1、會計學1chapter多元函數微分學小結多元函數微分學小結第一部分第一部分: 內容小結內容小結 一、極限，連續，偏導數，全微分一、極限，連續，偏導數，全微分 1. 二元函數的定義二元函數的定義),(yxfz 2. 二元函數的極限二元函數的極限 Ayxfyyxx ),(lim003. 二元函數的連續性二元函數的連續性 (1)定義定義 ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx (2)性質性質 連續函數的和差積商是連續函數連續函數的和差積商是連續函數. 連續函數的復合函數是連續函數連續函數的復合函數是連續函數. 一切多元初等函數在其定義區域內連續一切多元初等函數在其定義區域內連續.

2、 第1頁/共52頁(3)閉區域上連續函數的性質閉區域上連續函數的性質 最大最小值定理最大最小值定理介值定理介值定理 4. 偏導數偏導數 (1) 一階偏導數一階偏導數 定義定義: xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 ),(),(lim0000),(000 xxyxfyxfxfxxyx ),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy 計算方法計算方法: 求偏導時求偏導時,只須對所討論的變量只須對所討論的變量求導求導,而把其余的變量看作常數而把其余的變量看作常數.第2頁/共52頁幾何意義幾何意義:).,(tan),(tanyxfyxfyx (2) 高

3、階偏導數高階偏導數 xzxxzyxfyxfxxxx22),(),( xzyyxzyxfyxfxyxy2),(),( yzxxyzyxfyxfyxyx2),(),( yzyyzyxfyxfyyyy22),(),(第3頁/共52頁5. 全微分全微分 ).,(),( 0000yxfyyxxfz 全增量為全增量為. dyyzdxxzdz 全微分為全微分為6. 極限存在、連續、可偏導、可微分的關系極限存在、連續、可偏導、可微分的關系 函數可微函數可微函數連續函數連續偏導數連續偏導數連續函數可導函數可導第4頁/共52頁二、微分法二、微分法1、全導數公式、全導數公式則則設設),(),(),(xvxuvufz

4、 dxdvvfdxduufvuffdxdz 212、偏導數公式、偏導數公式則則設設),(),(),(yxvyxuvufz yvvzyuuzvuffyzxvvzxuuzvuffxzyyxx 2121第5頁/共52頁3、一階全微分形式不變性、一階全微分形式不變性則則設設),(),(),(yxvyxuvufz dvvfduufdz 4、隱函數的微分法、隱函數的微分法.,0 ;,0 , 0),( )1(xyxyxyFFdydxFFFdxdyFyxF 時時當當時時當當設設., ,0, 0),( )2(zyzxzFFyzFFxzFzyxF 時時當當設設第6頁/共52頁(3) 方程組情形方程組情形 0),(

5、0),( )1zyxGzyxF確定了兩個一元函數確定了兩個一元函數. 0),(0),( )2vuyxGvuyxF確定了兩個二元函數確定了兩個二元函數. ),(),(),( )3vuzzvuyyvuxx確定了一個以確定了一個以u,v為中間變量為中間變量x,y為自變量的二元函數為自變量的二元函數.第7頁/共52頁三、微分學的應用三、微分學的應用1. 幾何上的應用幾何上的應用 的的切切線線和和法法平平面面為為參參數數空空間間曲曲線線)( )()()()1(ttztytx )(),(),(:000tttT 切向量為切向量為)()()(:000000tzztyytxx 切線方程為切線方程為. 0)()(

6、)(000000 zztyytxxt 法平面方程為法平面方程為第8頁/共52頁的的切切線線和和法法平平面面空空間間曲曲線線 0),(0),()2(zyxGzyxF切向量為切向量為:, 1),(),(000000zyxzyxdxdzdxdyT , 1 ,),(),(000000zyxzyxdydzdydxT 1 ,),(),(000000zyxzyxdzdydzdxT 第9頁/共52頁 0),()3(的的切切平平面面與與法法線線曲曲面面 zyxF),(000,:zyxzyxFFFn 法向量為法向量為0)()()(,(000000 zzFyyFxxzyxFzyx切平面為切平面為),(),(),(0

