1、引引 言言連續時間系統連續時間系統：這類系統用于傳輸和處理連續時間信號離散系統離散系統：用于傳輸和處理離散時間信號的系統稱為離散時間系統，數字計算機是典型的離散系統例子，數據控制系統和數字通信系統的核心組成部分也都是離散系統。 混合系統混合系統：連續系統與離散系統組合起來使用。5.1 5.1 離散時間基本信號離散時間基本信號5.1.1 5.1.1 離散時間信號離散時間信號 連續時間信號，在數學上可以表示為連續時間變量t的函數。這類信號 的特點是：在時間定義域內，除有限個不連續點外， 對任一給定時刻都對應有確定的信號值。 離散時間信號，簡稱離散信號，它是離散時間變量tk(k=0,1, 2, )的

2、函數。信號僅在規定的離散時間點上有意義，而在其它時間則沒有定義，如圖 5.1-1(a)所 示。鑒于tk按一定順序變化時，其相應的信號值組成一個數值序列，通常把離散時間信號定義為如下有序信號值的集合：fk=f(tk) k=0, 1, 2, (5.1-1)式中，k為整數，表示信號值在序列中出現的序號。圖 5.1 1 離散時間信號f (tk)t-3t-2t-1t1ot2t3tk(a)f (kT) 3TokT(b) 2T TT 2T 3Tf (k) 3ok(c) 211 2 3 式(5.1-1)中tk和tk-1之間的間隔(tk-tk-1)可以是常數，也可以隨k變化。在實際應用中，一般取為常數。例如，對

3、連續時間信號均勻取樣后得到的離散時間信號便是如此。對于這類離散時間信號，若令tk-tk-1=T，則信號僅在均勻時刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此時，式(5.1 - 1)中的f(tk)可以改寫為f(kT)，信號圖形如圖 5.1-1(b)所示。 為了簡便，我們用序列值的通項f(kT)表示集合f(kT)，并將常數T省略，則式(5.1-1)可簡寫為fk=f(k) k=0, 1, 2, (5.1-2)工程應用中，常將定義在等間隔離散時刻點上的離散時間信號稱為離散時間序列離散時間序列 ，簡稱序列序列。5.1.2 5.1.2 離散時間基本信號離散時間基本信號1. 1. 單位脈沖序列單位脈沖序列單位脈

4、沖序列定義為單位脈沖序列定義為01)(k00kk圖 5.1 2 單位脈沖序列(k) 1ok 2121位移單位脈沖序列01)(0kk00kkkk或01)(0kk00kkkk(a)(kk0)okk011k0k01o k011 k0 k01(b)k(k k0)圖5.1-3 移位單位脈沖序列2. 2. 正弦序列正弦序列正弦序列的一般形式為)cos()(0kAkf由于)(cos2cos)2cos()cos()(00000NkAmkAmkAkAkf式中，m、N均為整數。式(5.1-5)表明，只有當 為整數，或者02mNmN02為有理數時，正弦序列才是周期序列；否則為非周期序列。(5.1 - 6) 當正弦序

5、列是通過抽取連續時間正弦信號的樣本獲得時， 如果假設正弦信號 的周期為T0，取樣間隔為Ts，那么，經過抽樣得到的正弦序列可表示為)cos(0t)cos(2cos)cos()(000kkTTtkfskTts式中， ， 將它代入式(5.1 - 6)可 得002TTsmNTTs002 對于連續時間正弦信號 , 按幾種不同間隔Ts抽樣得到的正弦序列示于圖 5.1-4 中。當 時，有此時， ， 是一個周期為 16 的周期性正弦序列，其 圖形如圖 5.1-4(a)所示。當 ，可得到如圖 5.1 - 4(b)所示的序列，其 ，是一個周期為23 的周期性正弦序列。 當 ，序列圖形如圖5.1 - 4(c)所示，

6、其 ，由于 ,是一無理數，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此時它的包絡函數f(t)仍具有周期性。ttf2cos)(161sT162cos)2cos(2cos)(kkTttfskTts16206cos)(121kkfTs時，238cos)(234kkfTs時，238061012200sTT圖 5.14 正弦序列k(a)(b)kk(c)3. 3. 指數序列指數序列指數序列的一般形式為kAekf)( (1)若A和 均為實數，且設 則 為實指數序列。 當a1時，f(k)隨k單調指數增長。當0a 1時，f(k)隨k單調指數衰減； 當a-1時，f(k)的絕對值隨k按指數規律增長。 當-1a0時，

