1、會計學1復變函數(shù)西安交大第四版第八講復變函數(shù)西安交大第四版第八講& 1. 定義定義& 2. 分類分類& 3. 性質(zhì)性質(zhì)& 4. 零點與極點的關(guān)系零點與極點的關(guān)系第1頁/共50頁 1. 定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點為孤立奇點zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇點奇點11)( zzf-z=1為孤立奇點為孤立奇點定義定義.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇點點為為則則稱稱內(nèi)內(nèi)解解析析的的某某個個去去心心鄰鄰域域但但在在處處不不解解析析在在若若zfzzzzzzf 第2頁/共50頁xyo這說明

2、奇點未這說明奇點未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇點點存存在在，總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn 的孤立奇點。的孤立奇點。不是不是故故zz1sin10 第3頁/共50頁2. 分類分類以下將以下將f (z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類。據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類。考察：考察： )!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點：特點：沒有負冪次項沒有負冪次項 ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點：特點：只

3、有有限多個負冪次項只有有限多個負冪次項 nznzzez!1!211)3(211特點：特點：有無窮多個負冪次項有無窮多個負冪次項第4頁/共50頁定義定義 設(shè)設(shè)z0是是f (z)的一個孤立奇點，在的一個孤立奇點，在z0 的去心鄰域內(nèi)，的去心鄰域內(nèi)， 若若f (z)的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù) 00)()()(nnnzzczfi沒有負冪次項，稱沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點為可去奇點;)1, 0()()()(0 mczzczfiimmnnn只有有限多個只有有限多個(m個個)負冪次項，稱負冪次項，稱z=z0為為m 級極點級極點; nnnzzczfiii)()()(0有無窮多個負冪次項，稱有無窮多個負冪次項

4、，稱z=z0為本性奇點。為本性奇點。第5頁/共50頁3. 性質(zhì)性質(zhì).)()(000解解析析在在補補充充定定義義：zzfczf 000)(lim)()(0czfzzczfzznnn qz0為為f (z)的可去奇點的可去奇點)1, 0()()(0 mczzczfmmnnnqz0為為f (z)的的m (m 1) 級極點級極點)()(1)()(lim00zgzzzfzfmzz 第6頁/共50頁. 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm內(nèi)是解析函數(shù)且內(nèi)是解析函數(shù)且在在其中其中 4422) 1)()()2)(1() 1)(1(23)(zizizzzzzzzzf例如：

5、例如：z=1為為f (z)的一個三級極點，的一個三級極點， z= i為為f (z)的一級極點。的一級極點。 不不存存在在，也也不不為為負負冪冪次次項項的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多項項)(lim)(0zfzfzzqz0為為f (z)的本性奇點的本性奇點第7頁/共50頁4. 零點與極點的關(guān)系零點與極點的關(guān)系定義定義 不恒等于不恒等于0的解析函數(shù)的解析函數(shù)f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm Nmzzz ,)(, 0)(00點點解解析析在在其其中中： 則稱則稱z=z0為為f (z) 的的m 級零點。級零點。與與三三級級零零點點。的的一一級級分分別別是是與與3)1()(

6、10 zzzfzz例如：例如：第8頁/共50頁0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)()(32) 1()(,)()(00)(0)(00)1(100 cmzfmnzfzzmmczfzzmczfmnmm而而0)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 點點解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()(),()()(0)(0)(00 zfmnzfmzfzzzzzfmnm級零點級零點的的是是即即 定理定理事實上事實上，必要性得證！必要性得證！ 1010000)()()()(mmnmnnzzczzczzczf充分性略！充分性略！第9頁/共50頁的的零零

7、點點。均均為為與與3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf為為一一級級零零點點00)1()0( 3 zf為三級零點為三級零點1 z06)1( f0)1( f第10頁/共50頁級極點級極點的的是是若若mzfz)(0定理定理:.)(10級零點級零點的的是是mzfz證明證明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0為為f (z)的的m 級極點級極點 0)(,)(00 zgzzg且且解析解析在在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm .0)(,)(00 zhz

8、zh且且解析解析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10級零點級零點的的是是則則mzfz第11頁/共50頁則則級級零零點點的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm .0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 時，時，當當 .0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0級極點級極點的的是是mzfz第12頁/共50頁。如果是極點指出它的級如果是極點指出它的級的奇點，的奇點，求求)1)(1()(2zezzzf 例例解解顯然，顯然，z= i 是是(1+z2)的一級零點的一級零點, 2, 1,

