1、（備用圖） 中考題中考題 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點的正方形紙片，點P為正方形為正方形AD邊上邊上的一點（不與點的一點（不與點A、點、點D重合）將正方形紙片折疊，使點重合）將正方形紙片折疊，使點B 落在落在P處，點處，點C 落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕為，折痕為EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）求證：APB=BPH； （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是否發生變化？并證明你的論；的周長是否發生變化？并證明你的論； （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP 的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函

2、數關系式，試問的函數關系式，試問S是是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，的正方形紙片，點點P為正方形為正方形AD邊上的一點（不與點邊上的一點（不與點A、點、點D重合）重合）將正方形紙片折疊，使點將正方形紙片折疊，使點B 落在落在P處，點處，點C 落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕，折痕EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）求證：APB=BPH； （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是的周長是否發生變化？并證明

3、你的論；否發生變化？并證明你的論； （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP 的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數關系式，試問的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由涉及知識點涉及知識點1.正方形的性質、正方形的性質、 折疊問題；折疊問題；2.全等三全等三角形、相角形、相似似三三角形的角形的判判定與定與性性質；質；3.二次函數的最值。二次函數的最值。 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，的正方形紙片，點點P為正方形為正方形AD邊上的一點（不與點邊上的一點

4、（不與點A、點、點D重合）重合）將正方形紙片折疊，使點將正方形紙片折疊，使點B 落在落在P處，點處，點C 落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕，折痕EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）求證：APB=BPH； （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是的周長是否發生變化？并證明你的論；否發生變化？并證明你的論； （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP 的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數關系式，試問的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由條件分析

5、條件分析1.本題通過折疊將全等，本題通過折疊將全等，相似相似，函數，函數等知識等知識，融，融進進正方形。正方形。2.此圖是正方形，此圖是正方形，里面里面有相有相等的邊和角等的邊和角；折疊；折疊前后的前后的圖形圖形全等全等，這些這些都是題中都是題中的的隱含隱含條件。條件。 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，的正方形紙片，點點P為正方形為正方形AD邊上的一點（不與點邊上的一點（不與點A、點、點D重合）重合）將正方形紙片折疊，使點將正方形紙片折疊，使點B 落在落在P處，點處，點C 落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕，折痕EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）

6、求證：APB=BPH； （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是的周長是否發生變化？并證明你的論；否發生變化？并證明你的論； （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP 的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數關系式，試問的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由難點、關鍵點難點、關鍵點1.難難點是學生無點是學生無法將分散法將分散的的條件集中到有條件集中到有效的圖形效的圖形上上進行解決。進行解決。2.利用全等三角形的判定利用全等三角形的判定得出相等關系是關鍵得出相

7、等關系是關鍵 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，的正方形紙片，點點P為正方形為正方形AD邊上的一點（不與點邊上的一點（不與點A、點、點D重合）重合）將正方形紙片折疊，使點將正方形紙片折疊，使點B 落在落在P處，點處，點C 落在落在G處，處，PG交交DC于于H，折痕，折痕EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）求證：APB=BPH； （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是的周長是否發生變化？并證明你的論；否發生變化？并證明你的論； （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP 的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數關系式，試問的

8、函數關系式，試問S是否存在最小值？若存是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由學情分析學情分析 在解題中，學在解題中，學生會生會出出現以下問題：現以下問題：1.推理能力不到位；推理能力不到位；2.數學思維缺乏嚴謹性；數學思維缺乏嚴謹性；3.缺乏良好的學習習慣。缺乏良好的學習習慣。 如圖所示，現有一張邊長為如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點的正方形紙片，點P為正方形為正方形AD邊上的一點（不與點邊上的一點（不與點A、點、點D重合）將正方形紙片折疊，使點重合）將正方形紙片折疊，使點B 落落在在P處，點處，點C 落在落在G處，處，P

9、G交交DC于于H，折痕，折痕EF，連接，連接BP、BH （1）求證：）求證：APB=BPH；分析：分析：本題由已知可得，本題由已知可得，四邊形四邊形ABCD為正方形為正方形ADBCAPB =PBC由折疊可得，由折疊可得， BPH=PBCAPB=BPH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為正方形為正方形ADBCAPB=PBC由折疊得，由折疊得，BPH=PBCAPB=BPH （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是否發生變化？的周長是否發生變化？并證明你的論；并證明你的論；分析（方法分析（方法1）：）：由折疊圖形可知由折疊圖形可知EPH =90在正方形中在正方形中A= D=

10、901+2= 903+2= 901= 3A= D= 90APEDHP然后利用相似三角形的性質求周長。然后利用相似三角形的性質求周長。 （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是否發生變化？的周長是否發生變化？并證明你的論；并證明你的論；證明：證明：a4-a答：答： PDH的周長不變，為定值的周長不變，為定值8設設BE = a,則則AE = 4 - a，由折疊可，由折疊可知知PE = BE = a ，EPH =90 1+2= 903+2= 901= 3A= D= 90APEDHPPDAEPDHAEP的周長的周長.422444224aaPDHa的周長即的周長PDH. 848

11、32aa=,422aAP則評析評析 這種解法用的是設而不求的方法，這也是解決這種解法用的是設而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規解法之一，解題過程中運用了勾股定幾何問題的常規解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。 （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是否發生變化？的周長是否發生變化？并證明你的論；并證明你的論；分析（方法分析（方法2）：）： 在第（在第（1）題中已證出）題中已證出APB=BPH，讓這兩個角存在于讓這兩個角存在于兩個三角形兩個三角形來解決，因此來解決，因此構造輔助線，作構造輔助