7、f(k)絕對值隨k按指數 規律衰減。 且兩者的序列值符號呈現正、負交替變化； 當a=1時，f(k)為常數序列。當a=-1時，f(k)符號也呈現正、 負交替變化。ekAekf)(圖 5.1 5 實指數序列(b) 6 4 2o246f (k)1k(a) 6 4 2o246f (k)1kof (k)of (k)01k 6 4 224610(d)(c)(e) 4 20246f (k)1k 6 4 20246f (k)1k8(f) 6 4 2246k(2) 若A=1，=j0，則 kjekf0)(是虛指數序列。 我們已經知道，連續時間虛指數信號e j0t是周期信號。然而，離散 時間虛指數序列ej0k則只有

8、滿足一定條件時才是周期的， 否則是非周 期的。根據歐拉公式，式(5.1 - 9)可寫成 kjkekj00sincos0可見，e j0k的實部和虛部都是正弦序列，只有其實部和虛部同時為周 期序列時，才能保證ej0k是周期的。 (3) 若A和均為復數，則f(k)=Aek為一般形式的復指數序列 。設復數A=|A|ej, =+j0，并記e=r， 則有 )sin()cos()(00)()()(000kjkrAerAeeAeeAAekfkkjkjkkjjk可見，復指數序列f(k)的實部和虛部均為幅值按指數規律變化的正弦序列。 圖 5.1 6 復指數序列 4. Z序列序列Z序列的一般形式為 kzkf)(式中

9、，z為復數。通常，稱序列值為復值的序列為復序列復序列。顯然， Z 序列是一復序列。若將z表示為極坐標形式 0jezzkjkjkezezzkf00)()()sin(cos)(00kjkzzkfkk根據歐拉公式， 還可寫成 5.2 卷卷 積積 和和5.2.1 卷積和的定義卷積和的定義 定義兩個連續時間信號f1(t)和f2(t)的卷積運算為 dtfftftf)()()()(2121同樣地， 我們定義 iikfifkfkfkf)()()()()(2121為序列f1(k)和f2(k)的卷積和運算，簡稱卷積和 ( Convolution Sum)。 (5.2 - 2) 如果f1(k)為因果序列，由于k0時

10、，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改寫為零，即 02121)()()()(iikfifkfkf 如果f2(k)為因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，當(k-i) 0，即ik時，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改寫為k，也就是 kiikfifkfkf)()()()(2121如果f1(k)和f2(k)均為因果序列， 則有 (5.2 - 5)kiikfifkfkf02121)()()()(考慮到f1(k)、f2(k)均為因果序列，根據式(5.2 - 5)，可將上式表示為 iiikiekfkf)()()()(121例例 5.2 1 設f1(k)=e-k

11、( k)，f2(k)=(k), 求f1(k)*f2(k)。解解 由卷積和定義式(5.2 - 2)得 1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkkiiii顯然，上式中k0，故應寫為 )(11)()()()(1)1(21keekkekfkfkk 與卷積運算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運算也包括信號的翻轉、平移、相乘 、求和等四個基本步驟。 例例 5.2 2 已知離散信號 0231)(1kf其他210kkk 04)(2kkf其他3 , 2 , 1 , 0k求卷積和f1(k)*f2(k)。 解解 記卷積和運算結果為f(k)，由式(5.2 - 2)得 iikfifkfkfk

12、f)()()()()(2121 第一步，畫出f1(i)、f2(i)圖形，分別如圖 5.2 - 1(a)、 (b)所示。 第二步，將f2(i)圖形以縱坐標為軸線翻轉 180，得到f2(-i)圖形，如圖 5.2 - 1(c)所示。 第三步，將f2(-i)圖形沿i軸左移(k0)或右移(k0)|k|個時間單位，得到f2(k-i) 圖形。例如，當k=-1和k=1時，f2(k-i)圖形分別如圖 5.2 - 1(d)、 (e)所示。 第四步第四步，對任一給定值k，按式(5.2 - 6)進行相乘、求和運算，得到序號為k的卷 積 和序列值f(k)。若令k由-至變化，f2(k-i)圖形將從-處開始沿i軸自左向右移

13、動 ，并由式(5.2 - 6)計算求得卷積和序列f(k)。對于本例中給定的f1(k)和f2(k) ，具體計算過程如下： 1023if1(i)13214(a) 1023if2(i)3214(b)451 1 0f2( i)321(c)4i1 2 3 4 1 0f2( 1 i)321(d)4i1 2 3 4 5 1 0f2(1 i)321(e)4i1 2 3 42 1023kf(k)151914(f)51347267圖5.2-1 卷積和計算于是，其卷積和為 002713191540)(kkf 對于兩個有限長序列的卷積和計算， 可以采用下面介紹的更為簡便實用的方法計算。 這種 方法不需要畫出序列圖形，

