1、1 歐氏矢量空間 正交 變換 張量(一) 概念、理論和公式提要1-1 歐氏矢量空間 基和基矢 (1) 歐氏矢量空間 滿足下列條件的矢量集合稱為實的矢量空間，記作中的每一個矢量，例如的一個元素： (a) (b) ，存在一個反元素，使得 (c) 對于任意實數，有 滿足下列條件的實矢量空間稱為歐氏矢量空間(Euclidean vector space)，記作： (a) 對，它具有下列性質： (1-1-1) (1-1-2)等號只當時成立。 (b) 對任意實數等，有 (1-1-3)(c) ，并定義為 （1-1-4）的正方根。如果為單位矢量。 如果正交。 (2) 基 正交基 (a) 空間內線性無關矢量的最

2、大個數記為。由于連續體占有三維物理空間，所以我們一般地是在三維物理空間內討論問題。 (6) 在內，定義 (1-1-5) (1-1-6)式中的方向；通常采用右手螺旋法則確定符合右手法則，且所在平面；所以的矢量，其指向由右手法則確定。稱的叉積。由式(1-1-6)可得 (1-1-7) (1-1-8) (c) 當三個相互正交的單位矢形成右手三元系時，有 (1-1-9)其中左側三式的角標按順序1、2、3排列，稱為順循環；右側三式的角標為逆1、2、3順序排列，稱為逆順環。 (d) ，構成一個基(或基矢系)，記作都可表示成的唯一的線性組合 (1-1-10)內可以選取無限多個基，各個基之間有一定的變換關系，因

3、此只有一個基是獨立的。 (e) 在應用中，選用的基總是同選定的坐標系相關連的，不同的坐標系有不同的基。在中，最簡單的基是與笛卡爾坐標系相關連的，它由三個相互正交的單位基矢構成，而且是固定不變的。今后我們用表示笛卡爾坐標系的基。1-2 字母指標法 (1) 在力學中有很多量要用一組標量才能描述，這組量中的每一個稱為該力學量的分量。這些分量都與所選用的空間的基密切相關，亦即與所選用的坐標系密切相關。在張量表述中，將力學量的所有分量用同一個符號或字母表示，而用指標區分各個分量。例如，在內點的坐標用表示，簡記為等，此處是用字母表示的指標，稱為字母指標；這種表示力學量的方法稱為字母指標法。 (2) 啞指標

4、 求和約定 同項中重復出現二次的字母指標稱為啞指標，它表示將該指標依次取值1、2、3(設在內)時所得各項之和，而省去求和記號這就是求和約定。啞指標簡稱為啞標，又可稱為求和指標或偽標；啞標可任意改變字母，例如可以寫作等。 (3) 自由指標 同項中只出現一次的指標稱為自由指標。自由指標表示一般的項，該指標可取1、2、3中的任何一個。同一方程中各項的自由指標必須相同。1-3 Kronecker    置換符號 (1) Kronecker    符號表示九個數，并且規定 (1-3-1)如上規定的稱為Kronecker

5、60; 。同另一帶字母指標的量(包括自身)相乘，且有啞標時，則將中的自由指標代換被乘量中的啞標。例如 (1-3-2) (1-3-3) (1-3-4)點的坐標彼此獨立，所以有 (1-3-5)為9個量，則有 (1-3-6)當時，上式變為 (1-3-7)對于笛卡爾坐標系的基，按式(1-1-5)，有 (1-3-8)上式也可作為的定義。 (2) 置換符號 置換(或排列)符號用表示，它共有27個量，并規定 (1-3-9)在指標中，每相鄰2個互換一次位置，改變一次正負號。由于相鄰指標互換偶次位置不改變指標的循環性質，所以不改變的值；反之，相鄰指標互換奇次位置，將改變正負號。例如 (1-3-10)

6、設是笛卡爾坐標系(右手)的基，則按式(1-1-9)，并結合式(1-1-8)及(1-3-9)，可按基矢的叉積縮寫成 (1-3-11)上式是式(1-1-9)的縮寫式，式(1-1-9)則是上式的展開式。 應用置換符號，可以得到以下各式二矢量的叉積： (1-3-12)或 (1-3-13)三矢量的混合積： (1-3-14) (1-3-15)矩陣： (1-3-16) (1-3-17) 關系 (1-3-18) (1-3-19) (1-3-20)以及 (1-3-21)1-4 余弦變換矩陣 設是兩個笛卡爾坐標系的基，且設 (1-4-1)式中 (1-4-2)夾角的余弦。式(1-4-1)可寫成矩陣形式 (1-4-3

