1、會計學1高量算符高量算符第一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。2 3. 線性算符和反線性算符線性算符和反線性算符 （1） 一個算符一個算符A，其定義域是一個矢量空間，如，其定義域是一個矢量空間，如 果滿足下列條件果滿足下列條件aAaAAAA)|()(|)|(| （2）如果算符）如果算符A滿足下列條件滿足下列條件量子力學中的算符絕大多數是線性算符。量子力學中的算符絕大多數是線性算符。則算符則算符A稱為反線性算符。稱為反線性算符。則算符則算符A稱為線性算符。稱為線性算符。*)|()(|)|(|aAaAAAA其中其中a是任意復數。是任意復數。第1頁/共47頁第二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。3

2、（3） 線性算符的定義域線性算符的定義域 算符對其定義域中的每一個右矢作用，都應有確定算符對其定義域中的每一個右矢作用，都應有確定的結果。的結果。 確定一個具體的線性算符，只需規定它對其定義域確定一個具體的線性算符，只需規定它對其定義域中的一組線性無關的右矢中每一個右矢的作用結果即中的一組線性無關的右矢中每一個右矢的作用結果即可。可。 線性算符的線性算符的定義域定義域，可以是，可以是整個右矢空間本身整個右矢空間本身，也可，也可以是其一子空間。以是其一子空間。第2頁/共47頁第三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。4 （4） 線性算符的性質線性算符的性質 1）線性算符的值域也是一個右矢空間；）線性

3、算符的值域也是一個右矢空間； 2）若定義域是有限維的空間，則值域空間的維數）若定義域是有限維的空間，則值域空間的維數等于或小于定義域空間的維數；等于或小于定義域空間的維數； 3）在定義域中，那些受）在定義域中，那些受 A的作用得到零矢量的的作用得到零矢量的右矢全體，也構成一個右矢空間右矢全體，也構成一個右矢空間, 這是定義域的子這是定義域的子空間。空間。第3頁/共47頁第四頁，編輯于星期三：八點 五十四分。5 4. 幾種特殊算符幾種特殊算符 （1） 復數算符復數算符 復數對右矢的數乘，可以看作算符對右矢的作用復數對右矢的數乘，可以看作算符對右矢的作用。每一個復數都可以看成一個算符；其定義域和值

4、。每一個復數都可以看成一個算符；其定義域和值域均為全空間：域均為全空間：aa| （2） 零算符和單位算符零算符和單位算符| 1,0|O若若對一切對一切 都成立，則都成立，則 O 稱為零算符，稱為零算符，1稱為單稱為單位算符。位算符。|第4頁/共47頁第五頁，編輯于星期三：八點 五十四分。6BA的定義域：的定義域： 5. 算符的運算算符的運算 （1）算符之和）算符之和 A+B| )(BABAA+B定義域是定義域是A與與B兩算符定義域共同部分（交集）兩算符定義域共同部分（交集） （2）算符之乘積）算符之乘積 BA)|(|ABBA1)A的值域的值域 B的定義域的定義域: BA的定義域的定義域 = A

5、的定義域的定義域;2)A的值域的值域 B的定義域的定義域: BA的定義域的定義域 A的定義域。的定義域。 即某些即某些 可以被可以被A作用，但不能被作用，但不能被BA作用。作用。|第5頁/共47頁第六頁，編輯于星期三：八點 五十四分。7(3)兩個算符相等兩個算符相等 A與與B有相同定義域并且對域內任意矢量有相同定義域并且對域內任意矢量 ,有有|BA則則BA(4)兩個算符對易兩個算符對易若兩算符滿足若兩算符滿足 AB=BA，則此二算符對易。，則此二算符對易。各個算符之間不都是可對易的，規定對易式各個算符之間不都是可對易的，規定對易式A,B=AB-BA表示兩算符表示兩算符A,B的對易關系。的對易關

