1、一元二次方程典型應用題一元二次方程典型應用題新世紀教育新世紀教育 數學數學 孫老師孫老師將實際問題抽象為數學問題，數學建模能力的過程將實際問題抽象為數學問題，數學建模能力的過程1聽雨書屋復習問題，提出新知1.列方程解應用題的基本步驟怎樣？n（1）審審題題：透徹理解題意，明確哪些是已知數，哪些是未知數，以及它們之間的關系。審一步列一步！審一步列一步！ n（2）設設未知數未知數：根據題意，可直接設未知數（求誰設誰求誰設誰），也可間間接設未知數接設未知數，未知數必須寫明單位單位，語言敘述要完整。 n（3）列列代數式和方程代數式和方程：根據題中給出的條件，用含有所設未知數的代數式表示其他未知數，利用等

2、量關系等量關系，列出方程或方程組，一般列方程的個數與所設未知數的個數相同。 n（4）解解方程或方程組應注意解題技巧方程或方程組應注意解題技巧，準確地求出方程或方程組的解。 n（5）檢檢驗驗答案答案：解應用題要檢驗有無增根，又要檢驗是否符合題意解應用題要檢驗有無增根，又要檢驗是否符合題意以及實際生活中的常識，最后做出符合題目要求的答案。以及實際生活中的常識，最后做出符合題目要求的答案。.2聽雨書屋注意：注意：（1）在這些步驟中，審題是解審題是解題的基礎，列方程是解題的中心，發現題的基礎，列方程是解題的中心，發現等量關系等量關系是列方程的關鍵！。是列方程的關鍵！。 (2)在列方程時，要注意列出的方

3、程必須滿足以下兩個條件： a,方程兩邊表示同類量數值相等方程兩邊表示同類量數值相等 b,方程兩邊的同類量的單位一樣單位一樣 3聽雨書屋一元二次方程常見應用題有哪些型？一元二次方程常見應用題有哪些型？（1）銷售增長率 （2）銷售定價問題銷售定價問題（3）儲蓄利率問題 （4）幾何問題（5）數字與方程 （6）年齡問題 (7) 趣味問題 (8)情景對話 4聽雨書屋解一元二次方程有哪些方法？解一元二次方程有哪些方法？直接開平方法配方法公式法因式分解法5聽雨書屋銷售增長率問題銷售增長率問題n恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升

4、，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.6聽雨書屋n分析：分析：本題設這兩個月的平均增長率是x，十月份的銷售額為200（1-20%）萬元，十一月份的銷售額為200（1-20%）（1+x）萬元，十二月份在十一月份的基礎上增加x，變為200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（ 萬元，進而可列出方程，求出答案n解答：解答：解：設這兩個月的平均增長率是x，十一月份的銷售額達到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的銷售額達到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）

5、（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+x=1.1，所以x=-11.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）答：這兩個月的平均增長率是10%n點評：點評：此類題目旨在考查增長率，要注意增長的基礎注意增長的基礎，另外還要注意解的注意解的合理性，從而確定取舍合理性，從而確定取舍2)1 (x7聽雨書屋銷售定價問題銷售定價問題n家樂福超市如果將進貨價為家樂福超市如果將進貨價為40元的商品按元的商品按50元銷售，就元銷售，就能賣出能賣出500個，但如果這種商品每個，但如果這種商品每漲價漲價1元，其銷售量就元

6、，其銷售量就減少減少10個，如果你是超市的經理，為了賺得個，如果你是超市的經理，為了賺得8 000元的利元的利潤，你認為售價應定為多少（售價不能超過進價的潤，你認為售價應定為多少（售價不能超過進價的160%）?這時應進貨多少個？這時應進貨多少個？n 解答這種商品銷售問題時，需要明確：總利潤=單利潤售出商品的總量n解：設此商品的單價為(50+x)元，則每個商品的利潤是(50+x) -40元，銷售數量為(500-l0 x)個。n由題意，得(50+x)-40(500-l0 x)=8 000,n整理得x2 -40 x- 300=0n 解得x1=10 ,x2=30n 商品售價不能超過進價的160%，取x

7、=10.n 這時應進貨500 -l0 x=400（個） 故售價定為60元，這時應進貨400個8聽雨書屋銷售定價問題銷售定價問題n某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應定價多少元？9聽雨書屋n分析：分析：設每件襯衫應降價x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此時商場平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根據商場平均每天要盈利=1200元，為等量關系列出方程求解即可n解：設每件襯衫應

8、降價x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由題意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，所以x的值應為20，所以，若商場平均每天要盈利12O0元，每件襯衫應降價20元 n點評：點評：本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意找出等量關系列出方程求解 10聽雨書屋儲蓄利率問題儲蓄利率問題n王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期利率存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一