14、 只要把兩個序列排成兩行，按普通乘法運算進行相乘， 但中 間結果不進位，最后將位于同一列的中間結果相加得到卷積和序列。 例如，對于例5. 2 - 2 中給定的f1(k)和f2(k)，為了方便，將f2(k)寫在第一行， f1( k)寫在第二行， 經序列值相乘和中間結果相加運算后得到 例：一個系統，其單位抽樣響應為： 其輸入序列為： ，求輸出響應000)(nnanhn)()()(Nnununx)(ny 解：討論解析法求卷積和。首先要根據卷積和的變化情況，按轉折點劃段，然后對每段的卷積和確定上下限。確定上下限的原則是：若給定兩序列 和 的非零值的下限分別為 ，上限分別為 ，則選 中大者作為卷積和的下

15、限，選 中小者作為卷積和的上限。 )(kx)(knh21LL 和21VV 和21LL 和21VV 和5.2.2 卷積和的性質卷積和的性質 性質性質1 離散信號的卷積和運算服從交換律、結合律和分配律，即)()()()()()()()()()()()()()()()()(31213213213211221kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkf 性質性質 2 任一序列f(k)與單位脈沖序列(k)的卷 積和等于序列f(k)本身， 即 )()()()()(kfkfkkkf性質性質 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，則 )()()()()(1211121kkfkfkkf

16、kkfkf)()()()()(2112212211kkkfkkfkkfkkfkkf式中k1 , k2均為整數。 例例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 試驗證x(k)和y(k)的卷積和運算滿足交換律，即 )()()()(kxkykykx 解解 先計算x(k)*y(k)，考慮到x(k)是因果序列，根據式(5.2-3)，有 5 . 1233111) 3(1)() 3()()()()(0iiiiiiikyixkykx再計算y(k)*x(k)，同樣考慮到x(k)是因果序列，可得 求解過程中對k沒有限制，故上式可寫為x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5

17、-k可見，x(k)*y(k)運算滿足交換律。 5 . 1313) 3() 3(3) 3() 3()() 3(1)()()()()()(kkkikiikikiikiikikxiykxky所以 5 . 1)()()()(kxkykykx 例例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1) (k+1)和f2(k)=(k-2)，試計算卷積和f1(k)*f2(k)。 解解 用下面兩種方法計算。 方法一：方法一：圖解法。將序列f1(k), f2(k)的自變量換為i，畫出f 1(i)和f2(i)的圖形如圖 5.2-2(a), (b)所示。 將f2(i)圖形翻轉 180后，得f2(-i)，如圖5.2-2(c

18、)所示。 當k1時，由圖 5.2-2(d)可知，其乘積項f1(i)f2(k-i)為零，故f1(k)*f2(k)=0。 圖 5.2-2 f1(i)0i(a)11 2 3 4 51f2(i)0i(b)1 2 3 4 516f2( i)0(c)21i46f2(k i)0(d)2i424(k1)f2(k i)0(e)2i24(k1)f1(i)f1(i)當k1時，按卷積和定義，參見圖 5.2-2(e)，可得 )21 (2222212222222)2(2)2() 1(2)()(11)2(121121)1(1)1()1(21kkkkiikiiiiiiikikikfkf于是)21 (20)()(21kkfkf

19、11kk故有) 1()21 (2)()(21kkfkfk方法二方法二： 應用卷積和性質 3。 先計算 kkkiiiikikikkkf22212212)()()2()()()2()(110上式中k0， 故有 )()22()()(2)(kkkkfkk再應用卷積和性質 3，求得 ) 1()21 (2) 1(22) 1()21()2() 1(2)()()1()1(21kkkfkfkkkfkfkkk5.2.3 常用序列的卷積和公式常用序列的卷積和公式 表表 5.1 常用序列的卷積和公式常用序列的卷積和公式 5.3 離散系統的算子方程離散系統的算子方程 5.3.1 LTI離散時間系統離散時間系統 圖圖 5

20、.3-1 離散系統的輸入輸出模型離散系統的輸入輸出模型 )()()()(kykfkfTky離散系統f (k)y(k) 離散時間系統的狀態和狀態變量。離散時間系統在k0時刻的狀態是指 滿足如下條件的數目最少的一組數據x1(k0), x2(k0), , xn(k0)。 這組 數據連同k0k上的輸入f(k)就可以惟一地確定k時刻的輸出y(k)，而不需具體知道k 0以前的輸入情況。n稱為離散系統的階數。 在實際工作過程中，系統的狀態x1(k0), x2(k0), , xn(k0)隨k0不同 而變化，我們把描述系統狀態變化的變量稱作狀態變量， 它是一組序 列信號，記為x1(k), x2(k), , xn