6、系。第6頁/共47頁第七頁，編輯于星期三：八點 五十四分。8(6)算符的函數算符的函數可用算符和復數構成一個多項式作為算符的函數可用算符和復數構成一個多項式作為算符的函數nnAaAaAaaAF2210)(5)代數運算法則代數運算法則 除交換律不一定成立（不對易）外，算符之間服除交換律不一定成立（不對易）外，算符之間服從一般的加、減、乘和冪次的代數運算法則：從一般的加、減、乘和冪次的代數運算法則：ACABCBA)()()(BCACABAAAA 3第7頁/共47頁第八頁，編輯于星期三：八點 五十四分。96. 逆算符逆算符定義定義: 設在一個右矢空間中，算符設在一個右矢空間中，算符A把定義域中把定義

7、域中 的一個右矢的一個右矢 變為值域中一個右矢變為值域中一個右矢 |AaAnnneAanAaAaaA03322!1! 31! 211甚至可以構成無窮級數，例如甚至可以構成無窮級數，例如注意上式是算符的指數函數的定義式。注意上式是算符的指數函數的定義式。在此定義下，關系式在此定義下，關系式 的成立是有條件的的成立是有條件的BABAeee即即0,BA若若0,BA則則BABAeee第8頁/共47頁第九頁，編輯于星期三：八點 五十四分。10若算符若算符A所建立的這個對應關系是一一對應的，所建立的這個對應關系是一一對應的，則由則由 到到 的逆對應關系存在。這種關系稱的逆對應關系存在。這種關系稱為為A的逆

8、算符，用的逆算符，用 表示，即表示，即 |-1A|A-1|A顯然顯然1-1AAAA逆算符逆算符 的定義域和值域分別是的定義域和值域分別是 的值域和定義域的值域和定義域1AA逆算符相當于算符的除法，有時也可寫為逆算符相當于算符的除法，有時也可寫為A1A1 -第9頁/共47頁第十頁，編輯于星期三：八點 五十四分。11算符有逆的條件算符有逆的條件 這兩個條件需同時滿足。這兩個條件需同時滿足。1)在在 中，對于每一個中，對于每一個 ，總有，總有 存在存在 |A|2)若若 ，則必有，則必有21|AA21| 以上以上條件是對條件是對 A 的定義域及值域均為無窮維空的定義域及值域均為無窮維空間來說的。間來說

9、的。 若若 A 的定義域為有限維（值域也是有限維），的定義域為有限維（值域也是有限維），可以證明條件可以證明條件 1) 肯定滿足。有逆的條件只用條件肯定滿足。有逆的條件只用條件 2)就可以。就可以。第10頁/共47頁第十一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。12關于關于算符有逆的定理算符有逆的定理 定理：設定理：設A是一個定義域和值域都在全空間的線性是一個定義域和值域都在全空間的線性 算符，若另外兩個線性算符算符，若另外兩個線性算符B, C存在，滿足存在，滿足1, 1CAAB則算符則算符A有逆，且有逆，且CBA1證證只需證明只需證明A滿足上述兩個條件就可以。滿足上述兩個條件就可以。條件條件1）：

10、在值域中取任意波函數）：在值域中取任意波函數 證明在定義域中有證明在定義域中有 存在即可。存在即可。| 1|可見對任意可見對任意 ，必有，必有 存在，存在，此此 即即|B)|(BA|AB第11頁/共47頁第十二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。13條件條件2）：若）：若 ， 用用C作用此式兩邊，有作用此式兩邊，有21|AA21|CACA1CA但但所以所以21|故故 存在。存在。1A既然既然 存在，將存在，將 用用 左乘，左乘，1A1AB1A得得BA1將將 用用 右乘得右乘得1CA1ACA1所以所以CBA1第12頁/共47頁第十三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。142.2 算符的代數運算算符的