9、次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）11聽雨書屋n解 設第一次存款時的年利率為x. 則根據題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.n整理，得90 +145x30. n解這個方程，得x10.02042.04%，x21.63.n由于存款利率不能為負數，所以將x21.63舍去. n答 第一次存款的年利率約是2.04%. 2x12聽雨書屋幾何問題幾何問題n將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）n（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬

10、度相等的小路.n（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.n以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.圖3圖213聽雨書屋n分析：分析：（1）設出小路的寬度為x米，表示出兩條小路的面積，而小路的面積為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可；（2）設出扇形的半徑為y米，則四個扇形的面積和恰好等于一個圓的面積，而四個扇形的面積和為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可n解答：解答：解：（1）設小路的寬度為x米，根據題意列方程得，18x+15x-x2=18151/3，解得x1=3，x2=30（不合題意，舍去）；答：圖中小

11、路的寬為3米（2）設扇形的半徑為y米，根據題意列方程得，y2=18151/3，解得y15.4，y2-5.4（不合題意，舍去）；答：扇形的半徑約為5.4米n點評：點評：此題主要考查長方形和扇形面積的計算方法，解答時注意題目中蘊含的數量關系14聽雨書屋幾何動態問題幾何動態問題n如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.n（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？n（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求

12、出運動的時間；若不存在，說明理由.?Q?P?C?B?A圖415聽雨書屋n分析：分析：（1）設果P、Q同時出發，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時PCQ的面積為： 122x（6-x），令該式=8，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；（2）ABC的面積的一半等于 12 12ACBC=12cm2，令 122x（6-x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在n解答：解答：解：（1）設xs后，可使PCQ的面積為8cm2由題意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，則1/2(6-x)2x=8整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4所

13、以P、Q同時出發，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2（2）由題意得：SABC=1/2ACBC=1/268=24，即：122x（6-x）=1/224，x2-6x+12=0，=62-412=-120，該方程無解，所以，不存在使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半的時刻n點評：點評：本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于找出等量關系列出方程求解16聽雨書屋數字與方程數字與方程1. 1. 一個兩位數一個兩位數, ,它的十位數字比個位數字小它的十位數字比個位數字小3,3,而它的個而它的個位數字的平方恰好等于這個兩位數位數字的平方恰好等于這個兩位數. .求這個兩位數求這個兩位數. .2.有一個兩位數

14、有一個兩位數, ,它的十位數字與個位數字的和是它的十位數字與個位數字的和是5.5.把這把這個兩位數的十位數字與個位數字互換后得到另一個兩位個兩位數的十位數字與個位數字互換后得到另一個兩位數數, ,兩個兩位數兩個兩位數的積為的積為736.736.求原來的兩位數求原來的兩位數. .設誰？17聽雨書屋年齡問題年齡問題n讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）. 大江東去浪淘盡，千古風流數人物； 而立之年督東吳，早逝英年兩位數； 十位恰小個位三，個位平方與壽符； 哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？18聽雨書屋n解：設十位是X ，則個位數是(X+3) 兩位數就表示成10X+(X+3)=11X+3

15、 n所以用“各位平方與壽符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0 n(X-2)(X-3)=0 nX1=2或X2=3 nX1+3=5 X2+3=6n 可得兩組解，25或36，因為已知“而立之年督東吳”（而立之年為30歲）， 所以一定比30大. ，25就要舍去。n可得周瑜去世的年齡為36歲。 19聽雨書屋路程問題路程問題n1.在800米圓形跑道上有兩人練中長跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，兩人同時同地反向起跑，幾分鐘后第一次相遇？ 兩人同時同地同向起跑，幾分鐘后第一次相遇？20聽雨書屋工程問題工程問題n在西部大開發中，基礎建設優先發展，甲、乙兩隊共同承包了一段長

16、6500米的高速公路工程，兩隊分別從兩端施工相向前進，甲隊平均每天可完成480米，乙隊平均每天比甲隊多完成220米，乙隊比甲隊晚一天開工，乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務？21聽雨書屋勞資調配問題勞資調配問題22聽雨書屋趣味問題趣味問題n一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？23聽雨書屋n解：設竹竿的長度為X，那么X=(X-4)+(X-2)=X-8X+16+X-4X+4=2X-12X+20,n平移過來，X-12X+20=0n(X-10)x（X-2）=0nX取10或2，由于2不符合標準，故舍去，得X=10米n答：竹竿長10米。24聽雨書屋情景對話情景對話n春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如圖1對話中收費標準. 某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？圖1如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元.如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元.25聽雨書屋n分析：分析：設該單位