1、1 1大學(xué)物理下冊(cè)大學(xué)物理下冊(cè)目錄：目錄：第六篇第六篇 近代物理基礎(chǔ)：近代物理基礎(chǔ)：(2)(2) 第十五章第十五章 狹義相對(duì)論基礎(chǔ)狹義相對(duì)論基礎(chǔ) 第十六章第十六章 從經(jīng)典物理到量子物理從經(jīng)典物理到量子物理 第十七章第十七章 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ)第四篇第四篇 振動(dòng)和波動(dòng)：振動(dòng)和波動(dòng)：(12)(12) 第十一章第十一章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)(5)(5) 第十二章第十二章 機(jī)械波機(jī)械波(7)(7)第二篇第二篇 熱學(xué)：熱學(xué)：(14)(14) 第四章第四章 氣體動(dòng)理論（氣體動(dòng)理論（6 6） 第五章第五章 熱力學(xué)（熱力學(xué)（8）第五篇第五篇 光學(xué)：光學(xué)：(18)(18) 第十三章第十三章 幾何光學(xué)幾何光學(xué)

2、第十四章第十四章 波動(dòng)光學(xué)波動(dòng)光學(xué)(684)(684)2要要 求求nAttendancenHomeworkn蔡冬梅ndm_n辦公室：逸夫樓9013第四篇 振動(dòng)和波動(dòng)4振動(dòng)與波無(wú)所不在振動(dòng)與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的最基本的運(yùn)動(dòng)形式。盡管在各學(xué)科里振動(dòng)與波的具體內(nèi)容不同，但在形式上卻有很大的相似性。5 5 一個(gè)物理量（如位置、電量、電流、電壓、溫度一個(gè)物理量（如位置、電量、電流、電壓、溫度）在某一確定值附近隨時(shí)間作周期性的變化，則該物理量的在某一確定值附近隨時(shí)間作周期性的變化，則該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱為振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)形式稱為振動(dòng)。位移位移x 隨時(shí)間隨時(shí)間t 的往復(fù)變化的往復(fù)變

3、化電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電磁量隨電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電磁量隨t的往復(fù)變化的往復(fù)變化如晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)如晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)振動(dòng)振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)共振共振阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)( (） 無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)6 67 7第11章 機(jī)械振動(dòng) 物體離開(kāi)平衡位置的位移按余弦函數(shù)物體離開(kāi)平衡位置的位移按余弦函數(shù)(或正弦函數(shù)或正弦函數(shù))的規(guī)的規(guī)律隨時(shí)間變化，這樣的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)稱諧振動(dòng)。律隨時(shí)間變化，這樣的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)稱諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng).簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)

4、復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解振動(dòng)的理論建立在振動(dòng)的理論建立在簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基礎(chǔ)上。的基礎(chǔ)上。8 8第11章 機(jī)械振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征1 1 用動(dòng)力學(xué)方程定義用動(dòng)力學(xué)方程定義kmx0 xkx22txmkxdd022xmktxddmk20222xtxdd2 2 用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程定義用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程定義0cosxAt0sinxAt或或二者關(guān)系？二者關(guān)系？振動(dòng)方程振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義9 9第11章 機(jī)械振動(dòng) 說(shuō)明說(shuō)明 （1 1） 上述方程對(duì)于非機(jī)械振動(dòng)也成立。上述方程對(duì)于非機(jī)械振動(dòng)也成立。例例 電磁震蕩電路電磁震蕩電路CLtiLCqddq0122qLCtqddtqidd（2

5、 2） 從運(yùn)動(dòng)學(xué)方程從運(yùn)動(dòng)學(xué)方程0cosxAt0sinAt 20cosaAt （3 3） 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)等幅性等幅性周期性周期性)()(Ttxtx物體所受的力與位移成正比而反向物體所受的力與位移成正比而反向0cos2At20cosAt1010第11章 機(jī)械振動(dòng)1. x 位移位移二、二、 振動(dòng)參量振動(dòng)參量0cosxAt廣義上，指振動(dòng)的物理量廣義上，指振動(dòng)的物理量2. A 振幅振幅最大位移，恒為正，表征系統(tǒng)的能量最大位移，恒為正，表征系統(tǒng)的能量0cost1xA振動(dòng)的強(qiáng)弱振動(dòng)的強(qiáng)弱3. T 周期周期物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值 A，由初始條件，由