21、(k)。 離散時間系統的零輸入響應、零狀態響應和完全響應。設k0為初始觀察 時刻，則可將系統的輸入區分為兩部分，稱k0以前的輸入為歷史輸入信號，稱k0及k0以后的輸入為當前輸入信號或簡稱輸入信號。我們將僅由k0時刻的初始狀態或歷史輸入信號引起的響應稱作零輸入響應，記為yx(k)；僅由當前輸入信號引起的響應稱作零狀態響應，記為yf(k)。而將零輸入響應、零狀態響應之和 稱作系統的完全響應，記為y(k)。 離散時間系統的齊次性、疊加性和線性特性。設離散系統的輸入輸出關系為f(k) y(k) 所謂齊次性是指對于任意常數a、 輸入f(k)和輸出y(k)，恒有af(k) ay(k) (5.3-3) 所謂

22、疊加性疊加性是指對于輸入f1(k)、f2(k)和輸出y(k)，若設f1(k)y1(k)，f2(k) y2( k)，則恒有f1(k), f2(k) y1(k)+y2(k) (5.3- 4)式中，f1(k), f2(k)表示f1(k)和f2(k)同時作為系統的輸入。 齊次性和疊加性統稱為線性特性。 對于任意常數a和b，輸入f1(k)和 f2(k)共同作用時，系統的線性特性可表示為af1(k), bf2(k) ay1(k)+by2(k) (5.3 - 5)它同時體現了式(5.3-3)的齊次性和式(5.3-4)的疊加性。 線性離散時間系統和非線性離散時間系統。 若離散時間系統的響應可 分 解為零輸入響

23、應和零狀態響應兩部分， 且零輸入響應與初始狀態或歷史輸入信號、 零狀態 響應與當前輸入信號之間分別滿足齊次性和疊加性，則稱該系統為線性離散時間 系統，否則稱為非線性離散時間系統。 時不變離散時間系統和時變離散時間系統。 設離散時間系統的輸入輸出關系為 )()(kykfT若對于任意整數k0， 恒有 )()(00kkykkfT則稱該系統為時不變離散時間系統時不變離散時間系統，否則稱為時變離散時間時變離散時間系系 統。統。 因果離散時間系統和非因果離散時間系統。 如果系統始終不會在 輸入加入之前產生響應， 這種系統稱為因果系統因果系統， 否則稱為非因果系統。非因果系統。 例如，有三個系統的輸入輸出關

24、系如下： 系統 1 y(k)=kf(k) 系統 2 y(k)=|f(k)| 系統 3 y(k)=2f(k)+3f(k-1) 根據定義容易驗證： 系統 1 是線性時變離散時間系統， 系統 2 是非線性時不變離散時間 系統， 而系統 3 是線性時不變離散時間系統。 根據第 1 章討論結果，一個n階線性時不變離散時間系統，若其輸入為f(k)，全響應為y (k)，那么，描述該系統輸入輸出關系的數學模型是n階線性常系數差分方程，它可以表 示為 )() 1()()() 1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn式中，ai(i=0, 1, , n-1)，bj(j=0, 1, , m)均為常

25、數。 (5.3-7)5.3.2 離散系統算子方程離散系統算子方程 在連續時間系統分析中，我們曾用微分算子p和積分算子p-1分別表示對函數的微分 和積分運算。與此類似，在離散系統分析中，我們引入E算子(超前算子)，表示將序列提前一個單位時間的運算；E-1算子(遲后算子 )，表示將序列延遲一個單位時間的運算，即：),1()(),1()(1kfkfEkfkEf)()()()(nkfkfEnkfkfEnn應用中，統稱E算子和E-1算子為差分算子。 利用差分算子，可將差分方程式(5.3-7)寫成下述形式： )()()()()()(011011kfEbkfEbkfbkyEakyEakymmmnn或寫成)(

26、)()()1 (011011kfEbEbbkyEaEammmnn進一步寫成)()()()(1)(011011kfEAEBkfEaEaEbEbbkynnmmm式中：nnmmmEaEaEAEbEbbEB0110111)()(若令 011011011011)(1)()()(aEaEbEbEbEEaEaEbEbbEAEBEHnnnmmmmmnnnmmm則式(5.3-9)可表示為 )()()(kfEHky此式稱為離散時間系統的算子方程。式中的H(E)稱為離散系統離散系統 的傳輸算子的傳輸算子。H(E)在離散系統分析中的作用與H(p)在連續系統分析中的作用相同 ，它完整地描述了離散系統的輸入輸出關， 或者