7、00000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法線為法線為的的切切平平面面與與法法線線曲曲面面),()4(yxfz , 0)()()(:000 zzyyfxxfyx切平面切平面.1),(),(:0000000 zzyxfyyyxfxxyx法線法線第10頁/共52頁2. 方向導數與梯度方向導數與梯度 ,sincos),()1( yxfflyxf . 的轉角的轉角軸到方向軸到方向為為其中其中lx coscoscos),( zfyfxflzyxf ),(),()2(yfxfjyfixfyxgradf ),(),(zfyfxfkzfjyfixfzyxgradf ),cos(| ),

8、(|),()3(egradfyxgradflyxf 第11頁/共52頁3. 極值極值 (1) 無條件極值無條件極值 極值存在的必要條件極值存在的必要條件. 0),(, 0),(, ),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx則則極值極值取得取得且在且在具有偏導數具有偏導數在在設設極值存在的充分條件極值存在的充分條件, ,),(),(0偏導數偏導數且有一階及二階連續且有一階及二階連續內連續內連續在在設設 PUyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令,0)1( 2有極值有

9、極值時時當當則則 BAC;0,0時有極小值時有極小值時有極大值時有極大值 AA第12頁/共52頁;,0)2(2沒有極值沒有極值時時當當 BAC.,0)3(2需另作討論需另作討論為可能極值為可能極值時時當當 BAC求求函函數數),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟： 第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數數解解，得得駐駐點點. ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第第三三步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx， 求出二階偏導數的值求出二階偏導數的值 A、B、C. 第四步第四步 定出定出2BAC 的符號，

10、再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值. 第13頁/共52頁(2) 條件極值條件極值 降元法（化為無條件極值）降元法（化為無條件極值）升元法（升元法（Lagrange乘數法）乘數法） ,0),(),( 條件下的可能極值點條件下的可能極值點在在要找要找 yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxF 先構造拉格朗日函數先構造拉格朗日函數 0),(00yxFfFfFyyyxxx 令令解出解出(x,y)即為可能極值點即為可能極值點.判斷是否為極值點通判斷是否為極值點通常由實際問題來定常由實際問題來定. :0),(, 0),(),( 下的可能極值點下的可能極值點在在求求 yxyxyxfu ).,

11、(),(),(),( yxyxyxfyxF 構造函數構造函數第14頁/共52頁(3) 最大最小值最大最小值 1) 閉區域上的連續函數一定有最大值和最小值閉區域上的連續函數一定有最大值和最小值: 將函數將函數 f (x,y) 在在D內的所有駐點處的函數值與在內的所有駐點處的函數值與在D的邊界上的函數值相互比較，其中最大的就是最的邊界上的函數值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值大值，最小的就是最小值. 2) 實際問題則根據問題的實際意義來判斷實際問題則根據問題的實際意義來判斷, 若問題若問題 存在最值，且只有唯一一個駐點，則該駐點必為存在最值，且只有唯一一個駐點，則該駐點必為 所求的

12、最值點所求的最值點. 第15頁/共52頁第二部分第二部分: 題型小結題型小結一、二元函數的定義域，函數值，極限一、二元函數的定義域，函數值，極限1、求定義域與函數關系、求定義域與函數關系 .,)3arcsin(),( . 1222并作圖并作圖的定義域的定義域求求yxyxyxfex Solution. 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 第16頁/共52頁 ).,(,),( . 222yxfyxyxyxfex求求設設 Solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2

13、xyyyxf 2、求二元函數極限常用的方法、求二元函數極限常用的方法(1)用定義用定義; (2)利用極限性質利用極限性質計算二元函數的極限，應用一元函數計算極限的計算二元函數的極限，應用一元函數計算極限的一些法則與方法一些法則與方法. 對于未定型，不再有對于未定型，不再有LHospital法則，須化成確定型法則，須化成確定型. 第17頁/共52頁).1cos1sin(lim . 300 xyyxexyx 計算計算Solution. xyyx1cos1sin0 xyyx1cos1sin yx )0, 0( 0yx由夾逼準則得，由夾逼準則得，. 0)1cos1sin(lim00 xyyxyx第18

14、頁/共52頁.)(lim . 4)(22yxyxeyxex 計算計算Solution. )(22)(0yxeyx )(2)(yxeyx tttyxyxyxeteyx 2)(2lim)(limttet2lim 02lim ttet. 0)(lim)(22 yxyxeyx第19頁/共52頁3. 確定極限不存在的方法確定極限不存在的方法 ., ,),(),(000就可斷定此極限不存在就可斷定此極限不存在不同值不同值函數趨于函數趨于時時以不同方式趨于以不同方式趨于當當yxPyxP一般選擇下列極限方式：一般選擇下列極限方式：; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(2kxykxyyx 第20頁/共52