6、初始條件決定，描述振動(dòng)的空間范圍。決定，描述振動(dòng)的空間范圍。振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)一次所需要的時(shí)間振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)一次所需要的時(shí)間,描述振動(dòng)的快慢描述振動(dòng)的快慢.00cos ()cos()AtTAt2T2T1T物體在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生完全振動(dòng)的次數(shù)物體在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生完全振動(dòng)的次數(shù)振動(dòng)的頻率振動(dòng)的頻率1111第11章 機(jī)械振動(dòng)固有圓頻率固有圓頻率、固有周期和固有頻率、固有周期和固有頻率 T 的大小由諧振動(dòng)系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，的大小由諧振動(dòng)系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，反映了系統(tǒng)反映了系統(tǒng)的固有特性的固有特性（1） 數(shù)學(xué)上，相位是一個(gè)角度，數(shù)學(xué)上，相位是一個(gè)角度，物理上，相位是描寫振動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)參量。物理上，相位是描寫振動(dòng)狀態(tài)

7、的一個(gè)參量。km2角頻率（圓頻率）角頻率（圓頻率）.112kTm22mTk2mk4. （ ） t 時(shí)刻的相位（位相）時(shí)刻的相位（位相）0t1212第11章 機(jī)械振動(dòng)（2） 用相位描述振動(dòng)狀態(tài)更能深刻反映物體運(yùn)動(dòng)的用相位描述振動(dòng)狀態(tài)更能深刻反映物體運(yùn)動(dòng)的周期性周期性。（取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇）（取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇） txOA-A = 2 0cos()xAtA0sin()0At xOAA02t0 x A032t0 x A00t（3） 初相，初相，01313第11章 機(jī)械振動(dòng)比較比較a、b兩點(diǎn)：兩點(diǎn)：tabcxOT結(jié)論：結(jié)論：用相位描述物體振動(dòng)，能反映出時(shí)間上的周期性，用相位描述物體振動(dòng)，能反映出時(shí)

8、間上的周期性， 而（而（x，v）則不能。）則不能。位移位移 ，速度，速度 ，相位，相位 .相同相同不同不同不同不同比較比較a、c兩點(diǎn)：兩點(diǎn)：位移位移 ，速度，速度 ，相位，相位 .相同相同相同相同不同不同1414第11章 機(jī)械振動(dòng)相位差相位差1.1.對(duì)于同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)于同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)2010()()tt0cos()xAt12ttt20t10t對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)t1時(shí)刻相位時(shí)刻相位t2時(shí)刻相位時(shí)刻相位相位差相位差相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間1515第11章 機(jī)械振動(dòng)2.對(duì)不同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)不同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1110cos()xAt2220cos(

9、)xAt同方向、同頻率振動(dòng)同方向、同頻率振動(dòng)2010()()tt2010（初相差）（初相差）1. 超前和落后超前和落后 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- 1 0 , 則則 x2 比比 x1 早早 達(dá)到正最達(dá)到正最大大 , 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。利用相位差可比較兩個(gè)振動(dòng)的步調(diào)是否一致利用相位差可比較兩個(gè)振動(dòng)的步調(diào)是否一致1616第11章 機(jī)械振動(dòng)2k兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同(21)kxtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相2. 同相和反相同相和反相兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步

10、調(diào)相反1717第11章 機(jī)械振動(dòng) 由振動(dòng)系統(tǒng)本身決定由振動(dòng)系統(tǒng)本身決定彈簧振子：彈簧振子：km單擺：?jiǎn)螖[：gl三、三、 諧振動(dòng)的描述諧振動(dòng)的描述1. 解析法解析法0cosxAt振動(dòng)三要素：振幅、周期和相位振動(dòng)三要素：振幅、周期和相位0( )cos( )x tAt00cosxA0 sin( )Atv00 sinAv22002Axv1000tg ()xv A， 由初始條件決定由初始條件決定(t=0)01818第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 一彈簧振子（一彈簧振子（m，k），已知），已知,k m2,Acm當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，01,xcm00,試寫出振動(dòng)方程。試寫出振動(dòng)方程。解解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式