27、說集中反映了系統對輸入序列的傳輸特 性。例如，設某離散系統的差分方程為 )()() 1(kfkayky以單位延遲算子E-1作用于方程兩邊后，得到 ）（1) 1()(kfkayky圖 5.3-2 用H(E)表示離散系統 H(E)f (k)y(k)根據差分算子的定義，容易證明： )()(1)(1)()(1)(1mnkfkfEEkfEEkfkEfEkfEEnmmn可見，對于同一序列而言，超前算子與遲后算子的作用可以互相抵消， 或者說作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允許消去。 例例 5.3-1 設描述某離散時間系統的差分方程為 )()2() 1()(kfkbykayky求其傳輸

28、算子H(E), 并畫出系統的模擬框圖和信號流圖表示。 解解 寫出系統的算子方程為 )()()1 (21kfkybEaE所以，系統的傳輸算子 2111)(bEaEEH再將算子方程改寫成 )()()()(21kybEkyaEkfky圖 5.3-3 例 5.3-1圖 f (k)E1 ay(k)f (k) ay(k)11E11(a)(b)E1 b bE11例例 5.3-2 某離散時間系統的輸入輸出算子 方程為 )()()()(kfEBkyEA式中： 201122011)(1)(EbEbbEBEaEaEA試畫出系統的模擬框圖和信號流圖。 解解 如同連續系統那樣，選擇中間變量x(k)，并令 )(11)()

29、(1)(2011kfEaEakfEAkx則有 )()()()()(20112kxEbEbbkxEBky)()()()(2011kfkxEakxEakx)()()()(20112kxEbkxEbkxbky圖 5.3-4 例 5.3-2圖 f (k)E1 a1(a)E1 a0 x(k)E1x(k)E2x(k)f (k)E1 a1(b)E1 a0y(k)b0b1b2f (k)1E1E1b0b1b21y(k) a1 a0(c)5.4 離散系統的零輸入響應離散系統的零輸入響應 根據線性系統定義，系統的完全響應由零輸入響應和零狀態響應兩部分組成。 在連續時間系統的時域分析中，我們從描述系統的微分方程或傳輸

30、算子H(p)出發，分別求 出系統的零輸入響應和零狀態響應， 然后把它們疊加起來得到系統的完全響應。 這種做法 同樣適用于離散系統的時域分析。 只是在離散時間系統分析中， 我們討論問題的出發點是 描述系統的差分方程或傳輸算子H(E)。 此外，求解系統零狀態響應時， 與連續時間信號 的卷積積分相對應， 需要進行離散時間信號的卷積和計算。 如前所述，一個描述n階線性時不變離散時間系統的差分方程，若應用差分算子E，則可 表示為 )()()()1 (011011kfEbEbbkyEaEammmnn或者寫為 )()()()()()()(kfEHkykfEBkyEA式中： nnmmmEaEaEbEbbEAE

31、BEH0110111)()()( 根據系統零輸入響應的定義，如果假定初始觀察時刻為k0，那么，離散系統的零 輸入響應就是k0及k0以后的輸入為零時，僅由k0以前的輸入或k0時刻的狀態引起 的響應，常記為yx(k)。 由此可見，在系統差分方程式(5.4-1)中，只需 令輸入信號f(k)為零，就可得到求解零輸入響應yx(k)的方程，其一般形式為 0)()1 (011kyEaEaxnn0kk 或者簡寫為 0)()(kyEAx0kk 具體地說，離散系統的零輸入響應就是上面齊次差分方程滿足給定初始條件yx(0 )，yx(1)，yx(n-1)時的解。 5.4.1 簡單系統的零輸入響應簡單系統的零輸入響應

32、如果離散系統傳輸算子H(E)僅含有單個極點r， 這時式(5.4-6)可表示為 0)()(kyrEx0kk 這是一個一階齊次差分方程，將上式改寫為 0)() 1(krykyxx0kk 于是有 rkykyxx)() 1( 此式表明，序列yx(k)是一個以r為公比的幾何級數，它具有以下形式： kxrcky1)(0kk 式中，c1是常數，由系統零輸入響應的初始條件確定。上述結果與一階齊次微分方程 解c1et的形式非常類似，因為當時間t按t=kT離散變化時，其解可改寫成c1et=c1ekT=c1(eT)k，令eT=r時，就是差分方程式(5.4-7)的解。 因此，我們有如下結論： kxrckyEEBEH1