9、0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故零零點點為為：即即 0)12(sin)12(cos)1()12()12( kikeekizzkizz的一級零點的一級零點是是zkekikz 1), 2, 1, 0()12(第13頁/共50頁.)(), 2, 1()12(;)(一一級級極極點點的的為為的的二二級級極極點點為為zfkkizzfizk 綜合綜合級數(shù)。級數(shù)。如果是極點，指出它的如果是極點，指出它的孤立奇點，奇點類型，孤立奇點，奇點類型，練習：考察下列函數(shù)的練習：考察下列函數(shù)的)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( )0(20)1( ki

10、kzz是是一一級級極極點點是是的的三三級級極極點點， 是可去奇點是可去奇點0)2( z第14頁/共50頁11)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 11)()7( zezf 322sin)2()1()()8(zzzzf 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf 第15頁/共50頁& 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則第16頁/共50頁1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義rzzzzczfnnn 000 ,)()(設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項項積積分分得得：線線對對上上式式兩

11、兩邊邊沿沿簡簡單單閉閉曲曲)0,)(000內(nèi)內(nèi)部部且且在在包包含含的的孤孤立立奇奇點點是是rzzzczfz 的的奇奇點點所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)含含有有未未必必為為所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在)(0)(0)(zfcczfdzzfc0002)(110nnidzzzCn第17頁/共50頁定義定義設(shè)設(shè) z0 為為 f (z) 的孤立奇點，的孤立奇點， f (z) 在在 z0為中心的圓環(huán)為中心的圓環(huán) 鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項 (z- z0)1 的系數(shù)的系數(shù) c1 稱為稱為f (z)在在 z0 的的留數(shù)留數(shù)，記作，記作 Res f (z), z0 或或 Res

12、 f (z0)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Res f (z), z0= c1 (1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故第18頁/共50頁2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)(,)(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 則則上解析上解析內(nèi)及內(nèi)及在在除此以外除此以外有限個孤立奇點有限個孤立奇點內(nèi)有內(nèi)有在在函數(shù)函數(shù)是一條簡單閉曲線是一條簡單閉曲線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)孤孤立立奇奇點點將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明第19頁/共50頁Dcznz1z3z2 nkk

13、nkcczzfsdzzfidzzfik11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由復合閉路定理得：由復合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！第20頁/共50頁A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點的留數(shù)。奇點的留數(shù)。 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用將是采用將 f (z) 在在 z0 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù) c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道奇點的類型，對求留

14、數(shù)更為有利。奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點點若若以下就三類孤立奇點進行討論：以下就三類孤立奇點進行討論：3. 留數(shù)的計算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則第21頁/共50頁規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點時，求為極點時，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級級極極點點是是若若級極點級極點的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II )5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfs

15、zzczfzziinn展開展開為本性奇點為本性奇點若若 )()()(lim)!1(10110mnzfzzdzdnnnnzz 第22頁/共50頁事實上事實上，由條件，由條件)0(,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導導數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求 .)5(,)!1()()(lim10110式式移移項項得得 cmzfzzdzdmmmzz第23頁/共50頁A當當m=1時，式

16、時，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( , 0)(, 0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的一級極點的一級極點是是處解析處解析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則III事實上事實上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級級極極點點為為從從而而的的一一級級零零點點為為及及zQzzQzzQzQ 0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此第24頁/共50頁),0)(,)()()()(1)(000 zgzzPzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！0)( )( )(

17、)()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzPzzzQzQzPzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級級極極點點的的為為則則,)(0zfz第25頁/共50頁 22)1(25:zdzzzz計算計算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和和一一個個二二級級極極點點極極點點的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個個一一級級在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzzfzzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim1)25(5lim)25(lim21211 zzzzzzzzz0 1)

18、,(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 第26頁/共50頁2:14 zcdzzzc正向正向計算計算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個個一一級級極極點點有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故第27頁/共50頁 13coszdzzz計算計算例例3解解的的三三級級極極點點有有一一個個0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(R

19、e03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則第28頁/共50頁)(tanNnzdznz 計算計算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0sin)(cos2121 kzkzzz 得得由由規(guī)規(guī)則則為為一一級級極極點點III,21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz 第29頁/共50頁 )21, 1 , 0 , 1,),1(,21(422,tanRe2tan2121個個數(shù)數(shù)可可取取 nknnnknkninikzsizdznknz 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運用規(guī)則及洛

20、朗級數(shù)展開來求留要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級級零零點點是是由由于于zPzzPzPzPPzzz 如如是是f (z)的三級極點的三級極點。第30頁/共50頁:)(級級數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzf 306sinlim)!13(10 ,sinRezzzzzzsz由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則該方法較規(guī)則II更簡單！

21、更簡單！但求導比較麻煩第31頁/共50頁 665506sinlim)!16(10 ,sinRezzzzdzdzzzszA(2) 由規(guī)則由規(guī)則II 的推導過程知，在使用規(guī)則的推導過程知，在使用規(guī)則II時，可將時，可將 m 取得比實際級數(shù)高，這可使計算更取得比實際級數(shù)高，這可使計算更簡單。簡單。如如! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 zzzdzdzz第32頁/共50頁5.3 留數(shù)在定積分計算上的應留數(shù)在定積分計算上的應用用第33頁/共50頁1. 形如形如 的積分的積分, 其中其中R(cosq q,sinq q)為為cosq q與與sinq q 的有理函數(shù)的有理函數(shù).

