1、第一章不等關系與基本不等式第一章不等關系與基本不等式4不等式的證明不等式的證明第一課時比較法、分析法、綜合法第一課時比較法、分析法、綜合法學習目標重點難點1.了解比較法證明不等式的意義及分析法與綜合法的數學思想2理解比較法、分析法、綜合法的解題步驟及書面表達3能夠應用比較法、分析法、綜合法證明簡單不等式.1.重點是比較法、分析法、綜合法的數學思想2難點是綜合利用比較法、分析法、綜合法證明簡單不等式.閱讀教材P16P18的有關內容，完成下列問題：1比較法(1)作差比較法我們已經知道abab0，abab0，因此，要證明ab，只要證明_即可，這種方法稱為作差比較法ab01(1)作差比較法主要適用的類

2、型是什么？實質是什么？(2)作商比較法主要適用的類型是什么？提示：(1)作差比較法主要適用于具有多項式結構特征的不等式證明實質是把判斷兩個數(或式子)大小的問題轉化為判斷一個數(或式子)與0大小的問題(2)作商比較法主要適用于積(商)、冪(根式)、指數式形式的不等式證明2分析法從所要證明的結論入手向已知條件反推直至達到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“_”的證明方法執果索因3綜合法從已知條件出發，利用不等式的性質(或已知證明過的不等式)，推出所要證明的結論，即“_”的方法，這種證明不等式的方法稱為綜合法由因尋果2試分析綜合法與分析法證明不等式的邏輯關系提示：綜合法A(已知)B1B2BnB(

3、結論)，逐步推演不等式成立的必要條件分析法B(結論) Bn Bn1 B1 A(已知)，步步尋求不等式成立的充分條件用比較法證明不等式 (1)已知ab，則a46a2b2b4_4ab(a2b2)(選填“”“”或“”)(1)解析：a46a2b2b44ab(a2b2)a42a2b2b48a2b24ab(a2b2)(a2b2)24ab(2aba2b2)(ab)2(ab)24ab(ab)2(ab)2(ab)4.因為ab，所以(ab)40.所以a46a2b2b44ab(a2b2)答案：【點評】比較法是證明不等式的一個最基本、最常用的方法當被證明的不等式的兩端是多項式、分式或對數式，一般使用作差比較法，當被證

4、明的不等式(或變形后)的兩端都是正數且為積的形式或冪指數的形式時，一般使用作商比較法1(1)已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.(2)已知a2，求證：loga(a1)log(a1)a.證明：(1)2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0,2ab0.從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.用分析法證明不等式 【點評】用分析法證題時，語氣總是假定的，常用“欲證A只需證B”表示，說明只要B成立，就一定有A成立，所以B必須是A的充分條件才行，當然B是A的充要條件也可有yx(xy

5、)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，由x1，y1，得(xy1)(x1)(y1)0.從而所要證明的不等式成立用綜合法證明不等式 3已知a，b，c是互不相等的正數，且abc1.求證：(1ab)(1bc)(1ca)27.因為a，b，c是互不相等的正數，所以上述不等式中等號不成立因為abc1，所以(1ab)(1bc)(1ca)27.分析法與綜合法結合起來證明不等式 已知a，b，c(0，)，且abbcca1. 【點評】在證明不等式的過程中，分析法、綜合法常常是不能分離的使用綜合法證明不等式難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律有時問題的證明難度較大，常使用分析綜合法，實現從兩頭往中間靠以達到證題目的3分析法與綜合法(1)分析法與綜合法相輔相成，對于較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關系，找到解題思路，再運用綜合法證