12、線，作BQPH，利用三角形全等，利用三角形全等將分散的條件集中到正方形的邊上解決。將分散的條件集中到正方形的邊上解決。 （2）當點）當點P在在AD邊上移動時，邊上移動時，PDH 的周長是否發生變化？的周長是否發生變化？并證明你的論；并證明你的論；答：答：PDH的周長不變，為定值的周長不變，為定值8證明證明：如圖：如圖2，過，過B作作BQPH，垂足為，垂足為Q由（由（1）知）知APB=BPH，又又A=BQP=90，BP=BP， ABP QBPAP=QP, AB=BQ又又 AB=BC，BC = BQ又又C=BQH=90BH=BH， BCH BQHCH=QHPDH的周長為：的周長為：PD+DH+PH

13、=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. 評析評析 這種解法用到了作輔助線這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進行了轉化，這樣把問題進行了轉化，利用三角形全等的知識，得出相等線段把分散的問題集利用三角形全等的知識，得出相等線段把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為已知，使問題中到已知條件上來，從而做到了化未知為已知，使問題迎刃而解。迎刃而解。 （3）設）設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數的函數關系式，試問關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由

14、由折疊可知，折疊前后的圖形全等，由折疊可知，折疊前后的圖形全等，因此本題可求因此本題可求直角梯形直角梯形BCFE的面積。的面積。分析：分析： 在直角梯形在直角梯形BCFE中，高中，高BC=4，求面，求面積就需要知道上下底的長。因此通過積就需要知道上下底的長。因此通過作輔助線來求作輔助線來求上下底上下底。 （3）設設AP為為x，四邊形，四邊形EFGP的面積為的面積為S，求出，求出S與與x的函數的函數關系式，試問關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由M證明：證明：過過F作作FMAB，垂足為，垂足為M，則

15、，則MF=BC=AB.又又EF為折痕，為折痕，EFBP.EFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又又A=EMF=90，EFM BPA EM=AP=x在在RtAPE中，中，222(4)BExBE228xBE 228xCFBEEMx解得解得211()(4) 4224xSBECF BCx21282Sxx21(2)62Sx當當x=2時，時，S有最小值有最小值6 xx 本題以正方形為載體，將折疊融入圖形，本題以正方形為載體，將折疊融入圖形，出現了很多相等的角和邊，這為證明三角形出現了很多相等的角和邊，這為證明三角形全等提供了依據，熟練利用全等三角形的判全等提供了依據，熟練利用全等三角形的判定

16、是解題重要環節定是解題重要環節 。2.數學思想：數學思想： 數形結合思想，方程思想，函數思想，轉化思想。數形結合思想，方程思想，函數思想，轉化思想。勾股勾股定理定理的運用的運用求四邊求四邊形的面形的面積積求三角形的求三角形的周長和四邊周長和四邊形的面積形的面積1.解題規律：解題規律：3.題目變式：題目變式：在原題的條件下，還可得以下結論：在原題的條件下，還可得以下結論：求證：求證：PBH =45；求證：求證： SPBH =SABP +SBCH ；當當 PH =m 時，則時，則SDHP=16-4m逆向探究：逆向探究：在原題的條件下，已知在原題的條件下，已知DHP的周長為的周長為8.求求BPH面積

17、的最小值面積的最小值 。 評析評析 拓展提升題有助于學生鞏固所學知識，提高拓展提升題有助于學生鞏固所學知識，提高思維能力，培養學生綜合運用知識的能力，并有助于拓思維能力，培養學生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發學生學習興趣，從而使學生學習積極性和展思維，激發學生學習興趣，從而使學生學習積極性和主動性都得到提高主動性都得到提高. 評析評析 加強逆向思維的訓練，可改變思維結構，培養思維的靈活性、深刻性和加強逆向思維的訓練，可改變思維結構，培養思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學中應注重逆向思維的培雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學中應注重逆向思

18、維的培養與塑造，以充分發揮學生的思考能力，訓練其思維的敏捷性，從而激發學養與塑造，以充分發揮學生的思考能力，訓練其思維的敏捷性，從而激發學生探索數學奧秘的興趣。生探索數學奧秘的興趣。4.解后反思：解后反思：（1）加強書寫的要求；）加強書寫的要求；（2）重視邏輯推理能力的培養；）重視邏輯推理能力的培養；（3）重視思維訓練，突出數學思想方法的教學；）重視思維訓練，突出數學思想方法的教學；（4）運用變式訓練，改變問題的呈現方式。）運用變式訓練，改變問題的呈現方式。 圖亂，書寫亂！圖亂，書寫亂！圖形是全等，不是相等！圖形是全等，不是相等！沒有這樣的已知條件，沒有這樣的已知條件，推理不著邊際！推理不著邊

19、際！憑直觀做題，找不到憑直觀做題，找不到解決問題的途徑！解決問題的途徑！作輔助線要用虛線，作輔助線要用虛線，做到規范做題！做到規范做題！此題要有推理過程，此題要有推理過程，不能根據測量得出！不能根據測量得出！自己造概念！自己造概念！做題要冷靜！做題要冷靜！證明這兩條線段相等與上面的證明這兩條線段相等與上面的方法不一樣，因此不能用方法不一樣，因此不能用“同理同理”！思路很清晰，可能解題存思路很清晰，可能解題存在畏懼感，沒有把題解完！在畏懼感，沒有把題解完！ 在我們的教學過程中，我想拿到一個題目，如果這樣深入去在我們的教學過程中，我想拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起到以一當十、以少勝多的效觀察、分析、解決與反思，那必能起到以一當十、以少勝