11、代數運算 在量子力學中，經常出現不可對易線性算符的代數在量子力學中，經常出現不可對易線性算符的代數運算。在這一節里舉幾個比較復雜的算例，并用代數運算。在這一節里舉幾個比較復雜的算例，并用代數方法證明兩個常用的算符等式。方法證明兩個常用的算符等式。多重對易式多重對易式 設設A,B為兩個線性算符為兩個線性算符,互不對易互不對易. 定義多重對易式定義多重對易式, ,)2()2()1()1()0()0(AABABBAABAABABBABABABBBA第13頁/共47頁第十四頁，編輯于星期三：八點 五十四分。15顯然，對于顯然，對于 型的多重對易式，有型的多重對易式，有,)(BAi, ,)1()(BAB

12、AAii利用上式及其對易關系，容易得出利用上式及其對易關系，容易得出,)1()()(BAABABAAiii對于對于 型的多重對易式亦有類似的公式。型的多重對易式亦有類似的公式。,)(iAB例例1 證明：證明：inniinABAiinnBA0)(,!)!(!證證利用數學歸納法利用數學歸納法1) 當當n=1時，上式變為時，上式變為,BABAAB這是顯然的。這是顯然的。第14頁/共47頁第十五頁，編輯于星期三：八點 五十四分。162) 若原式成立，即若原式成立，即inniinABAiinnBA0)(,!)!(!左邊用左邊用A作用，利用式作用，利用式,)1()()(BAABABAAiii有有innii

13、nABAAiinnBA0)(1,!)!(!inniiABAiinn10)(,!)!(!inniiABAiinn0)1(,!)!(!看上式右端第二項，我們希望這兩項能合并看上式右端第二項，我們希望這兩項能合并第15頁/共47頁第十六頁，編輯于星期三：八點 五十四分。17為此，令為此，令 ，則，則1 ij111)(,)!1()!1(!jnnjjABAjjnn與第一項進行比較與第一項進行比較inniiABAiinn10)(,!)!(!進行傀標代換進行傀標代換 ，第二項變為，第二項變為ij inniiABAiinn111)(,)!1()!1(!inniiABAiinnni111)(,!)!1()!1(

14、1同樣第一項也相應變為同樣第一項也相應變為inniiABAiinnnin10)(,!)!1()!1(11inniiABAiinn0)1(,!)!(!第16頁/共47頁第十七頁，編輯于星期三：八點 五十四分。18這樣原式就變為這樣原式就變為inniinABAiinnninBA10)(1,!)!1()!1(11inniiABAiinnni111)(,!)!1()!1(1考慮兩項求和符號后第一個分式的特點，可以考慮兩項求和符號后第一個分式的特點，可以將兩個求和上下線寫成一致，即將兩個求和上下線寫成一致，即inniinABAiinnninBA110)(1,!)!1()!1(11inniiABAiinn

15、ni110)(,!)!1()!1(1第17頁/共47頁第十八頁，編輯于星期三：八點 五十四分。19inniinABAiinnBA110)(1,!)!1()!1(從而有從而有所以，若原式對所以，若原式對n時成立，則時成立，則n+1時也成立。時也成立。3) 已知已知n=1時成立，所以原式對任意整數時成立，所以原式對任意整數n都成立。都成立。下面利用這個結論來證明一個常用的公式：下面利用這個結論來證明一個常用的公式：0)(,!1iiAABAiBee證證 利用算符指數函數的定義，有利用算符指數函數的定義，有0!1nnnaAAane所以所以0!1nnAAne第18頁/共47頁第十九頁，編輯于星期三：八點

16、 五十四分。20AiinnieAinBAi00)()!(1,!1利用上例結論，當利用上例結論，當 時時niniinABAiinnBA0)(,!)!(!則則AnnAAeBAnBee0!1AniniieABAiinnn 0)(0,!)!(!1AiAieeBAi0)(,!10)(,!1iiBAi第19頁/共47頁第二十頁，編輯于星期三：八點 五十四分。21下面我們把條件放寬一些：下面我們把條件放寬一些：由此證明幾個關系由此證明幾個關系.雖然雖然 ，但，但0,BA0, ,BCACCBA0,BA222)(BBAABABAABABAABA233)(3222BABBABABBA下面規定一種符號下面規定一種符

