1、2021-12-12空間解析幾何空間解析幾何第第3章章 常見的曲面常見的曲面2本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1柱面柱面2 錐面錐面3 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面4 曲線與曲面的參數(shù)方程曲線與曲面的參數(shù)方程5 橢球面橢球面6 雙曲面（單葉雙曲面，雙葉雙曲面）雙曲面（單葉雙曲面，雙葉雙曲面）7 拋物面（橢圓拋物面，雙曲拋物面）拋物面（橢圓拋物面，雙曲拋物面）8 二次直紋面二次直紋面9 作圖作圖五種典型的五種典型的二次曲面二次曲面3.5 五種典型的二次曲面五種典型的二次曲面 橢球面橢球面雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面拋物面拋物面橢圓拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面二次曲面的定義：二次曲面的

2、定義：三元二次方程所表示的曲面稱之為三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面二次曲面相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面形狀的討論二次曲面形狀的截痕法截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面1.對稱性：主平面:三坐標(biāo)平面主軸:三坐標(biāo)軸中心:坐標(biāo)原點2.頂點:(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)軸:2a,2b,2c ( )半軸:a

3、,b,c截距:a, b, c,ybzc1 222222 czbyax3.5.1 3.5.1 橢球面)0, 0, 0(cba,ax3.范圍：4.4.主截線：主截線：平行截割法：平行截割法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截口）的形狀，然后加以綜合，從而了解考察其交線（即截口）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。曲面的全貌。1222222 czbyax橢球面橢球面 與三個坐標(biāo)面的交線與三個坐標(biāo)面的交線截口是曲面與平面的交線截口是曲面與平面的交線ozyx22221:0yzyOzbcx面橢球面橢球面22221:0 xzxOzacy面

4、22221:0 xyxOyabz面1222222 czbyax橢球面橢球面 與三個坐標(biāo)面的交線與三個坐標(biāo)面的交線1 222222 czbyax5.5.平截線：平截線：用用z = hz = h截曲面截曲面用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面截曲面abcyx zo用平行于用平行于xoyxoy坐標(biāo)面的平面截割橢球面，得截線的方程為：坐標(biāo)面的平面截割橢球面，得截線的方程為：2222221(5)xyhabczh ，(5)(5)無圖形；無圖形； 由于由于h h是變化的，是變化的，(5)(5)表示一族橢圓，橢圓面可以看成由表示一族橢圓，橢圓面可以看成由一個橢圓變動而生成的，其在

5、變動中始終保持所在的平一個橢圓變動而生成的，其在變動中始終保持所在的平面與坐標(biāo)面面與坐標(biāo)面xoyxoy平行平行. .ch ch ch 221cha221chb), 0 , 0(c，(5)(5)表示兩個點表示兩個點 ；( (5)5)表示一個橢圓，兩半軸長分別為表示一個橢圓，兩半軸長分別為橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面 012222yczax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z122222 czayx方程可寫為方程可寫為,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 z

6、zzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面與與橢球面橢球面的的區(qū)別區(qū)別：與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz 三、橢球面的參數(shù)方程2222221xyzabccoscoscos sin,0222sinxaybzc上海科技城橢球體玻璃幕墻上海科技城橢球體玻璃幕墻 應(yīng)用實例：應(yīng)用實例：3.5.2 3.5.2 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面 雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz xyoz單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax一、單葉雙曲面一、單葉雙曲面1 1 對稱性（對稱性（symmetricsymmetric）2 2 頂點、與坐標(biāo)軸的

7、交點和截距頂點、與坐標(biāo)軸的交點和截距 (vertex and intercept)(vertex and intercept)（1 1）單葉雙曲面與）單葉雙曲面與x x，y y軸分別交于（軸分別交于（a a，0 0，0 0），）， （0 0，b b，0 0）而與）而與z z軸無實交點軸無實交點. . 上述四點稱為單葉雙曲面的實頂點，上述四點稱為單葉雙曲面的實頂點， 而與而與z z軸的交點（軸的交點（0 0，0 0，cici） 稱為它的兩個虛交點稱為它的兩個虛交點. .（2 2）截距：分別用）截距：分別用y=0,z=0y=0,z=0和和x=0,z=0 x=0,z=0，代入得代入得x,yx,y軸上