11、：0cos()xAt由初始條件：由初始條件：00cosxA00sin0A 03 03振動(dòng)方程：振動(dòng)方程：2cos()3kxtm取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)001, cos2xA01,xcm000sin0, 1919第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 一輕彈簧（一輕彈簧（k），下端掛一重物），下端掛一重物m，用手拉物向下至，用手拉物向下至x處，處，然后無(wú)初速度釋放。試寫出振動(dòng)方程。然后無(wú)初速度釋放。試寫出振動(dòng)方程。解解 原點(diǎn)取在原長(zhǎng)原點(diǎn)取在原長(zhǎng)建立坐標(biāo)建立坐標(biāo) Ox 如圖如圖,Oxx分析小球受力，分析小球受力，mgkx可得：可得：22d xmgkxmdt22d xkxgdtm（不是諧振動(dòng)）（不是

12、諧振動(dòng)）原點(diǎn)取在平衡位置原點(diǎn)取在平衡位置 建立建立 ox軸軸oxx0()k x x202()d xmgk xxmdt220d xkxdtm0cos()xAtx0 x2020第11章 機(jī)械振動(dòng)推論：推論： 若振動(dòng)系統(tǒng)除受彈性力外，還受一恒力作若振動(dòng)系統(tǒng)除受彈性力外，還受一恒力作用，則系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律不變，只是改變了平衡位置，用，則系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律不變，只是改變了平衡位置，而坐標(biāo)原點(diǎn)取在新的平衡位置上。而坐標(biāo)原點(diǎn)取在新的平衡位置上。kmkmkmkm2mTk2121第11章 機(jī)械振動(dòng)規(guī)定規(guī)定AA端點(diǎn)在端點(diǎn)在x軸上的投影式軸上的投影式逆時(shí)針轉(zhuǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)以角速度以角速度 0 t + 0oxt=t時(shí)刻t = 0

13、 AA)cos()(0tAtx諧振動(dòng)諧振動(dòng) 旋轉(zhuǎn)矢量的大小旋轉(zhuǎn)矢量的大小A振幅振幅 旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角速度旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角速度諧振動(dòng)的角頻率諧振動(dòng)的角頻率 旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的夾角旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的夾角相位相位2Tt0cos()xAt2. 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法用勻速圓周運(yùn)動(dòng)用勻速圓周運(yùn)動(dòng) 幾何地描述幾何地描述 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)x2222第11章 機(jī)械振動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)在任意直徑方向的分運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。勻速圓周運(yùn)動(dòng)在任意直徑方向的分運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2323第11章 機(jī)械振動(dòng)（1）矢量端點(diǎn)在矢量端點(diǎn)在x軸上的軸上的投影投影為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的關(guān)系：圓周運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的關(guān)系：t

14、=0時(shí)刻，矢量與時(shí)刻，矢量與x軸的夾角軸的夾角 0 0為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位在任意在任意t時(shí)刻，矢量與時(shí)刻，矢量與x軸的夾角軸的夾角t+ 0為簡(jiǎn)諧振為簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)t時(shí)刻的相位時(shí)刻的相位（2）旋轉(zhuǎn)矢量的旋轉(zhuǎn)矢量的大小大小A是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅（3） 旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)角速度角速度是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率 （4） 旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的夾角夾角 是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位2424第11章 機(jī)械振動(dòng)（1）相位顯示直觀）相位顯示直觀旋轉(zhuǎn)矢量用圖代替了文字的敘述。旋轉(zhuǎn)矢量用圖代替了文字的敘述。旋轉(zhuǎn)矢量法表示的優(yōu)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)矢量法表示的優(yōu)點(diǎn)：

15、0 t + 0oxt=t時(shí)刻t = 0 A0cos()xAtx2525第11章 機(jī)械振動(dòng)由圖看出：速度超前位移由圖看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2（2） 比較相位方便比較相位方便AA2A0020coscos2cosxAtAtaAtv(3) 計(jì)算時(shí)間簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)間簡(jiǎn)便用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函數(shù)的運(yùn)算。用熟悉的圓周運(yùn)動(dòng)代替三角函數(shù)的運(yùn)算。2626第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動(dòng)，從軸上作諧振動(dòng)，從ABOCD，請(qǐng)指出各點(diǎn)，請(qǐng)指出各點(diǎn)時(shí)的相位，并說(shuō)明相應(yīng)的狀態(tài)。時(shí)的相位，并說(shuō)明相應(yīng)的狀態(tài)。OADCBx解解0A3B2O23CD例例 一彈簧振子，已知一彈簧振子，已知A、，