17、號 ，其意義是，不管，其意義是，不管A, B是是否對易，否對易， 中中A一律寫在一律寫在B前面所得的式子，如前面所得的式子，如nBAnBA)(32233222332BABBAABABABABA第20頁/共47頁第二十一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。22顯然它符合普通代數中的二項式定理顯然它符合普通代數中的二項式定理iininBAiinnBA0!)!(!我們知道，根據定義我們知道，根據定義iiBABAie)(!10當當 時，時， （利用定義式可以證明）（利用定義式可以證明）0,BABABAeee現在規定現在規定iiBABABAieee!1可以證明（不再證）可以證明（不再證）322332223

18、32BABBAABABABABA第21頁/共47頁第二十二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。23（1）令）令 , 則有則有,BAC 11)(nnnBAnCBABABA（2）另外，）另外， 與與 有如下關系有如下關系nBA)(nBA022)!2(!1)(iiinnCBAinniBAiinniCBAinnin2)!2(!1!120例5 證明Glauber公式2/CBABAeeee證nnBABAne)(!1第22頁/共47頁第二十三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。24iinniCBAinnin2)!2(!1!120iininCBAini2)!2(1!12iiBACei2!12/CBAee證畢。證畢

19、。2/CBAeee第23頁/共47頁第二十四頁，編輯于星期三：八點 五十四分。25定義：定義：上面在右矢空間中定義了算符上面在右矢空間中定義了算符 A|A 由于在右矢空間中每一個算符由于在右矢空間中每一個算符A都對應著左都對應著左矢空間中的某一個算符，這個左矢空間中與矢空間中的某一個算符，這個左矢空間中與A對應的算符對應的算符, ,我們稱作我們稱作 , ,稱為算符稱為算符A的伴算符的伴算符A2.3 作用于左矢的作用于左矢的算符算符一、伴算符AA|AA| 的定義域和值域是的定義域和值域是 的定義域和值域的左矢的定義域和值域的左矢空間的對應區域。空間的對應區域。AA第24頁/共47頁第二十五頁，編

20、輯于星期三：八點 五十四分。26伴算符是相互的，下面予以證明。伴算符是相互的，下面予以證明。3. 伴算符的性質伴算符的性質2. 運算規則運算規則ABBAABBA,) 1 (*| )2(aa|)3(A一般表示一般表示 ，但可定義，但可定義| )|(A| )|()|( |AA這樣這樣 就是右矢空間中一個確定的算符了就是右矢空間中一個確定的算符了, ,可省去括號。可省去括號。A第25頁/共47頁第二十六頁，編輯于星期三：八點 五十四分。27證證 取取| A（1）把上式看作左矢）把上式看作左矢 與右矢與右矢 的內積，則的內積，則|A)|( |AA*|)( |A*|)( |A（2）把上式看作左矢）把上式

21、看作左矢 與右矢與右矢 的內積，則的內積，則A| )|(|AA*)|( |A*|A比較（比較（1）（）（2）有）有|)( |AA因為因為 是各自在一定范圍內的任意矢量是各自在一定范圍內的任意矢量| ,|所以所以AA)(故伴算符的伴算符就是原算符本身。故伴算符的伴算符就是原算符本身。第26頁/共47頁第二十七頁，編輯于星期三：八點 五十四分。28左矢和右矢是兩個互為對偶的空間:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.這種能左能右的性質是對偶空間優于單一空間的主要之點.當然也可定義.| )|()|( |BB二、一條定理證（1）必要性：是明顯的0A| A定理：在復矢量空間中，若算符A對其定義域中

22、的任意 滿足 ，則必有 0|A0A|（2）充分性：在A的定義域中取兩任意矢量 ,則| ,|0|A|AAAA第27頁/共47頁第二十八頁，編輯于星期三：八點 五十四分。29由此得|AAA|AA若對任意 滿足 ，則上式右方為0A,|0|A所以有0|AA既然上式對任意 成立，可將上式中的 換為|ii|ii相應左矢為 ，則有第28頁/共47頁第二十九頁，編輯于星期三：八點 五十四分。300)|(|AAiAiiA從而有0|A由于 是任意左矢，故有|OA 但 是任意右矢，所以有|0|A前面我們學習了作用于左右矢的算符的性質，即前面我們學習了作用于左右矢的算符的性質，即|AA AA|下面看單一空間的情況。下