33、)()()(0kk 如果系統傳輸算子僅含有g個單極點r1, r2, , rg，則相應齊次差分方程可寫成 0)()(21kyrEEExg）（0kk 顯然，滿足以下方程 0)()(kyExigi, 2 , 1的解，必定也滿足式(5.4-10)。仿照微分方程解結構定理的證明，可導得式(5 .4-10)的解為 kngkkxrcrcrcky2211)(式中, 待定系數值c1, c2, , cg由系統零輸入響應的初始條件確定。 于是，有結論 gikiixgrckyrErErEEBEH121)()()()()(0kk 為了考察H(E)含有重極點的情況，我們假定對于一極小值，其系統齊次差分方程為 0)()()

34、(kyrErEx且系統初始條件為 ) 1 ()0(xxyyyx(k)表示為 kkxrcrcky)()(21代入初始條件，有 )(2121rcrccc解得 rc1rc2)()()()()()(1 )(313212131321211rrcrkrarrrcrcrrrrrrrkykkkkkkkkkx現在，令0取極限，使得H(E)的兩個極點相重合，于是有 kxrkrky)()(lim10或寫成 kxrkccky)()(1110式中： )(11110rcc同樣道理，如果傳輸算子H(E)僅含有r的d重極點，這時系統的齊次差分方程為 kddxrkckckccky)()(112210相應的零輸入響應可表示為 0

35、)()(kyExd 式中，常數c0, c1, , cd-1由系統零輸入響應的初始條件確定。 因此 kdjjjxdrkckyrEEBEH)()()()()(100kk 5.4.2 一般系統的零輸入響應一般系統的零輸入響應 設n階離散時間系統的齊次差分方程為 0)()1 (02211kyEaEaEaxnnn其傳輸算子H(E)含有g個相異極點r1, r2, , rg，對應的重數分別是d1, d2, , dg。 這里， (d1+d2+dg)=n。顯然，若di(i=1, 2, , g)為 1 時， 表示相應的極點ri是單極點。此時式可表示為 0)()()()(2121kyrErErExgddgdn階LT

36、I離散系統的零輸入響應為 10)(idjkijijxirkckygixixkyky1)()(0kk 式中： gi, 2 , 1式中，各待定系數由系統零輸入響應yx(k)的初始條件確定。 綜上所述，由LTI離散系統傳輸算子H(E)求零輸入響應yx(k)的具體步驟可歸納如下： 第一步，第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相異極點r1, r2，, rg及相應的重數d1, d2, , dg。將系統齊次差分方程表示為 0)()(1kyrExgidii第二步第二步，求解方程0)()(kyrExidiigi, 2 , 1得到各極點相應輸入響應分量10)(idjkijijxirkckygi, 2 ,

37、1第三步，第三步，寫出系統的零輸入響應gikijijdjgixixrkckykyi1101)()(0kk 第四步第四步，由零輸入響應初始條件確定式（5.4-22）中的各個待定系數cij，并最后求出系統的零輸入響應yx(k)。（5.4-22）例例 5.4-1 已知離散時間系統傳輸算子 2)5 . 0)(3 . 0)(2 . 0(2)(EEEEEH及初始條件yx(0)=12，yx(1)=4.9， yx(2)=2.47，yx(3) =1.371。 求該系統的零輸入響應。 解解 因為傳輸算子H(E)極點為r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重極點)。所以，可得 kkxkkxkkxkccrkcc

38、kycrckycrcky)5 . 0()()() 3 . 0()()2 . 0()(3130331303202202101101kkkkxkccccky)5 . 0()5 . 0() 3 . 0()2 . 0()(31302010上式中令k=0, 1, 2, 3, 代入初始條件后得到 371. 1375. 0125. 0027. 0008. 0) 3(47. 25 . 025. 009. 004. 0)2(9 . 45 . 05 . 03 . 02 . 0) 1 (12)0(313020103130201031302010302010ccccyccccyccccycccyxxxx聯立上述方程，

39、求解得c10=5, c20=3, c30=4, c31=2。于是，系統的零輸入響應為kkkxkky)5 . 0)(24() 3 . 0( 3)2 . 0( 5)(0k 與連續系統中的H(p)一樣，H(E)中若有復極點，則必定共軛成對。若設H(E)的共軛復極點為 jjerrer*121)sincos()()()()(2120102010kckcececececkykjkjkkkjkjx式中： )(2010220101ccjcccc例例 5.4-2 設描述離散時間系統的差分方程 為 )2(2) 1()2(25. 0)(kfkfkyky系統初始條件為yx(0)=2, yx(1)=3。試求k0時系統的