16、試寫出振動(dòng)方程。，試寫出振動(dòng)方程。 開(kāi)始時(shí)物體運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處，開(kāi)始時(shí)物體運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處，(2)開(kāi)始時(shí)物體在開(kāi)始時(shí)物體在A/2處處,向向x正方向運(yùn)動(dòng)，正方向運(yùn)動(dòng)，解解oxA00cos()xAtoxA0535cos()3xAt2727第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作諧振動(dòng)，軸上作諧振動(dòng)，T為已知，問(wèn)：質(zhì)點(diǎn)從為已知，問(wèn)：質(zhì)點(diǎn)從AA/2和從和從A/20所需時(shí)間各為多少？所需時(shí)間各為多少？解解用相位分析問(wèn)題用相位分析問(wèn)題oxA1AA/2： 相位變化從相位變化從0/3，13由由112Tt16TtA/20： 相位變化從相位變化從/3/2 ，262由由222Tt212Tt2828第

17、11章 機(jī)械振動(dòng)x例例 利用旋轉(zhuǎn)矢量法確定質(zhì)點(diǎn)在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的相位。利用旋轉(zhuǎn)矢量法確定質(zhì)點(diǎn)在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的相位。00t由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以得出，旋轉(zhuǎn)矢量與由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以得出，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角為零，故軸的夾角為零，故得得12（2）質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)）質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)xoA（1）t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在正最大位移處在正最大位移處03tA2Ax 0v2929第11章 機(jī)械振動(dòng)(3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)02t03t xA0t同樣同樣2340v質(zhì)點(diǎn)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)2Ax0v注意到：注意到：0 x 0vAA534Ax1xo

18、AA23030第11章 機(jī)械振動(dòng)（4）質(zhì)點(diǎn)向正方向運(yùn)動(dòng)）質(zhì)點(diǎn)向正方向運(yùn)動(dòng)2Axv 00 x v 02Ax v 0oxxAAA6,7,80v 向正向運(yùn)動(dòng)向正向運(yùn)動(dòng)03t2 3 或或02t 03t 6 7 83131第11章 機(jī)械振動(dòng) 以振動(dòng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，振動(dòng)方向?yàn)榭v軸，以振動(dòng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，振動(dòng)方向?yàn)榭v軸，t為為橫軸的橫軸的 x t 關(guān)系曲線。關(guān)系曲線。2cosxAtT3. 振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線oxtTAx0旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量振動(dòng)方程振動(dòng)方程振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線3232第11章 機(jī)械振動(dòng)o()x cm( )t s13323解解例例已知振動(dòng)曲線，求振動(dòng)方程。已知振動(dòng)曲線，求振動(dòng)方程。x102 3A

19、cm2Ts2sT13cos()2xt2023cos()xt由振動(dòng)曲線由振動(dòng)曲線1，12t0時(shí)，時(shí)，x00，0 0由振動(dòng)曲線由振動(dòng)曲線2，t0時(shí)，時(shí)，x03，0 03333第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 一彈簧振子，一彈簧振子，m100g，把物體從平衡位置向下拉，把物體從平衡位置向下拉10cm后后釋放，已知釋放，已知T2s。求：。求：（1）物體第一次經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度，）物體第一次經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度，（2）物體第一次在平衡位置上方）物體第一次在平衡位置上方5cm處的加速度，處的加速度，（3）物體從平衡位置下方）物體從平衡位置下方5cm處向上運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方處向上運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方 5 cm處所需最

20、短時(shí)間。處所需最短時(shí)間。解解建立坐標(biāo)如圖，建立坐標(biāo)如圖，ox1010Acm2rad sT0010cos() ()xtcm（1）10 sin() t 2t1031.4cm s ox3434第11章 機(jī)械振動(dòng)ox10（2）10cos() ()xtcm210cos()at 23tox10102210cos()3a 225cm s（3）由旋轉(zhuǎn)矢量圖）由旋轉(zhuǎn)矢量圖ox101032tT2Tt 13s3535第11章 機(jī)械振動(dòng)A比較諧振動(dòng)的比較諧振動(dòng)的x、a 的相位的相位0cos()xAt0sin()At 20cos()aAt 0cos2At20cosAtToxtaA202 令 可見(jiàn)，速度可見(jiàn)，速度比位移比