15、頁).,(lim,0 00 )( . 500222222yxfyxyxyxxyx,yfexyx 計算計算設設Solution. ),(lim),(lim00kxxfyxfxxkxy 22220limxkxkxx 21kk 其值隨著其值隨著k的不同而改變的不同而改變.故所求極限不存在故所求極限不存在. 第21頁/共52頁二、連續、可偏導、可微的討論二、連續、可偏導、可微的討論,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),(. 622 yxyxyxxyyxfex 設設?)3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏導數是否存在偏導數是否存在是否連續是否連續處處在在Sol

16、ution. xyyxxy 221sin0)1()0, 0( 0yx),0 , 0(01sinlim22)0, 0(),(fyxxyyx 故函數連續故函數連續.第22頁/共52頁xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0()2(0, 000lim0 xx. 0)0 , 0( yf同理同理故偏導數存在故偏導數存在. yBxAf0 )3(2222)()()()(1sinyxyxyx 2)()(22yx )0, 0( 0 yx故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df第23頁/共52頁三、偏導數的計算三、偏導數的計算).1 ,(,arcsin)1(),( .

17、 7xfyxyxyxfexx求求設設 Solution.,)1 ,(xxf . 1)1 ,( xfx., . 8zyxzyuuuxuex求求設設 Solution. xu,1 zyxzy yuyzyzyxx)(ln ,ln1xxzzy zuzzyzyxx)(ln .ln2xxzyzy 第24頁/共52頁.,. 9zuyuxuxuexzy 求求設設Solution. yu xxzylnyzy )( 1ln zyzyxxz yu xxzylnzzy )( yyxxzyzlnln .,)(),(.10102yFxFdxedssfyxFexxxyy 求求設設Solution.yxyfxF )()()(

18、yfxxyfyF 第25頁/共52頁.,),sin(.11xzfxyyefzexx 求求可微可微設設Solution. 221sin),(xyyeffxzx.sin221xyfyefx .),()(1.122yxzyxyxyfxzex 求求設設 Solution.),()(1)(12yxyyxyfxxyfxxz )(1)(1)(122xyfxxyxyfxxxyfxyxz )()(yxyyx )(fy 第26頁/共52頁.,),(.132zxuxufxyzzyxfuex 求求具有二階連續偏導具有二階連續偏導設設Solution. yzffxu1,2121fyzf 注意注意),(11xyzzyxf

19、f ),(22xyzzyxff zxu 2)(222121211xyffyzf yxyff 22221211)(f yf zxyfzxyf xyff1,12112f y xyffyz1,2221第27頁/共52頁.,),(.142zxuxufxyzzyxfuex 求求具有二階連續導數具有二階連續導數設設Solution.)1(yzfxu 注意注意)(xyzzyxff yfyzxyfzxu )1)(1(2 第28頁/共52頁.,),(.1522yzyzyzxex 求求可微可微其中其中設設 法法1: ),(),(22yzyzxzyxF 設設,)(2yzyzyFy ,212 zyyzFz.2 zyz

20、FFyzzy法法2: ,22yzyyzyyzz .2 zyzyz第29頁/共52頁法法1: .,3.16233yxzaxyzxex 求求設設,3),(33axyzxzyxF 設設,332yzxFx ,3xzFy ,3xyFz ,2xzyxxyyzxxz ,yzxyxzyz xzyxyyxz2yzxyx 12)(12yzxyx .22xyxyz 法法2: 兩邊對兩邊對x,y求偏導求偏導,并得到對并得到對x,y的二階混合偏導的二階混合偏導.法法3: 化成化成z關于關于x,y的顯函數的顯函數,再求偏導再求偏導.第30頁/共52頁. ,0,),(.17xyzyzyxzxxzyyzxFyxzzex 證明

21、證明所確定所確定由由函數函數 xzyyzxFzyx,),(令令 2212211,FxzFxzFFx 2122211,FFyzyzFFy Method1.第31頁/共52頁 21211111,FxFyxyFFz ,)()(21122FyFxxFxFzyxzzx )()(21221FyFxyFyFzxyzzy 代入所證等式的左邊即可得結論代入所證等式的左邊即可得結論.第32頁/共52頁Method2.0, xzyyzxF等式兩邊對等式兩邊對x求偏導得：求偏導得： 0111,221 xzxzxxzyFF 0)1()11(221 xzxzxFxzyF即即 xz 0)11()1(221 yzxFyzyz

