1、通過培訓算法，我想把一章常見的題型歸納起來也應當是一種算法，學生了解后便可以在思路上有據可依了。 不知總結的恰當不恰當，希望老師專家們批評指正。圓錐曲線中的八種常見題型解析幾何是用代數的知識解決幾何圖形的自然學科，是用代數中方程與函數的思想通過建立坐標系把方程的解和曲線上的點的坐標聯系起來，其解題步驟是建立直線方程和圓錐曲線方程( (消去X或y) )的方程2ax bx 0。當 a=0a=0 時，方程為一次方程有一解。直線與拋物線有一解，對雙曲線來說，直線與漸近線平行。當 a=0a=0 時，方程是二次方程，再求判別式，通過 看方程解的個數，從而判定直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理是聯系點的坐標

2、和方程解的橋梁。解析幾何有以下常見八種類型題。一用定義和幾何性質解決圓錐曲線本身問題。用回到定義的方法解決數學中的疑難問題，歷來被數學家推崇，進一步加強對定義的研究，并在平時解題實踐中加以應用，對于理解定義，發展思維，提高解題能力是非常有必要的2X例 1已知橢圓a=1 ( ab0)，ZF1PF2的外角平分線pL,過 Fi作垂線FIM，垂足為M,求 M 的軌跡方程。解析：延長 FiM 交 F2P 的延長線于點 N，pL為.F1PF2的外角平分線，則丨 NP| = | PF 丨二 MO 為JNF1F211的中位線,| M0| = | F2N | =一( I NP | + | PFz| )2211=

3、-(| PF | + | PF2|)=-2a=a22-M的軌跡為以原點為圓心a為半徑的圓，設 M 的坐標為(x, y)，得 M 點的軌跡方程為：x2y2=a2。二直線與圓錐曲線相交時的中點弦問題。中點弦問題主要是求中點弦所在直線的方程問題和求弦中點的軌跡問題。解決方法有兩種(1 1)根與系數的關系法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數的關系和中點坐 標公式建立等式求解。(2 2) “點差法”：若直線 L L 與圓錐曲線 C C 有兩個交點 A A 和 B B, 般地首先設出交點坐標A A(x-, y1), B(x2, y2)，代入曲線方程，通過作差，構造出x

4、-,x2, y,y2, xx2, yy2，從而建立 了中點坐標和斜率的關系。例 2如圖，線段 AB 的兩個端點 A,B 分別在 x 軸，y 軸上滑動,AB=5,點 M 是線段 AB 上一55為半徑的圓；當 -1 時，方2程表示橢圓。圓;一52j）,（o,5d）為焦點，長軸長為 如的橢圓。1“1 r122 2當=-時，曲線方程為 -1。設直線 L 與曲線交于C（x1, y1）, D（x2,y2）,則3942+ h=1川iMIIMld)/、94(1)-(2)得(洛X2XX1+X2)十( y2)(% + y) _0229管弋刊川川)川川1(2)坐4 _飛=2,%*2=2,.X2-X19(y1y2)x

5、? -洛洛所以所求直線方程為4x，9y -13 = 0。三以弦為直徑的圓問題。點，且AMV.MBC0）。（1） 求點 M 的軌跡 E 的方程，并指明軌跡E 是何種曲線。（-）2當=時，過點 P（1,1）的直線與軌跡E 交于 C,D 兩點,3且 P 為弦 CD 的中點，求直線 CD 的方程。解:(1 )設M(x, y),A(a,0),B(0, b),AM = (x - a, y),MB = (_x,b - y),/ AMMB,(xa, y)=(；x, b；y),a = (1，)xx _a - - x“1 +九TAB=5”；ay= b- y byb2= 25彳丄a2_ 2 21+丸22X.(1)x