21、位移 x 相位超前相位超前/2；加速度；加速度 a 比速度比速度相位超前相位超前/2；加速度加速度 a 與位移與位移 x 反相。反相。3636第11章 機(jī)械振動(dòng)2) 振動(dòng)方程振動(dòng)方程2220 xxtdd0cosxAt3）微分方程）微分方程 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)1)1)受力特征受力特征fkx 以上以上1）、）、2）、）、3）中任一條成立即可判定為中任一條成立即可判定為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。小結(jié)小結(jié)恢復(fù)力恢復(fù)力勁度系數(shù)勁度系數(shù)3737第11章 機(jī)械振動(dòng))cos(0tAx解析法：解析法：曲線法：曲線法： xt 曲線曲線旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量角速度角速度圓頻率圓頻率 長(zhǎng)度振幅長(zhǎng)度振幅A初始角初

22、始角初相初相 0 03838第11章 機(jī)械振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x-t圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系3939第11章 機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量圓頻率圓頻率振幅振幅 反映振動(dòng)的強(qiáng)弱，反映振動(dòng)的強(qiáng)弱，由初始條件決定由初始條件決定.00cosxAt=0時(shí)時(shí)00cossinxAtAt v由由可得可得22002Axv4040第11章 機(jī)械振動(dòng)初相位初相位0已知初始振動(dòng)狀態(tài)，用旋轉(zhuǎn)矢量確定已知初始振動(dòng)狀態(tài)，用旋轉(zhuǎn)矢量確定oxx00v00 x0=0v00 x0=Av0=0 x0= -Av 0= 0 x00 x00v00 x00v0 0所以所以0.07cos(6)4

23、xt(3)如果物體在如果物體在x = 0.05m處時(shí)速度不等于零處時(shí)速度不等于零, 而是具有向右的而是具有向右的初速度初速度v0= 0.30m/s, 求其運(yùn)動(dòng)方程求其運(yùn)動(dòng)方程./4oxA 00cos/0.714xA04 4444第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其振幅為其振幅為0.08m,周期為周期為4s，起始時(shí)刻在，起始時(shí)刻在x=0.04m處處,向向ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng).試求試求:(1)t=1.0s時(shí)時(shí),物體所處的位置和所受的力。物體所處的位置和所受的力。解（解（1）已知）已知 A=0.08m 1s2T2t = 0時(shí)有時(shí)有: x=A

24、/2, v0030故取故取oxAA/2 /30.08cos()23xt4545第11章 機(jī)械振動(dòng)(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=0.04m處所需要的最短時(shí)間處所需要的最短時(shí)間.t=1.0s時(shí)時(shí),由上式解得由上式解得x=0.069mf=kx=m 2x=1.70103N受力為受力為0tt/3/ 2oxA/2-A/2t=0時(shí)刻時(shí)刻t時(shí)刻時(shí)刻解（解（2）t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到x=0.04m處處023tt20.6673s4646第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 兩個(gè)兩個(gè)同頻率同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示，比較它們的位相簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示，比較它們的位相差關(guān)系。差關(guān)系。A1x2Txto oA2- - A2

25、-A1x1 選選正最大位移，正最大位移，x2 比比x1 較早達(dá)到正最大位移較早達(dá)到正最大位移x2 比比x1時(shí)間超前時(shí)間超前T/4,相位超前相位超前/ /2. .解：選定某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，誰(shuí)先到達(dá)誰(shuí)超前解：選定某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，誰(shuí)先到達(dá)誰(shuí)超前. .4747第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，寫出振動(dòng)方程。某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，寫出振動(dòng)方程。x(cm)t(s)t(s)-1-1-2-2O O1 1解：解：設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為則由振動(dòng)曲線：則由振動(dòng)曲線： A=2 cmt=0時(shí)刻時(shí)刻2Ax00v0cos()xAt4848第11章 機(jī)械振動(dòng)又又 v00所以所以 或或20cosaAt 200c

26、osaAv(m/s)t(s)Omv/2mv0/6 5 /6故選故選05 /6 5151第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 如圖：如圖：m=20g, 平衡時(shí)彈簧的形變?yōu)槠胶鈺r(shí)彈簧的形變?yōu)?l = 9.8cm。將彈簧。將彈簧壓縮壓縮9.8cm, , 物體由靜止釋放。物體由靜止釋放。 取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；解解（1）平衡位置時(shí)平衡位置時(shí) mg = k l取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為正 對(duì)物體任意位移對(duì)物體任意位移 x 時(shí)受力分析時(shí)受力分析()fmgk xlfkx 物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)！物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)！y0kmmmxl5252第11章

