8113224003124x yx yydx13203124xxdxx解圖7-8 例1示意圖O11xyD第26頁/共80頁,.,yxxyyx在把二重積分化為二次積分時 可以先對 積分 再對 積分 也可以先對 積分 再對 積分當積分區域為矩形時由于兩次分限均為常量 所以先對 積分還是先對 積分,在計算時都很方便.但當積分區域為其他形狀時,選擇積分次序是否恰當將直接影響計算的難易程度.(32 ),2.Dxy dxdyDxy 計算其中 是由

18、兩坐標軸及直線所圍成的閉區域例2(79)2,02,Dyxx 畫出積分區域見圖可表示為:0解x圖7-9 例2示意Oy2xy22第27頁/共80頁2200(32 )(32 )xDxy dxdydxxy dy 222003xxyydx220( 224)xxdx2320220433xxx 第28頁/共80頁(123 ),:,2 ,2.Dxy dxdyDyx yxx 計算其中 是由三條直線所圍成的區域例3(7 10):2 ,02.Dxyxx畫出積分區域見圖可表示為220(123 )(123 )xxDxy dxdydxxy dy 22203122xxxyydx22230033114422x dxx解O24

19、2yxyx2x (2,4)(2,2)2xy710圖 例3示意圖第29頁/共80頁22(),:2,2.Dxyx dxdyDyyxyx 計算其中 是由三條直線所圍成的區域例4(7 11)D畫出積分區域見圖:,02.2yDxyy區域 可表示為2222202()()yyDxyx dxdydyxyx dx 2322021132yyxy xxdy2320193248yydy224300191169683yy方法一解圖7-11 例4示意圖a121xy2yx2y yxDO第30頁/共80頁1212,(712).:2 ,01,:2,12.DD DDxyxxDxyx 區域分成兩部分見圖表示為表示為方法二圖7-12

20、 例4示意圖b xy12122yxyx(1,2)(2,2)2y 2D1DO第31頁/共80頁22()Dxyx dxdy122222()()DDxyx dxdyxyx dxdy1222222201()()xxxdxxyx dydxxyx dy 22122323011133xxxx yyxydxx yyxydx12323201104832333xxdxxxxdx12434320151186333xxxxxx 1513236由此可見,計算時恰當選擇積分次序將使運算簡便.第32頁/共80頁二、在極坐標系下計算二重積分在計算二重積分時,如果其被積函數和積分區域的邊界曲線用極坐標表示比較簡單,那么應考慮在

21、極坐標系下進行計算.cossinxryr由極坐標變換公式( ),( , )( cos , sin),.Drrf x yf rrd 積分區域 的邊界曲線可化為被積函數可變為下面研究如何用極坐標表示面積元素,.Dxyddxdy由于二得積分的值與區域 的劃分式無關,因此在直角坐標系中采用了平行于 軸和 軸的直線劃分區域 使得面積元素第33頁/共80頁,()( =),(7-13),ODDrn 在極坐標系下,可采用相似方法,假設從極點 出發且穿過區域內部的射線與區域 的交點不多于兩點 用一族以極點為心的同心圓常量 和一族從極點出發的射線常量 將區域分成 個小閉區域 見圖這些小閉區域的面積可近似地看作小矩

22、形面積,即713D圖 在極坐標系下分割1( )rr2( )rrrrrr 第34頁/共80頁()rrr r drdrd所以面積元素為,這樣 就可把直角坐標系下的二重積分化為極坐標系下的二重積分( , )( cos , sin )DDf x y dxdyf rrrdrd,.,.r在計算時 仍然要把它化為二次積分下面介紹先對 積分 再對 積分的方法(1)(7 14),:DD極點在區域 之外 見圖這時 閉區域 可表示為圖7-14 極點在D之外AB1( )rr2( )rrD第35頁/共80頁12( )( ),rrr 則有21( )( )( cos , sin )( cos , sin )rrDf rrr