23、面看單一空間的情況。第29頁/共47頁第三十頁，編輯于星期三：八點 五十四分。31三、單一空間的情況對式對式,| )|()|( |BB右邊右邊右矢右矢 與左矢與左矢 的內積的內積|B|單一空間說法：單一空間說法：右矢右矢 與右矢與右矢 的內積的內積|B這正是伴算符這正是伴算符 的定義式，即的定義式，即B),(),( BB在單一空間中在單一空間中 常被稱為常被稱為 的厄米共軛算符。的厄米共軛算符。BB即若已知算符即若已知算符 ，有，有 存在滿足上式，則存在滿足上式，則 即即 的伴算符。的伴算符。BBBB第30頁/共47頁第三十一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。321.1.定義：定義：2.4 厄

24、米厄米算符和幺正算符算符和幺正算符一、厄米算符若算符若算符H滿足滿足HH則算符則算符H就是厄米算符，又稱自伴算符。就是厄米算符，又稱自伴算符。在單一空間中稱為自軛算符。在單一空間中稱為自軛算符。2.2.定理：定理：算符算符H為厄米算符的充要條件是對其定義為厄米算符的充要條件是對其定義域中所有的矢量域中所有的矢量 滿足滿足|實數| H 證證 （1 1）必要性：）必要性：HH實數| H HH對任意對任意 有有|第31頁/共47頁第三十二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。33HH|必為實數| H（2 2）充分性：）充分性： HH為實數| H若對任意若對任意 ， ，則，則|為實數| H*|H即即0|H

25、H因為上式對任意因為上式對任意 都成立，由上一節所都成立，由上一節所介紹的定理，必有介紹的定理，必有|HHHH或0*|H*|H*|H*|HH| H|H第32頁/共47頁第三十三頁，編輯于星期三：八點 五十四分。34二、等距算符1.1.定義：定義：若算符若算符U滿足滿足 , ,則為等距算符。則為等距算符。IUU2.2.性質定理：以下三命題是等價的性質定理：以下三命題是等價的（1）IUU（2）對任意）對任意 和和 ，U滿足滿足|UU（3） 對任意對任意 都成立。都成立。|U 證證 依次證明前一條是后一條的充分條件依次證明前一條是后一條的充分條件)2() 1 (若若 ，則，則IUU|UUUU|第33

26、頁/共47頁第三十四頁，編輯于星期三：八點 五十四分。35) 3()2(令令 ，則，則|UU|U) 1 () 3(|UU0|IUUOIUU即即IUU三、幺正算符1.1.定義：定義：若算符若算符U滿足下列性質滿足下列性質IUUUU即即 ，則該算符為幺正算符。，則該算符為幺正算符。顯然它是等距算符。顯然它是等距算符。UU第34頁/共47頁第三十五頁，編輯于星期三：八點 五十四分。362. 性質定理性質定理除滿足等距算符的性質外，另有兩個性質定理。除滿足等距算符的性質外，另有兩個性質定理。定理定理1 在矢量空間中，若在矢量空間中，若 是一組基矢，則是一組基矢，則 也是一組基矢。也是一組基矢。|i|i

27、U 證證 只需證明只需證明 正交歸一完備即可。正交歸一完備即可。|iUjijiUUUU| 正交歸一滿足。正交歸一滿足。又取任意兩個矢量又取任意兩個矢量| ,|iiiiiiUUUU|UU 完備性滿足（完備性滿足（Parseval等式）。等式）。ijji|第35頁/共47頁第三十六頁，編輯于星期三：八點 五十四分。37定理定理2 若若 和和 是同一空間的兩組基矢，則是同一空間的兩組基矢，則 兩者必能由一個幺正算符聯系起來。即存兩者必能由一個幺正算符聯系起來。即存 在一個幺正算符在一個幺正算符U，使得，使得|i|iiiU| 證證 兩組基矢的數目必定是相同的。兩組基矢的數目必定是相同的。定義一個算符定