27、機(jī)械振動(dòng)由初條件：由初條件：x0= 9.8cm,v0=0, 得得由由x0= -A 得得 0 = 振動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為：x = 9.8cos( 10t+ ) cm0cosxAt彈簧的彈性系數(shù)為：彈簧的彈性系數(shù)為：k=mg/ l9.810rad/s0.098kgml2200()9.8cmvAx5353第11章 機(jī)械振動(dòng)解（解（2）按題意）按題意 t = 0 時(shí)時(shí), x0= 0，v0 0由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法 0= - /2x = 9.8cos( 10 t - /2 ) cm對(duì)同一諧振動(dòng)對(duì)同一諧振動(dòng), 取不同的計(jì)時(shí)零點(diǎn)取不同的計(jì)時(shí)零點(diǎn), 0不同，但不同，但 和和 A 不變不變 . （2）若取）若

28、取x0= 0，v0 0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)為計(jì)時(shí)零點(diǎn), , 寫出振動(dòng)方程。寫出振動(dòng)方程。2y0kmmmxl5454第11章 機(jī)械振動(dòng)四、四、 幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)忽略空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)在平忽略空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)在平衡點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)衡點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)55第11章 機(jī)械振動(dòng)最大最大擺角擺角小于小于5 GF回回=Gsin5656第11章 機(jī)械振動(dòng)2、 周期公式周期公式由轉(zhuǎn)動(dòng)定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定理222sindmglmldt當(dāng)當(dāng) 50時(shí)，時(shí)，sin220dgdtl（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）gl22lTg0cos()At角位移角位移角振幅角振幅MJmg5757第11章 機(jī)械振動(dòng)例例o0解解單擺的振動(dòng)方程：?jiǎn)螖[的振動(dòng)方程：

29、0cos()At2gTl由系統(tǒng)決定由系統(tǒng)決定00cos()A00sin()A 0A（振幅）（振幅）初相：初相：00周期相同周期相同 用手拉擺球，單擺從平衡位置偏一小角用手拉擺球，單擺從平衡位置偏一小角0，無(wú)初速度釋，無(wú)初速度釋放，偏角大小不同，（放，偏角大小不同，（1）周期相同嗎？（）周期相同嗎？（2）振幅）振幅A相同相同嗎？（嗎？（3） 0是不是初相？是不是初相？ ？0A和和 由初始條件決定由初始條件決定0初始條件初始條件t=0時(shí)時(shí) ，有，有不是初相不是初相5858第11章 機(jī)械振動(dòng)四、四、 諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的能量（以水平彈簧振子為例）（以水平彈簧振子為例） 1. 動(dòng)能動(dòng)能221vmEk)

30、(sin21022tkA2 41d1kAtETETttkk2. 勢(shì)能勢(shì)能221kxEp)(cos21022tkA3. 機(jī)械能機(jī)械能221kAEEEpk（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）0cosxAt0sinAt2max21kAEk0minkEPEEkEPExO212pEkx 結(jié)論結(jié)論1：系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能都隨系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能都隨t作周期作周期性變化，但系統(tǒng)總能量不變，且與振幅平性變化，但系統(tǒng)總能量不變，且與振幅平方成正比。方成正比。 結(jié)論結(jié)論2：系統(tǒng)作一次全振動(dòng)，能系統(tǒng)作一次全振動(dòng)，能量轉(zhuǎn)換量轉(zhuǎn)換2次。即能量轉(zhuǎn)化的周期次。即能量轉(zhuǎn)化的周期 振動(dòng)的周期的一半振動(dòng)的周期的一半595

31、9第11章 機(jī)械振動(dòng)tEo4T2T23TT2pk21kAEEE tkAE 22pcos21 tkAE 22ksin21 xtoT6060第11章 機(jī)械振動(dòng)222111222mkxkAv1)2EA2) 時(shí)間平均值時(shí)間平均值KPEE214kA3) 由簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量求振幅由簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量求振幅具有普遍適用性具有普遍適用性討論討論2EAk簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各特征量的性質(zhì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各特征量的性質(zhì) 振幅振幅A 由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的振動(dòng)能量振動(dòng)能量決定；決定； 角頻率角頻率 由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)內(nèi)在性質(zhì)決定；決定； 初相初相 0 由由時(shí)間零點(diǎn)時(shí)間零點(diǎn)的選取決定。的選取決定。6161第11章 機(jī)械振動(dòng)例例9 彈簧振子總能