40、零輸入響應。 解解 寫出系統傳輸算子 25. 0225. 012)(2221EEEEEEH其極點是一對共軛復極點： 22215 . 05 . 0,5 . 05 . 0jjejrejr由式(5.4-22)或式(5.4-23)， 得 2sin2cos)5 . 0()(21kckckykx利用初始條件，得到35 . 02sin2cos5 . 0) 1 (2)0(2211cccycyxx即c1=2,c6=6于是得出系統的零輸入響應2sin62cos25 . 0)(kkkykx0k5.5 離散系統的零狀態響應離散系統的零狀態響應 設系統的初始觀察時間為k0，所謂離散時間系統的零狀態響應，是指該系統在k0

41、時刻 的狀態或者歷史輸入為零時，僅由kk0時加入的輸入所引起的響應，通常記為yf(k)。 在連續系統的時域法分析中，我們根據信號的分解特性和LTI系統的線性時不變特性， 導出了系統零狀態響應的計算公式。具體做法包括： (1) 將一般信號分解為眾多基本信號單元的線性組合； (2) 求出基本信號激勵下系統的零狀態響應； (3) 導出一般信號激勵下系統零狀態響應的計算公式。5.5.1 離散信號的時域分解離散信號的時域分解 根據單位脈沖序列定義和序列位移的概念， 我們有 01)(mkmkmk于是可得 0)()()(mfmkkfmkmk因此，對于任意序列f(k)，可寫成 )2()2() 1() 1 ()

42、()0() 1() 1()2()2()(kfkfkfkfkfkf即 )()()(mkmfkfm(5.5-1)圖 5.5-1 離散信號的時域分解 1023kf (k)321451 2 3 1 2可以將圖 5.5-1 所示的序列分解表示為 dtftf)()()()4()2(2)(3) 1()2(2)(kkkkkkf顯然，式(5.5-1)是與連續時間信號f(t)的時域分解公式: 相對應的。在連續系統時域分析中，我們還給出了另一個分解公式 dtftf)()( )(容易得到相應的分解公式為 mmkmfmfkf)()1()(5.5.2 基本信號基本信號(k)激勵下的零狀態響應激勵下的零狀態響應 設系統初始

43、觀察時刻k0=0，則離散系統對于單位脈沖序列(k)的零狀態響應稱為系統的 單位脈沖響應，或簡稱為單位響應， 記作h(k)。 LTI離散系統的單位響應可由系統的傳輸算子H(E)求出。例例 5.5-1 單極點情況。若系統傳輸算子 rEEEH)(具有單極點E=r，則相應的差分方程為 )()()(kEfkyrE令f(k)=(k)時，其yf(k)=h(k)， 故有)()()(kEkhrE即 ) 1()() 1(kkrhkh移項后有 ) 1()() 1(kkrhkh根據系統的因果性，當k-1時，有h(k)=0。以此為初始條件， 對式(5.5-6)進 行遞推運算得出 krkkrhkhrrhhrrhhrhh)

44、() 1()()2() 1 ()2() 1 ()0() 1 (1)0() 1()0(2因此有 )()()(krkhrEEEHk例例 5.5-2 重極點情況。設系統傳輸 算子 2)(rEEEH在E=r處有二階重極點。寫出系統的差分方程 )()()(2kEfkyrE同樣，令f(k)=(k)，得到單位響應h(k)的求解方程為 )()()(2kEkhrE將該方程改寫為 )()()(kEkhrErE可將上式方括號中的(E-r)h(k)表示為 )()()(krkhrErEk或者寫成 )()() 1(krkrhkhk采用例 5.5-1 類似求解方法，可求得系統的單位響應 ）（kkrkhk1)(于是有 )()

45、()()(12kkrkhrEEEHk同理，可得 )(! 2) 1()()()(23krkkkhrEEEHk以及d階重極點相應的單位響應 )()2() 1()!1(1)()()(1krdkkkdkhrEEEHdkd設LTI離散系 統的傳輸算子為 0111101111011011)(1)(aEaEaEbEbEbEbEEaEaEbEbbEHnnnmmmmmnnnmmm求單位響應h(k)的具體步驟是：第一步， 將H(E)除以E得到 ;EEH）（ 第二步， 將 展開成部分分式和的形式； 第三步， 將上面得到的部分分式展開式兩邊乘以E， 得到H(E)的部分分式展開式 ;EEH）（gidiigiiirEEK