7、) (1-4-4)稱為余弦變換矩陣。又設 (1-4-5)或 (1-4-6) (1-4-7)由于逆，由式(1-4-3)可解出 (1-4-8)比較式(1-4-6)、(1-4-8)，并結合式(1-4-7)，可得 (1-4-9)為單位矩陣。上式表明為正交矩陣，即余弦變換矩陣是正交矩陣。由式(1-4-9)可得 (1-4-10)時，稱為正常正交變換矩陣，它對應于基同為右手(或左手)系；時，稱為非正常正交變換矩陣，它對應于分別是右(左)和左(右)手系。 由，易得 (1-4-11)1-5 張量及其坐標變換 (1) 階基 笛卡爾坐標系的基為，稱為一階基。記、分別為二階基、三階基，。設有雙指標量，如果它們與二階基

8、矢的線性組合是坐標系無關的，即有 (1-5-1)則稱的分量。照上類推，設 (1-5-2) (1-5-3)則分別稱為三階、四階、階張量；為張量的直接記法，或抽象記法或坐標系不變性記法，而其分量與基矢的線性組合稱為張量的分量記法。 (2) 張量的坐標變換公式 設，則張量相對于不同基的分量之間存在的關系為 (1-5-5)上式稱為張量分量的坐標變換式。矢量(一階張量)、二階張量的坐標變換式可寫成矩陣形式 (1-5-6)式中的分量所構成的矩陣，稱為相對于基的分量矩陣。 滿足式(1-5-5)坐標變換式的張量稱為卡氏張量，。實際上，卡氏張量只是一種界定或約定的名稱，就張量本身來說，它們是坐標系不變性的。與卡

9、氏張量相對應的是普遍張量，這是指在非笛卡爾基上張量的分量表示以及有關的運算法則。(二) 習題和解答 1-1 已知 (a)試用指標表示法證明由上式可解出 (b) 解 由題給關系式(a)，令，可得由上式可得將上式代入式(a)，得到由上式可解出證畢。 1-2 試寫出下式的展開式 解 上式的展開式為 1-3 試寫出下列各式的縮寫(指標)式 (a) (b) (c)(d) 解 上列四式的縮寫式分別為 (a) (b) (c) (d) 1-4 設是直角坐標，說明下列方程的幾意義 (a) ，  (b)  ，(c)   解 (a) ，這是一個平面 (b)

10、 的展開式是式中，所以上式是一個半軸為的橢球，中心位在坐標原點。 (c) 的展開式是這是半徑為的球，球心在坐標原點。 1-5 。試證在證明時可應用下列兩個公式 (a) (b)式中的分量。 解 令矢量，則按式(b)有 (c)又由式(a)，有 (d)由式(c)和(d)，得到又，由此可證 1-6 試證 解 已知。現在將的列作任意的調動，從行列式理論可知，這不會改變的絕對值，只可能改變其正負號。只要改變后的列的順序為1、2、3的順循環，則符號不變，反之符號改變；或者說，相鄰列調換偶次，符號不變，調換奇次，符號改變；因此可用符號的改變，從而有用，即得 1-7 若矩陣，試用上題結果證明 解 ；于是 1-8

11、 證明 解 由習題1-5式(b)及，可得式中，得到利用上題結果，可得證畢。在上式中令，易得有用公式在上式中令，得到最后可得 利用以上結果，可證 如果是二維空間，則可將置換符號寫作，。 1-9 試推導矩陣的計算公式，并證明式中的元素。 解 記矩陣，則有 (a)又由為單位矩陣，可得 (b)比較式(a)與(b)可見，如果令 (c)則式(b)恒能滿足，因此式(c)就是求矩陣之逆的公式。式中的可表示成如下的代數余因子式所在的行和列后的行列式。又于是證畢。 1-10 寫出下列三種情況所對應的坐標變換矩陣 (a) 坐標系繞角(逆時針為正，下同)； (b) 坐標系繞角； (c) 先按(b)變換，再按(a)變換 解 圖1-1 圖1-2 (a)