8、的截距為軸上的截距為: : ， ；在在z z軸上沒有截距軸上沒有截距. .axby xyoz3 3 圖形的范圍圖形的范圍由方程由方程 知，即曲面存在于橢圓柱面知，即曲面存在于橢圓柱面 之外，從而曲面與之外，從而曲面與z z軸無交點，軸無交點，并且在并且在xoyxoy面的上面的上, ,下半空間延到無窮遠下半空間延到無窮遠. .22221xyab22221xyab xyoz1222222 czbyax2021-12-124 4 主截線主截線與三坐標(biāo)平面與三坐標(biāo)平面z = 0z = 0，y = 0y = 0和和x = 0 x = 0交于三條曲線交于三條曲線012222zbyaxxoyxoy面上的面上

9、的橢圓叫做腰橢圓叫做腰橢圓橢圓 012222xczby012222yczaxyozyoz面面上的雙曲上的雙曲線線 xozxoz面上面上的雙曲線的雙曲線 有共同的虛有共同的虛軸和虛軸長軸和虛軸長 (1)(1)用用z = h z = h 截曲面截曲面結(jié)論：單葉雙曲面可看作由一結(jié)論：單葉雙曲面可看作由一個橢圓的變動（大小位置都改個橢圓的變動（大小位置都改變）而產(chǎn)生，該橢圓在變動中，變）而產(chǎn)生，該橢圓在變動中，保持所在平面與保持所在平面與xOy xOy 面平行，面平行，且兩對頂點分別在兩定雙曲線且兩對頂點分別在兩定雙曲線上滑動上滑動. .2222221,.z hxyhCabczh橢圓：用平行于坐標(biāo)面的

10、平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割y z5 5 平截線平截線y = hy z(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割當(dāng)當(dāng) 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面 用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割當(dāng)當(dāng) 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線y = h yx zo用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當(dāng)當(dāng) 時時hb2222221.y

11、hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線 用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當(dāng)當(dāng) 時時hb2222221.y hxzhCacbyh ，：截線為雙曲線截線為雙曲線y = h yx zo當(dāng)當(dāng) 時時hb22220.y hxzCacyh，：截線為直線截線為直線用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y hxzhCacbyh ，：(0 , b , 0)用平行于坐標(biāo)面的平面截割用平行于坐標(biāo)面的平面截割(2)(2)用用y = h y = h 截曲面截曲面當(dāng)當(dāng)

12、 時時hb22220.y hxzCacyh，：截線為直線截線為直線當(dāng)當(dāng) 時時hb當(dāng)當(dāng) 時時hb當(dāng)當(dāng) 時時hb2222221xyzabc單葉雙曲面：單葉雙曲面：用用y = h y = h 截曲面截曲面2222221.y hxzhCacbyh ，：2222221.y hxzhCacbyh ，：22220.y hxzCacyh，：byzo 22221,:0yzbcx222221.xyzbc 當(dāng)當(dāng) 時時, ,ab2222221xyzabcbyzox單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 當(dāng)當(dāng) 時時, ,ab2222221xyzabc22221,:0yzbcx 222221.xyzbc分析：分析：這一族的橢圓方程

13、為這一族的橢圓方程為2222221,xyhabczh 即即 22222222111,.xyhhabcczh從而橢圓焦點坐標(biāo)為從而橢圓焦點坐標(biāo)為22221,0,.hxabcyzh 消去參數(shù)消去參數(shù) h h 得得222221,0.xzabcy二、雙葉雙曲面1222222 czbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面xyoz特別的特別的a=b時時 為旋轉(zhuǎn)雙曲面為旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222czbyax雙葉雙曲面的性質(zhì)1 1 對稱性（對稱性（symmetricsymmetric）2 2 與坐標(biāo)軸的交點及截距與坐標(biāo)軸的交點及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) （