28、義一個算符A，使，使iiA|任取二矢量任取二矢量 ，由于，由于 都是完都是完全的，滿足全的，滿足Parseval等式。等式。| ,|,|ii故故iii|AA|iiiAA|iiiAA|第36頁/共47頁第三十七頁，編輯于星期三：八點 五十四分。38同樣，利用同樣，利用 可以得到可以得到iiA|1IAA( (因為總可以定義一個算符因為總可以定義一個算符B，使得，使得 ，這個這個B就是就是 ) )iiB|1A得證。得證。AA|即即|AAIAA AAAAiii|所以聯系兩組基矢的算符所以聯系兩組基矢的算符A必然是幺正算符。必然是幺正算符。第37頁/共47頁第三十八頁，編輯于星期三：八點 五十四分。39

29、四、幺正變換1.矢量的幺正變換 把一個矢量空間的全部矢量都用一個幺正算符把一個矢量空間的全部矢量都用一個幺正算符作用，對其中每一個矢量作用，對其中每一個矢量 和和 ，各得一個新，各得一個新矢量矢量 和和 。這一操作稱為矢量的幺正變換。這一操作稱為矢量的幺正變換。|性質： 由幺正算符的性質可知，幺正變換不改變矢量由幺正算符的性質可知，幺正變換不改變矢量的模、內積及正交關系。因此一組基矢經過幺正的模、內積及正交關系。因此一組基矢經過幺正變換后仍是這個空間的一組基矢。從這一點上看，變換后仍是這個空間的一組基矢。從這一點上看，在物理上有時稱矢量的幺正變換為矢量（在多維在物理上有時稱矢量的幺正變換為矢量

30、（在多維空間）的轉動。空間）的轉動。第38頁/共47頁第三十九頁，編輯于星期三：八點 五十四分。402.算符的幺正變換 設有一個確定的算符設有一個確定的算符A，它對空間中每一個矢，它對空間中每一個矢量量 作用得到新矢量作用得到新矢量 ：|A現在用幺正算符現在用幺正算符U對空間中全部矢量幺正變換對空間中全部矢量幺正變換|,|UU設聯系設聯系 與與 的算符為的算符為 ，即，即 ，則，則| A| A 為算符為算符A的幺正變換。的幺正變換。 A下面求下面求 與與 的關系。的關系。 AA第39頁/共47頁第四十頁，編輯于星期三：八點 五十四分。41|1UAUUAU而而| |A對任意對任意 有有| 1UA

31、UA故故1UAUA就是算符與矢量的幺正變換。就是算符與矢量的幺正變換。上式與式上式與式|,|UU由此可以看出：由此可以看出：一個包含矢量和算符的關系式，一個包含矢量和算符的關系式，經過幺正變換后其形式不變。經過幺正變換后其形式不變。第40頁/共47頁第四十一頁，編輯于星期三：八點 五十四分。422.5 投影投影算符算符一、定義,|aa| 將將 作用到右矢和左矢上：作用到右矢和左矢上：|顯然得到的是新的右矢和左矢，故顯然得到的是新的右矢和左矢，故 實際實際上是一個算符。上是一個算符。| 但這類算符一般意義不大。有用的是由基右矢或但這類算符一般意義不大。有用的是由基右矢或基左矢構成的算符，叫投影算符。基左矢構成的算符，叫投影算符。 在空間中取一組基矢在空間中取一組基矢 ，其投影算符是，其投影算符是|i|iiiP第41頁/共47頁第四十二頁，編輯于星期三：八點 五十四分。43|iiiP|iiiP這是基右矢這是基右矢 乘以矢量乘以矢量 在在 上的分量。上的分量。i|i| 作用到右矢作用到右矢 上得上得|iP 若沿用三維位形空間的術語，這就