1、會計學1ch格林公式及其應用格林公式及其應用 設D為平面區域, 如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區域, 否則稱為復連通區域.復連通區域單連通區域DD第1頁/共41頁定理1 第2頁/共41頁連連成成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊界曲線L的正向 當觀察者沿邊界行走時,區域D總在他的左邊。2LD1L2L1LD第3頁/共41頁),()(),(21bxaxyxyxD 證明 (1),()(),(21dycyxyyxD yxoabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 第4頁/共41頁dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdc

2、dyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 第5頁/共41頁(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ第6頁/共41頁 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來來說說為為正正方

3、方向向對對DLLL第7頁/共41頁GD3L2LFCE1LAB(3)由(2)知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向對對DLLL第8頁/共41頁第9頁/共41頁xyoL（1） 簡化曲線積分ABDBOABOAL 第10頁/共41頁 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于214ABDxdydxdyr 第11頁/共41頁（2） 簡化二重積分xyoAB11D第12頁/共41頁 BOABOAyDydyxedxdye22 10

4、22dxxedyxexOAy).1(211 e第13頁/共41頁 OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（例3 計算 ,dy)y(sinedx)ycos(eIxLx11 解 可直接化為對x的定積分，但計算量較大。這里用格林公式。 xyLsin: 從到)0 , 0(O)0 ,( A（01 dxdyysine)y(sinexDx第14頁/共41頁 0sin00sin xdxedyedxxxx.2121| )cos(sin20 exxex第15頁/共41頁解第16頁/共41頁L( (1 1) ) 當當D )0, 0(時時, ,1DrlxyoLD Lyxydxxdy022yxo第17頁/共41頁

5、lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy2 (注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20第18頁/共41頁還可將結論更一般化（略） 小結（1）L是D的邊界，在D上yPxQ 簡單，而且 DdxdyyPxQ)(易于計算時，可應用格林公式計算 OxyL1L2L3L注 此例中所作的輔助圓l是否一定要是D內的圓周（即r充分小）？ 第19頁/共41頁（2）L不封閉時，采取“補線”的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(l 要求右端的二重積分及曲線積分易于計算。 選用直線段、折線、圓、半圓、橢圓、拋物線等。 l（3）如在D

6、上P、Q一階偏導連續，且處處有 ,yPxQ 則;0 L 如 D 內除點外均有 則 ,yPxQ lL),(000yxM第20頁/共41頁 其中是包圍點的與同向的光滑的簡單閉曲線，特別地是以為中心的圓、橢圓等（半徑或長短半軸大小不限，只要內部沒有別的“壞點”） 例5 計算 逆時針方向。 ,yx:C,yxydxxdyIC142222 ,yxxQ,yxyP222244 解,)yx(yx)yx(xx)yx(xQ222222222244484 Lll),(00yx),(00yx第21頁/共41頁,)4(4)4(2)4(2222222222yxyxyxyyyxyP 除原點外處處有 QPxy 2DLLcdxd

7、yydxxdy 取,逆時針方向，則14:22 yxL第22頁/共41頁 LDydxxdydxdy2（3） 計算平面面積第23頁/共41頁解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第24頁/共41頁 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 20146aaxdxa )0 ,(aANM第25頁/共41頁Gyxo 1LQdyPdx 2LQdyPdx1L2LBA如果在區域G內有 二、平面上曲線積分與路徑無關的條件二、平面上曲線積分與路徑無關的條件第26頁/共41頁具有一階連續偏導數,則以下四個條件等價:定理8.2.2 設 是單連通域

8、,)y,x(Q),y,x(P在 內函數DD(1) 沿 中任意光滑閉曲線 ,有0ddLP xQ y 。DL(2) 對 中任一分段光滑曲線 , 曲線積分LyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. DL(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d 在 內是某一函數的全微分,即 D(4) 在 內每一點都有PQyx 。D第27頁/共41頁說明: 積分與路徑無關時, 曲線積分可記為 設21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D內任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線則(根據條件(1)BAyQ

9、xPddAByQxPdd第28頁/共41頁在D內取定點),(00yxA因曲線積分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 則),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可證yu ),(yxQ 因此有yQxPuddd 和任一點,與路徑無關,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數 ),(yxB第29頁/共41頁設存在函數 使得),(yxuyQxPuddd 則)y,x(Qyu),y,x(Pxu 在D內具有連續的偏導數,xyuyxu 22所以所以從

10、而在D內每一點都有xQyP xyuxQ,yxuyP 22QP,第30頁/共41頁設L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上上因此在因此在D xQyP 利用格林公式 , 得ydx)xQxQ(ydQxdPLDd DDL0 所圍區域為證畢第31頁/共41頁yx根據定理2,若在某區域內,xQyP 則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,Dyx ),(00及動點,),(Dyx yd )y,x(Qxd )y,x(P)y,x(u)y,x()y,x( 00 xxxd )y,x(P00或 yyyd )y,x(Q)y,x(u000y0 x則原函數為 yyyd )y,x(Q0 xxxd)y,x(P0

11、若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;3)可用積分法求在域D內的原函數:QdyPdxdu 第32頁/共41頁yAxoL,d)(d)3(22yxyxyxL 其中L 為上半24xxy 從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L所圍原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圓周區域為D , 則3648 第33頁/共41頁yyxxyxdd22 是某個函數的全微分,并求出這個函數. 證 設,22yxQyxP 則xQyxyP 2由定理2 可知

12、, 存在函數 u (x , y)，使yyxxyxuddd22 ),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 第34頁/共41頁22ddyxxyyx 在右半平面內存在原函數 , 并求出它. 證 令2222,yxxQyxyP 則)0()(22222 xyQyxxyxP由定理 2 可知存在原函數 ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx)0( x第35頁/共41頁oxy)0 ,

13、(x)0 , 1(),(yx ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或), 1 (y)0(arctan xxy第36頁/共41頁1 格林公式 LyQxPdd2 等價條件在 D 內與路徑無關.yPxQ 在 D 內有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd對 D 內任意閉曲線L有0dd LyQxP在 D 內有設P,Q在單連通域D內具有一階連續偏導數, 則有第37頁/共41頁1 設,4:,1:222412 yxlyxL且都取正向, 問下列計算是否正確 ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2Ll D d5415 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyyx22dd lxyyxdd41 D d241 2 提示:時022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(第38頁/共41頁, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求提示 ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yy