46、EHEEH11)()(）（第四步，由式(5.5-11)求得各Hi(E)對應的單位響應分量hi(k)；第五步， 求出系統的單位響應 giikhkh1)()(例例 5.5-3 求圖 5.5-2 所示離 散系統的單位響應h(k)。 圖 5.5-2 例 5.5-3圖 f (k)D1D2y(k)y(k1 )y(k2 )解解 )()2(2) 1()(kfkykyky或寫為 )()2(2) 1()(kfkykyky相應的傳輸算子為2211)(2221EEEEEEH將 進行部分分式展開，得EEH)(23/213/1)2)(1()(EEEEEEEH由于 )() 1(31)(1311kkhEEk)()2(32)(

47、2322kkhEEk所以，系統的單位響應 )()2(32) 1(31)()()(21kkhkhkhkk于是232131)(EEEEEH例例 5.5-4 如圖 5.5-3 的離散 系統，求其單位響應h(k)。 圖 5.5-3 例 5.5-4圖 f (k)E11E12y(k)1x(k)E1x(k)E 2x(k)1解解(1) 列算子方程。 )()(2)()(21kfkxEkxEkx它可寫為)(211)(21kfEEkx由右端加法器的輸出端可列出方程)()1 ()()()(22kxEkxEkxky)(211)(212kfEEEky系統的輸入輸出算子方程 (2) 求單位響應。 )1)()1 (2211)

48、(20222212EEHEEEEEEEEH)()2(32) 1(31)()(00kkhEHkk)2()2(32) 1(31)()(222020kkhEEHkkkkkkkkkkkkkkh)2(21)2(32) 1(310)2()2(32) 1(31)()2(32) 1(31)(22將上面兩個單位響應分量相減，即可得到系統的單位響應 21 , 00kkk例例 5.5-5 設描述離散時間系統的差分 方程為 ) 1(25. 0)2(3) 3(11)(05. 0)2(45. 0)2(2 . 1) 3(kfkfkfkykykyky求系統的單位響應。解解 由已知差分方程得系統傳輸算子05. 045. 02

49、. 125. 0311)(2323EEEEEEEHEEH)(222232)5 . 0(55 . 0102 . 01)5 . 0)(2 . 0(25. 031105. 045. 02 . 125. 0311)(EEEEEEEEEEEEEEH將 進行部分分式展開，得即2)5 . 0(55 . 0102 . 0)(EEEEEEEH由式（5.5-11）得)()5 . 0(5)5 . 0(5)()5 . 0(105 . 010)(2 . 02 . 012kkEEkEEkEEkkk因此，系統單位響應為)()5 . 0(5)5 . 0(102 . 0)(1kkkhkkk5.5.3 一般信號一般信號f(k)激

50、勵下的零狀態響應激勵下的零狀態響應 設離散時間系統的輸入為f(k)，對應的零狀態響應為yf(k)。由離散時間信號的時 域分解公式(5.5-1)知道，可將任一輸入序列f(k)分解表示成眾多移位脈沖序列的 線性組合，即 )()()(mkmfkfm 根據LTI離散系統的特性，應用單位響應h(k)可以分別求出每個移位脈沖序列f(m)(k-m)作用于系統的零狀態響應。然后， 把它們疊加起來就可以得到系統對輸 入f(k)的零狀態響應yf(k)。 )()()()()()()()()()()()()()()(khkfkfmkhmfmkmfmkhmfmkmfmkhmkkhkmm單位響應定義 系統的時不變特 性

51、yf(k) 的齊次性 yf(k)的疊加性 信號的分解公式和卷積和運算 定義 于是，得到系統在一般信號f(k)激勵下的零狀態響應為 mfkhkfmkhmfky)()()()()(5.5 - 18)可將離散時間系統的完全響應表示為 gidjkijijfxikhkfrkckykyky110)()()()()( 這一結果表明：LTI離散時間系統的零狀態響應等于輸入序列f(k)和單位響應h(k)的卷 積和。 例例 5.5-6 已知離散系統的輸入序列f(k)和 單位響應h(k)如下： )(21)()5()()(kkhkkkfk求系統的零狀態響應yf(k)。 解解 根據式(5.5 - 18)，有 )()5(

52、)()()()(khkkkhkfkyf由卷積和的分配律，將上式寫成 )()5()()()(khkkhkkyf查卷積和計算公式表 5.1，得 )(212211211)(21)()()()(11kkkkhkkykkkf由系統的時不變特性，得 )5(212)5()()5()(512kkykhkkykff于是，系統的零狀態響應為 )5(212)(212)()()(521kkkykykykkfff例例 5.5-7 描述某離散系統的差分方程 為y(k)-0.7y(k-1)+0.12y(k-2)=2f(k)-f(k-1)若輸入f(k)=(0.2)k(k)，零輸入響應初始條件yx(0)=8, yx(1)=3。 試求系統的零輸入響應、零狀態響應和完全響應。 解解 寫出系統的算子方程