22、令令z=eiq q, 則則dz=ieiq qdq q, 20)sin,(cosq qq qq qdRzzeeizzeeiiiii21)(21cos21)(21sin22 q qq qq qq qq qq q 1|1|22)(21,21zzdzzfizdzizzzzR位圓周的積分位圓周的積分從而積分化為沿正向單從而積分化為沿正向單第34頁/共50頁 1|1|2220)(21,21)sin,(coszzdzzfizdzizzzzRdR q qq qq q其中其中f(z)是是z的有理函數(shù)的有理函數(shù), 且在單位圓周且在單位圓周|z|=1上分母不為零上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有根據(jù)留數(shù)定理有 nkkz

23、zzfidzzf11|),(Res2)(其中其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓為單位圓|z|=1內(nèi)的內(nèi)的f(z)的孤立奇點的孤立奇點.第35頁/共50頁例例1 計算計算 的值的值.)10(cos212cos202 pdppI q qq qq q解解 由于由于0p1, 被積函數(shù)的分母在被積函數(shù)的分母在0 q q 2 內(nèi)不為零內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的因而積分是有意義的. 由于由于 cos2q q=(e2iq q+e 2iq q)/2=(z2+z 2)/2, 因此因此 1|212222112zizdzpzzpzzI 1|24)(1(21zdzpzpzizz 1|)(zdzzf上上在在1 z

24、第36頁/共50頁在被積函數(shù)的三個極點在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi)內(nèi), 其中其中z=0為二級極點為二級極點, z=p為一級極點為一級極點. )(1(21lim0),(Res2420pzpzizzzdzdzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp 1|)(zdzzf) 10()(1 (211|24 pdzpzpzizzz第37頁/共50頁 )(1(21)(lim),(Res,210),(Res2422pzpzizzpzpzfippzfpz,)1(21224pipp )1

25、(2121222422pippippiI因此因此2212pp 第38頁/共50頁 的積分的積分 當被積函數(shù)當被積函數(shù)R( (x) )是是x的有理函數(shù)的有理函數(shù), , 而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次, , 并且并且R( (x) )在實軸上沒有孤立奇點時在實軸上沒有孤立奇點時, , 積分是存在的積分是存在的. . 不失一般性不失一般性, , 設(shè)設(shè) dxxR)(2. 形如形如2,)(1111 nmbzbzazazzRmmmnnn為一已約分式為一已約分式.第39頁/共50頁取積分路線如圖所示取積分路線如圖所示, 其中其中CR是以原點為中心是以原點為中心, R為半徑

26、的在上半平面的半圓周為半徑的在上半平面的半圓周. 取取R適當大適當大, 使使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi).-Rz1z2z3CRROxy第40頁/共50頁 ),(Res2)()(kCRRzzRidzzRdxxRR此等式不因此等式不因CR的半徑的半徑R不斷增大而有所改變不斷增大而有所改變.|1|1|1| )(|1111mmnnnmzbzbzazazzR |1|1|11111mmnnnmzbzbzazaz 10111011|1 nmz)|(|22足夠大時足夠大時當當 zz 第41頁/共50頁 RRCCdszRdzzRzzR| )(|

27、)(.|2| )(|2RR22 02 RR. ),(Res2)( kzzRidxxR因因此此 ),(Res)(,)(0kzzRidxxRxR為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果第42頁/共50頁的值的值 例計算下列積分：例計算下列積分：) 0, 0()(22222 badxbxaxxI)()(22222bzazzzR 的一級極點為的一級極點為 ai, , bi, , 其中其中ai與與bi在上半平面內(nèi)在上半平面內(nèi) 解解 這里這里m=4,n=2,m-n=2,并且實軸上并且實軸上R(z)沒有孤立奇點沒有孤立奇點, , 因此積分是存在的因此積分是存在的. .函數(shù)函數(shù)第43頁/共50頁 )()(lim),(Res22222bzazzaizaizRaiz)(2222abaia ,)(2