23、drddf rrrdr(2)(7 15)D極點在區域 的邊界上 見圖( ),Drr 這時,閉區域 可表示為0則有圖7-15 極點在邊界上rOD( )rr第36頁/共80頁(3)(7 16)D極點在區域 之內 見圖,:( ),02 ,Drr這時 閉區域 可表示為 0則有2( )00( cos , sin )( cos , sin )rDf rrrdrddf rrrdr圖7-16 極點在D內DOr( )rr( cos , sin )Df rrrdrd( )0( cos , sin )rdf rrrdr第37頁/共80頁2222,:4.xyDedDxy 計算其中 是圓形區域例52,:re被積函數用極

24、坐標表示為積分區域用極坐標表示為2,02 .r0所以22222200 xyrrDDedre ddre dr2220012red224400111(1)222ede4(1)e解第38頁/共80頁222222,:,(0)Dxy dDaxybba計算其中 是環形閉區域例6 , r被積函數用極坐標表示為,02 ,rb積分區域用極坐標表示所以222220baDDxy dr drddr dr223220011()33bardba d22222012()()33baba解第39頁/共80頁思考題1.重積分化為累次積分后,其上限是否可以小于下限?為什么?答案2.當二重積分的被積函數是絕對值函數時,如何計算它的

25、值?答案,.3.試由二重積分公式寫出極坐標系下二重積分公式Df x y d答案第40頁/共80頁課堂練習題221.,14. 將二重積分化為極坐標系下二次積分 其 為圓環域Df x y dDxy答案2.1,: 22, 11.43計算二重積分DxydDxy 答案第41頁/共80頁二重積分在實際在有著廣泛的應用.本節將介紹它在求幾何體的體積,平面薄片的質量以及平面薄片的重心等方面的應用.一、體積由二重積分的幾何意義可知,曲頂柱體的體積可以用二重積分表示.因此可以利用二重積分計算幾何體的體積.2229,(0).xyzz 求半球體的體積例1,(7 17) 由對稱性可知 所求體積為它位于第一卦限部分 見圖

26、的體積的4倍.解第42頁/共80頁229,zxyxOyD它在第一卦限部分可以看作以為頂 以其在平面投影 為底的曲頂柱體.所以,半球體半體積為2249DVxy dxdy圖7-17 例1示意圖OxyzD第43頁/共80頁2,.03,0.2rr這時 被積函數用極坐標表示為 9-積分區域用極坐標表示為則32220044DVr rdrddr rdr9-9-333222222000042(9)(9)3dr drrd 9-220042736183d第44頁/共80頁220,0106.xyxyzxyz 求由平面及所圍成的柱體被平面及拋物面截得的幾何體的體積例2227 18,6,:01,01zxyDyxx 如見

27、圖所示 該幾何體可以看作以為曲頂 以區域為底的曲頂柱體.所以解圖7-18 例2示意圖zxyOD11第45頁/共80頁11123320001417625333xyx yydxxxxdx14320125171733236xxxx11222200(6)(6)xDVxy dxdydxxy dy 第46頁/共80頁 求兩個截面半徑為1dm的圓柱直交時所圍成的幾何體的體積.例3222211xyxz 如 圖 7-19所 示 ,建 立 坐 標 系 ,則 兩 個 柱 面 方 程 為和221,:01,01zxDyxx由對稱性可知,所求體積為它第一卦限部分的8倍,它在第一卦限部分可以看作以為曲頂 以區域為底的曲頂柱

28、體.所以,所求幾何體的體積為解圖7-19 例3示意圖Oxyz第47頁/共80頁21122008181xDVx ddxx dy211122000818(1)xx ydxxdx13201168()33xxdm第48頁/共80頁二、平面薄片的質量D 由第一節引例和二重積分定義可知,平面薄片的質量等于面密度在區域 上的二重積分.因此,可以用二重積分計算平面薄片的質量.222 (0)2,( , )=,Dx yxy 設平面薄片所占的閉區域 由螺線與直線 =0及 =圍成 它的密度為求這薄片的質量.2例4.D由二重積分的物理意義可知,薄片的質量為面密度在區域 上的二重積分所以( , )Dmx y d解第49頁