22、yF同理可得同理可得yz 代入所證等式左邊即可得結論成立代入所證等式左邊即可得結論成立.第33頁/共52頁.,),(.18zyyxxzxyzzyxfzex 求求設設solution.,),(),(zxyzzyxfzyxF 令令,21yzffFx 則則,21xzffFy , 121 xyffFzzxFFxz 12121 xyffyzff;12121xyffyzff xyFFyx ;2121yzffxzff yzFFzy 21211xzffxyff .12121xzffxyff 第34頁/共52頁.,)()(),(.19yzxzdttPuuufzexxy 求求設設 solution.,)()(),

23、(udttPuuyxFxy 設設),(xPFx ),(yPFy , 1 uF,1)( xPxu,1)( yPyu,1)( xPfxufxz,1)( yPfyufyz第35頁/共52頁.,10.20yvxvyuxuxvyuyvxuex 求求設設 Solution.方程組兩邊對方程組兩邊對x求導得求導得 00 xvxvxuyxvyxuxu ,22yxyvxuxu 從從而而 22yxxvyuxv ., yvyuy 求求導導可可得得同同理理方方程程組組兩兩邊邊對對 第36頁/共52頁vuxudxdv ,xxu xudxddxud222xuxdxdu .22xu .,10.2122222dxuddxdv

24、dxduvuxvuxex求求設設 Solution. 022201dxdvvdxduuxdxdvdxduvuxvdxdu ,xu 第37頁/共52頁., 0, 0 ,),(.22dxduxyezezyxfuexzxy求求且且有有連連續續偏偏導導數數設設 Solution. 求導可得求導可得兩邊對兩邊對由由xxyezezyxfuzxy 00),( dxdzfdxdyffdxdu3210)( dxdzdxdyxyexy0)( dxdyxydxdzez dxdu第38頁/共52頁四、全微分的計算四、全微分的計算.),(.23dzxyyxfzex求求設設 Solution.),(xyyxdfdz )(

25、)(21xydfyxdf )()(21ydxxdyfdydxf dyfxfdxf yf)()(2121 第39頁/共52頁五、微分學的應用題五、微分學的應用題. )32 , 2()2 , 1()2 , 1(.2422的方向的方向導數的方向的方向導數到到處沿從處沿從在點在點求求 yxzexSolution., 2|2)2 , 1(1 xxxz4|2)2 , 1(2 yyyz3, 1 l方向方向,21311cos 23313sin . 321sin)2 , 1(cos)2 , 1( yxzzlz第40頁/共52頁處處的的切切線線在在求求曲曲線線)1 , 2, 1(06.25222 zyxzyxex

26、Solution. 010222zyz zyyx代代入入得得將將)1 , 2, 1( 01021zyzy1, 0 zy從而從而1, 0 , 1 T,110211 zyx切切線線方方程程為為 .0 zx法法平平面面方方程程為為 及法平面方程及法平面方程.第41頁/共52頁ex26. 求求曲曲面面32 xyezz在在點點)0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程. Solution., 32),( xyezzyxFz令令, 42)0, 2, 1()0, 2, 1( yFx, 22)0, 2, 1()0, 2, 1( xFy, 01)0, 2, 1()0, 2, 1( zzeF切

27、平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx),0 , 2 , 4( n第42頁/共52頁ex27. 求求曲曲面面2132222 zyx上上平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. Solution.,),(000為曲面上的切點為曲面上的切點設設zyx依題意，切平面平行于已知平面，得依題意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx (*) 2000zyx (*) 2132202020 zyx則則6 ,4 ,2 000zyxn 又切平面的法向量為又切平面的法向量為, 1 (*)(*)0 x解得解得由由

28、, 200 zy第43頁/共52頁所求切點為所求切點為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx.2164 zyx切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程第44頁/共52頁.1323),(.282233的極值的極值求求 xyyxyxfexSolution.1, 02, 0 yyxx)1, 2(),0 , 2(),1, 0(),0 , 0( 駐點有駐點有, 0 xyfB36 yfCyy, 3, 0, 06)0 , 0()3( CBA處處在在, 3, 0, 06)1, 0( CBA處處在在得得由由 033063)1(22yyfxxfyx, 66)2( xfAxx;, 0182有極大值有極大