32、量為彈簧振子總能量為E1，若其振幅增為原來(lái)的兩倍，重，若其振幅增為原來(lái)的兩倍，重物質(zhì)量增為原來(lái)的四倍，則振子總能量為原來(lái)的幾倍？物質(zhì)量增為原來(lái)的四倍，則振子總能量為原來(lái)的幾倍？解：解：振子總能量為原來(lái)的振子總能量為原來(lái)的4 4倍倍. .2212EmA212kA14EE6262第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 系統(tǒng)作諧振動(dòng)，周期為系統(tǒng)作諧振動(dòng)，周期為T，以余弦函數(shù)表達(dá)振動(dòng)時(shí)，初相為零，以余弦函數(shù)表達(dá)振動(dòng)時(shí)，初相為零，則在則在0 t T/2范圍內(nèi)，系統(tǒng)在什么時(shí)刻動(dòng)能和勢(shì)能相等。范圍內(nèi)，系統(tǒng)在什么時(shí)刻動(dòng)能和勢(shì)能相等。解：解：221124kxkA動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置在動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置在振動(dòng)方程振動(dòng)方程cos

33、xAt12kpEEE22xA pkEE3 /4 /4x旋矢圖：旋矢圖：/4t3 /4或或42T1/4t8T因此因此23 /4t342T38T6363第11章 機(jī)械振動(dòng)例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的平底船，底面積為的平底船，底面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，不計(jì)水的，不計(jì)水的阻力，求：船在豎直方向的振動(dòng)周期阻力，求：船在豎直方向的振動(dòng)周期T。（水的密度為。（水的密度為）水面解解取水平面為坐標(biāo)原點(diǎn)，取水平面為坐標(biāo)原點(diǎn)，船上任意一點(diǎn)都可代表船的位船上任意一點(diǎn)都可代表船的位置，取平衡時(shí)同水線上一點(diǎn)置，取平衡時(shí)同水線上一點(diǎn)PPoyh 建立動(dòng)力學(xué)方程：建立動(dòng)力學(xué)方程：ymg()hy Sg22d ymdtmgh

34、SgySg22d ymdt220d ySgymdt2Sgm2mTSg2hg（諧振動(dòng)）（諧振動(dòng)）6464第11章 機(jī)械振動(dòng)回顧回顧 單擺單擺 諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的能量 系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能均隨系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能均隨t作周期性變化，但總能量不變，與作周期性變化，但總能量不變，與振幅平方成正比。振幅平方成正比。能量轉(zhuǎn)換周期等于振動(dòng)周期的一半。能量轉(zhuǎn)換周期等于振動(dòng)周期的一半。 如何證明系統(tǒng)是否諧振動(dòng)如何證明系統(tǒng)是否諧振動(dòng) 建立坐標(biāo)系（原點(diǎn)取在平衡位置）建立坐標(biāo)系（原點(diǎn)取在平衡位置） 分析研究對(duì)象：分析研究對(duì)象： 平動(dòng)平動(dòng) Fm a 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) MJ 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 22EkA動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 周期周期

35、6565第11章 機(jī)械振動(dòng)6666第11章 機(jī)械振動(dòng) 在實(shí)際問(wèn)題和具體過(guò)程中，振動(dòng)往往是由好在實(shí)際問(wèn)題和具體過(guò)程中，振動(dòng)往往是由好幾個(gè)振動(dòng)合成的。例如，在凸凹不平的路面上行幾個(gè)振動(dòng)合成的。例如，在凸凹不平的路面上行駛的小汽車，車輪相對(duì)地面在振動(dòng)，車身相對(duì)車駛的小汽車，車輪相對(duì)地面在振動(dòng)，車身相對(duì)車輪也在振動(dòng)，而車身相對(duì)地面的振動(dòng)就是這兩個(gè)輪也在振動(dòng)，而車身相對(duì)地面的振動(dòng)就是這兩個(gè)振動(dòng)的合振動(dòng)。巧妙設(shè)計(jì)現(xiàn)代汽車的減震系統(tǒng)，振動(dòng)的合振動(dòng)。巧妙設(shè)計(jì)現(xiàn)代汽車的減震系統(tǒng)，可以使車身相對(duì)地面的震動(dòng)不至于太劇烈。可以使車身相對(duì)地面的震動(dòng)不至于太劇烈。 6767第11章 機(jī)械振動(dòng)一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成12xx12cos(cos(AA1020)tt12xxx0cos(