6、() y =25. 5,()2( )21 1 -2y=1。當 =1 時，方程化為x2y2號，它表示以原點為圓心,當 0：1 時，方程表-5 1 - 25 1 _ 2(-,0),(L10,0）為焦點，長軸長為廠的橢當丸1 時，方程表示以（0,(2)2Xia99此類問題先聯立方程組，再消去x（或y），得到關于y（或x）的方程，利用韋達定理和垂直等條件找到答案。例 3.直線 L：y = kx+l 與雙曲線的右支交于不同的兩點 A、E(1)求實數 k 的取值范圍(2)是否存在實數 k,使得以線段 AE 為直徑的圓經過雙曲線 C的右焦點 F?若存在求出 k 的值；若不存在，說明理由解：(1)將直線丨的方

7、程y = kx 1代入雙曲線 C 的方程2x2- y2= 1后，整理得(k2-2)x22kx 2=0依題意，直線l與雙曲線 C 的右支交于不同兩點，得解得k的取值范圍為- 2：k :：: -.2。2k門20k -222-2k2-k22k2-2假設存在實數k,使得以線段 AB 為直徑的圓經過雙曲線 C 的右焦點 F( c,0),則由 FA! FB得 g-c)(x2-c)%y2= 0。既(% -c)(x2-c)(kx1)(kx21) = 0。整理得(k21)%x21 (k -c)(% x2) c21 = 0。. 1a把式及c 6代入式化簡得5k2 2、6k -6 = 0。2解得k - -6*6或k

8、 =6f6(-2,2)(舍去)。556 + 76可知k使得以線段 AB 為直徑的圓經過雙曲線 C 的右焦點。5四共線問題。此類問題大膽設端點坐標，借助曲線方程構造方程組，利用韋達定理與方程聯系在一起，達到消去參數的目的。.-：=(2k)2-8(k2 -2)0,(2 )設A、B 兩點的坐標分別為(,%)、(x2,y2)，則由得X1X2x1x2例 4已知圓 C 的方程為(X，1)2 y2=8，定點 A(1,0),M 為圓上一動點，點 P 在 AM 上，點N 在 CM 上，且滿足AM =2AP,NP AM=0,點 N 的軌跡為曲線 E.（1）求曲線 E 的方程。（2）若過定點 F（0,2）的直線交曲

9、線 E 于不同的兩點 GH（點G 在 FH 之間）FG =.，求，的取值范圍。解：（1）因為AM2AP,NP AM =0，所以 NP 是 AM 的垂直平分線，.NA=NM=NC|+|MN| =2j22=|CA二動點 N 的軌跡是以 C(-1, 0)，A(1,0)為焦點2的橢圓，丁心，曲線E的方程為筲。（2）當直線 GH 的斜率存在時，設 G（Xi,yi）,H（X2,y2），直線 GH 的方程為y=kX2，2X2- V1,r2222- 232得(2k1)x 8kx 6=0，A. =64k -24(2k1)0= k2y = kx2乜2= 廠坐2廠(2k21)(1 ) (2 k21),1616日n

10、,、丄1丄c 1 6 d c4。即42323扎33且滿足二NC + NAX1X2J2k 1XfX， 丁.2k 1(Xi,yJ Y(X2, y2-2)XX?= (1 _，)x2n2兇X2(X*2)2 _ X1X2(1 一2c 1)216丸32+32k22k230： ： ： :。當直線 GH 的斜率不存在時,1綜上1。3五.直線與圓錐曲線位置過定點問題。此類問題常將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y（或消X）得到關于X（或y）的一元二次方程形式，然后考慮二次 項系數是否為 0 0 及厶的情況來解決問題。例 5在平面直角坐標系過定點Xoy中,C（ 0,p）作直線與拋物線2 _ X= 2 py( p

11、0)相交于 A、B 兩點。(1)(2)若點N是點C關于坐標原點 是否存在垂直于 y 軸的直線O 的對稱點，求L,使得 L 被以 AC 為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出 L 的方程；若不存在，說明理由。a_y1p2.2.212212p=OP OH =-(y1+p) (2a - p) = (a-一也 +a( p - a)342二PQ=(2 PH )2=4(a R)% +a(p a)。令a-衛=0，得a=，此時PQ = p為2 2 2定值，故滿足條件的直線 L 存在，其方程為y =p，即拋物線的通徑所在的直線。2六.直線與圓錐曲線相交弦的線段成比例問題。此類問題可將線段比例轉化成點的坐標成