29、/共80頁,02 ,0,22又因為被積函數用極坐標表示為積分區域為所以( , )Dmx y d2200Dd ddd 23222000144dd4452504540第50頁/共80頁三、平面薄片的重心.n一個物體可以看作是由 個質點組成的質點系由靜力學可知,這個質點第的重心坐標為1111,nniiiiyixinniiiim xm ymmxymmmm,.yxmmmyx式中為質點系質量,與分別為質點第對 軸和 軸的靜力矩,( , ),Dx y設平面薄片的面積區域為面密度為由二重積分的概念和意義可知( , ),( , ),( , )yxDDDmx y dmxx y dmyx y d第51頁/共80頁所

30、以( , ),( , )DDxx y dxx y d( , )( , )DDyx y dyx y d,().,AAD特別地 若平面薄片是均勻的 則面密度為常量總質量為為區域 的面積 這時 它的重心坐標為11,DDxxdyydAA,.,DD此時 它的重心完全取決于區域 的形狀因此 均勻薄片的重心也叫該薄片所點的平面圖形 的形心.第52頁/共80頁22( , )( , )=,.Dyxyxx yx yx y 設平面薄片所占的閉區域 由拋物線及直線所圍成,它在點處的面密度為求此薄片的重心例52:,01,Dxyxx如圖7-20所示,區域 為所以解圖7-20 例5示意圖yxOD112yxyx第53頁/共8

31、0頁13302( , )xyxDDmxx y dx yddxx ydy 211325700111222xxx ydxxxdx1680111121648xx22( , )xDDmyx y dx y d221122230013xxxxdxx y dyx ydx 115869001111133182754xxdxxx第54頁/共80頁12202xxDmx yddxx ydy 2122012xxx ydx14601122xxdx1570111101435xx3535,4854yxmmxymm故 35 35,.48 54所以該薄片的重心坐標為第55頁/共80頁6xy 求由坐標軸與直線2所圍成的三角形均勻

32、薄片的形心.例6:062 ,039.DyxxA 如圖7-21所示,其區域 為圖形面積所以36 200119xDxxddxxdyA 解圖7-21 例6示意圖OD26xy63xy第56頁/共80頁36 20019xxydx3201(62)9xx dx3230123193xx36 200119xDyyddxydyA 6 232001192xydx3201(18 122)9xx dx323012186293xxx,(1,2).所以 所求薄片的形心坐標為第57頁/共80頁思考題1.利用二重積分求體積的根據是什么?答案2.均勻薄板的質量是如何用二重積分表示的?答案3.熟悉定積分遞推公式,并牢記.答案第58

33、頁/共80頁課堂練習題,1,0,.yx xy 1.設薄片所占的閉區域D是由 = 2所圍成 求該均勻薄片的質量答案22222212.11,.選用適當的坐標表示積分是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區域 并且將其化為二次積分DxydDxyxy答案第59頁/共80頁一、學習Mathematica命令 Mathematica的求多元函數的偏導數命令與前面學習的求一元函數的導數命令一樣，調用格式為(x,y,z),x( , , )(x,y,z),x,y,x,( , , )xxyzffx y zffx y zD 求D 求高階偏導數 Mathematic求二重積分的命令與前面學習的求定積分的命令一樣,調

34、用格式為Integrate f(x,y),x,a,b,y,c,b( , )bdacdxf x y dy 求二重積分第60頁/共80頁二、偏導數計算2sin2zxy 求的偏導數.例1解In1:=Dx2*Sin2y,xOut1=2xsiny2In2:=Dx2*sin2y,yOut2=2x Cos2y第61頁/共80頁2222332322331,.zzzzzzx yxyxyxy xx yyx 設求及例2解2In3:=Dx3*y2-3x*y3-x*y+1,x,xOut3=6xy22In4:=Dx3*y2-3x*y3-x*y+1,y,xOut4=-1+6x y-9y22In5:=Dx3*y2-3x*y3-x*y+1,x,yOut5=-1+6x y-9y3In6:=Dx3*y2-3x*y3-x*y+1,y,