14、1 1）雙葉雙曲面與）雙葉雙曲面與x x軸、軸、y y軸不交，而與軸不交，而與z z軸交于（軸交于（0 0，0 0，c c），此為其實頂點），此為其實頂點. . （2 2）用）用x=0,y=0 x=0,y=0代入，得曲線在代入，得曲線在z z軸上的軸上的截距，而在截距，而在x,yx,y軸上無截距軸上無截距. .xyoz3 3 圖形范圍圖形范圍 ，易知，易知 ，即，即 或或 所以曲面分成兩葉，一葉在所以曲面分成兩葉，一葉在 的上方，另一葉在的上方，另一葉在 平面的下方，曲面在面的上半空間下半空間延伸到無窮。平面的下方，曲面在面的上半空間下半空間延伸到無窮。 2222221xyzabc 0122c

15、zcz czcz czxyoz用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面4 4 主截線主截線2222010.yzxCcay雙曲線，：2222010.xzyCcbx雙曲線，：無交點無交點xy zo5 5 平截線平截線當(dāng)當(dāng) 時時, ,hc 當(dāng)當(dāng) 時時, ,hc0,0, c交點坐標(biāo)交點坐標(biāo)2222221,.z hxyhCabczh：截線為橢圓截線為橢圓（1 1）用用 截曲面截曲面zh hcyx zo結(jié)論：雙葉雙曲面可看作由結(jié)論：雙葉雙曲面可看作由一個橢圓的變動（大小位置一個橢圓的變動（大小位置都改變）而產(chǎn)生，該橢圓在都改變

16、）而產(chǎn)生，該橢圓在變動中，保持所在平面與變動中，保持所在平面與xOy xOy 面平行，且兩軸的端點面平行，且兩軸的端點分別在兩定雙曲線上滑動分別在兩定雙曲線上滑動. .（2 2）用用 截曲面截曲面yt2222221,.y tzxtCcabyt：截線為雙曲線截線為雙曲線yx zo2222221,.x tzytCcbaxt ：截線為雙曲線截線為雙曲線（3 3）用用 截曲面截曲面xtyx zo五五 單葉雙曲面和雙葉雙曲面的方程的識別：單葉雙曲面和雙葉雙曲面的方程的識別： 1 1兩種雙曲面的方程的左邊都是兩種雙曲面的方程的左邊都是x x，y y，z z的平方項，有正的平方項，有正有負，右邊是有負，右邊

17、是1 1或或1. 1. 把方程的右邊都化成把方程的右邊都化成1 1，則左邊有兩項正，一項負的，則左邊有兩項正，一項負的，就表示單葉雙曲面就表示單葉雙曲面. . 而左邊有兩項負，一項正的，就表示而左邊有兩項負，一項正的，就表示雙葉雙曲面雙葉雙曲面. . 把方程的左邊都化成兩項正，一項負，則右邊是把方程的左邊都化成兩項正，一項負，則右邊是1 1的就的就表示單葉雙曲面，而右邊是表示單葉雙曲面，而右邊是1 1的，就表示雙葉雙曲面的，就表示雙葉雙曲面. . 2 2繪圖時要注意區(qū)分繪圖時要注意區(qū)分“實軸實軸”和和“虛軸虛軸”，并且保證對坐，并且保證對坐標(biāo)軸的標(biāo)注要符合右手系的原則標(biāo)軸的標(biāo)注要符合右手系的原

18、則. . 分析：分析： 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉單葉：雙葉雙葉：yx zo 在平面上，雙曲線有漸進線。在平面上，雙曲線有漸進線。 相仿，相仿，單葉雙曲面單葉雙曲面和和雙葉雙曲面雙葉雙曲面有有漸進錐面漸進錐面。 用用z=z=h h去截它們，當(dāng)去截它們，當(dāng)| |h h| |無限增大無限增大時，時， 雙曲面雙曲面的截口橢圓與它的的截口橢圓與它的漸進錐漸進錐面面 的截口橢圓任意接近，即：的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。漸進錐面：漸進錐面：錐2021-12-123.5.3 3.5.3 拋物面拋物面橢圓拋物

19、面橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面xyzo1、橢圓拋物面、橢圓拋物面 方程：方程：)(2222同號與qpzqypx設(shè)設(shè)p、q0,則則 0z圖形在圖形在xoy平面上方平面上方與與xoy面的交線面的交線0022:220zqypxc為點（為點（0，0，0）與平面與平面 )0(0 zz交線線1、橢圓拋物面、橢圓拋物面22222,0 xyz a bab22222222,2,xyabzabxya z當(dāng)時yoz例例 將拋物線將拋物線 繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)22:0ypzxyoxz例例 將拋物線將拋物線 繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)22:0ypzxy.oxz例例 將拋物線將拋物線 繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)