12、比例，再借助方程求解。例 6已知：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為.5，(1) 求漸近線的方程。曲線的方程。解：(1)依題意知 N(0, -p)，可設 A(,y1), B(x2,y2)，直線 AB 的方程為y = kx十p，與22x =2py(p 0)聯立得 x二2pv22消去 y 得x2-2pkx-2p2=0。由根與系數的關系得y = kx p21X+ X2= 2 pk, XX?= 2 p。于是S出BN= SBCN+ S出CN= 2 p X1 X2=p Xi X2=p . (xX2)2-4X1X2二p、4p2k28 p2= 2 p2. k22，當k=0時，(SABN)min=2 2

13、 p。(2)假設滿足條件的直線L 存在，其方程為 y =a，AC 的中點為O，L 與以 AC 為直徑的圓相交于點 PQ ， PQ 的中點為H， 貝U今寧)，3=慶二2 X12(如_ P)2=1、xj(2)過雙曲線上點 P 的直線分別交漸近線于R,F2兩點，且pp = 2pp2，SOPP2=9，求雙解：(1 )由題意設雙曲線的方程方程為:2X2a2 _計，由離心率為5知:-=5又c2= a2-2漸近線方程為:aby - - - x，解得y _ _2x。a設雙曲線方程為：x22yC = 0)()，/yox=：，則tan：=2,44七.求參變數范圍問題。此類問題主要考查直線與圓錐曲線的關系，考察綜合

14、運用數學知識分析與解決問題的能力，一般是列岀一個等式，一個不等式，利用等式關系代入不等式解岀范圍。例 7已知:a = (x,0),b = (1,y),(a喘)_( ,3b)(1) 求點 P(x, y)的軌跡 C 方程。(2) 若直線 L：y=kx+m(km式0)與曲線 C 交于 A、B 兩點，D(0,-1)且有AD = BD試求m的取值范圍。解: (1)；、/3b=(x,0)+.3(1, y)=(x、.3,、3y)a - .3b=(x,0)八、3(1, y)=(x3, f 3y)2(x 3) (x -一3)、.3y(-3)=0,整理得-y2=i.32-y2= 12 22易求tan 2一31T

15、i1sin 2：= op1op2tan 2 (x1x2y1y2)229又叮yi2xi,y22x?，S書PP2=2xix2=9，則xix2 = ?。-_ 1 TspP2=2opitan 2：(也可用Sopp2=丄J5xiJ5X2 sin 2。，又易求得sin 2 =-25SOpp?=2 xE =9，則9mx2)。2Xi又.PiP=2pp2，(xM,y yi) =2(X2x, y2y)P(2X23丫)。又由于P 點位于雙曲線上，將P 點代入(“)中得=4, 雙曲線的方程為21。416x2(I ,3：)_ (：一,3b).4 b_:3-(2) 考慮方程組3消去y得(1-3k2)x2-6kmx-3m2

16、-3 = 0，顯然y = kx m(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2-3k21) 0,設x1,x2為方程的兩根，則4聯立：2 2m -3k1012得m4，又 4m-1,即卩m a，m .：0或m 4.4八.圓錐曲線上的點到定點的距離問題。此類問題通過圖形很難解決，因此可轉化為函數知識解決2例 8拋物線方程y =2px(p 0)上任意一點 p 到對稱軸上定點 A(a,0)的距離最小是頂點, 求 a 的取值范圍。解：設p(x, y)是拋物線上的任意一點，則PA = J(x -a)2+ y2= Jx2+2( p _ a) + a2x _ 0 .令t = x22(p -a)x a2，要想PA的最小值在頂點處取得，只需t 在0,十上單調遞增，即 a-p_0,即 a_p。例 9已知中心在原點焦點在 x 軸上的橢圓 e=3，M( 0,-)到橢圓的最大距離為 ,7，求22橢圓方程。2 2xy解：由題意設橢圓方程：22=1( b0)，設橢圓上任意一點的坐標為p(x,y)，則4b2b2222y222x =4b (1-詁)=4b -4y .x,x2二6km2,設 AB兩點