20、繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)22:0ypzx旋轉(zhuǎn)拋旋轉(zhuǎn)拋物面物面222xypz二、橢圓拋物面的性質(zhì)二、橢圓拋物面的性質(zhì)1 1 對稱性（對稱性（symmetricsymmetric） 2 2 有界性有界性(bounded(bounded 3 3 頂點及截距頂點及截距(vertex and intercept)(vertex and intercept) 0 yx0 yz0 zxxyzo2 2用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面3 3用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面1 1用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面xzyO00,0,0zC頂點：22020.yxa zCy拋線，：物物22020.xyb

21、zCx拋線，：物物4.4.主截線主截線Cx0Cy0 兩條主拋物線具兩條主拋物線具有相同的頂點有相同的頂點, ,對對稱軸和開口方向稱軸和開口方向002222zbyax其為點其為點（0，0，0） 0222yzaxxozxoz 面上的拋物線面上的拋物線 主拋主拋物線物線0222xzby yozyoz 面上的拋物面上的拋物線線 有相同的定點（有相同的定點（0 0，0 0，0 0）相同的對稱軸相同的對稱軸z z軸，開口均軸，開口均向向z z軸正方向軸正方向xzyO1 1用用z = k (kz = k (k00) )截曲面截曲面結(jié)論：橢圓拋物面可看作結(jié)論：橢圓拋物面可看作由一個橢圓的變動（大小由一個橢圓的

22、變動（大小位置都改變）而產(chǎn)生，該位置都改變）而產(chǎn)生，該橢圓在變動中，保持所在橢圓在變動中，保持所在平面與平面與xOy xOy 面平行，且兩面平行，且兩對頂點分別在兩主拋物線對頂點分別在兩主拋物線上滑動上滑動5. 5. 平截線平截線22221,22.z kxyCa kb kzk橢圓： 當(dāng)當(dāng) 時，為原點；時，為原點； 0k 當(dāng)當(dāng) 時，時， 為橢圓，其頂點為（為橢圓，其頂點為（0 0， ，k k），），（ ，0 0，k k）. . 兩半軸長為：兩半軸長為： , ., .橢圓拋物面是由橢圓拋物面是由xoyxoy平面上方的一系列平面上方的一系列“平行平行”的橢圓構(gòu)成的，的橢圓構(gòu)成的，這些橢圓的頂點（這些

23、橢圓的頂點（ ，0 0，k k）, ,（0 0， ，k k）分別在拋物線（分別在拋物線（2 2）和（）和（3 3）上變化）上變化. . 0kkb 2ka 2ka 2kb 2kb 2ka 222221,22.z kxyCa kb kzk橢圓：xzyO用用y = ky = k截曲面截曲面結(jié)論：取這樣兩個拋物線，結(jié)論：取這樣兩個拋物線，它們所在的平面互相垂直，它們所在的平面互相垂直，它們的頂點和軸都重合，且它們的頂點和軸都重合，且兩拋物線有相同的開口方向，兩拋物線有相同的開口方向，讓其中一條拋物線平行于自讓其中一條拋物線平行于自己（即與拋物線所在的平面己（即與拋物線所在的平面平行），且使其頂點在另一

24、平行），且使其頂點在另一個拋物線上滑動，那么前一個拋物線上滑動，那么前一拋物線的運動軌跡是一個橢拋物線的運動軌跡是一個橢圓拋物面圓拋物面. .222222.y kyxazCbyk拋線，：物物用用z = 0 z = 0 截曲面截曲面用用y = 0 y = 0 截曲面截曲面用用x = 0 x = 0 截曲面截曲面 22222xyzab用用z = h z = h 截曲面截曲面用用y = k y = k 截曲面截曲面用用x = t x = t 截曲面截曲面xzy0平行截割法平行截割法主截口主截口輔助截口輔助截口例例 已知橢圓拋物面已知橢圓拋物面S S的頂點在原點，對稱面為的頂點在原點，對稱面為xOzxOz面與面與yOzyOz面，且過點面，且過點 和和 ，求