1、精品文檔解三角形專題2三角形解的個數問題A為銳角A為鈍角或直角圖形UjL廠嚴* a-c.AF”關系A<bsi nAA=bsi nAbsin A<a<ba > ba< b解的 個數無解一解兩解一解無解1已知下列三角形中的兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形是否有解，并指出有幾解？ a 7,b 8, A 105°(2) a 10,b 20, A 80°(3) b 10,c 5、6, C 60°(4) a 2、3,b 6, A 30°答案:(1) A 90°而a b，故無解 A 90°,a bsi nA b，故有無

2、解(3) c b，故有一組解(4) A 90°,bsi nA a b，故有兩組解2 在厶ABC中, A=450，AB=*3，則“ BC= 2 ”是“ ABC只有一解且 C=60° ”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既為充分也不必要條件另解法法1:大角對大邊在已知 ABC中的邊長a，b和角A，且已知a，b的大小關系，常利用正弦定理結合“大精品文檔 邊對大角” 來判斷三角形解的個數，一般的做法如下，首先利用大邊對大角,判斷出角B與角A的大小關系，然后求出B的值，根據三角函數的有界性求解.B 45，求 A、解：由正弦定理，得sinA彎B 3sin45B 4

3、5290 , b a，二 A 60 或 120 .當A 60時,C 75 ,bsin Csin B.2 si n75sin 45,2 ；2當A 120時,C 15 ,bsin Csin B.2sin15sin 45例 1】在 ABC 中，已知 a ,3 , b 、.2 ,精品文檔點評：在三角形中,B si nA si nB這是個隱含條件，在使用時我們要注意挖掘.法2: 二次方程的正根個數般地，在 ABC中的邊長a , b和角A，常常可對角A應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2 2bccosA b2 a2 0，若該方程無解或只有負數解，則該三角形無解；若方程有一個正數解，則該三角形

4、有一解；若方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解.DAD 10, AB 14,【例2】如圖，在四邊形ABCD中，已知AD CD ,BDA 60 , BCD 135，求 BC 的長.解：在 ABD中，設BD由余弦定理得142 x2102 2 10xcos60 AC整理得x2 10x 960，解得x 16 .由正弦定理，得BCBDsin CDB 16sin30sin BCD si n135 點評：已知三角形兩邊和其中一邊的對角，我們可以采用正弦定理或余弦定理求解，從上述 例子可以看出，利用余弦定理結合二次方程來判斷顯得更加簡捷.法3:畫圓法已知 ABC中，A為已知角（90 ），先畫出A，確定頂點A，再在A的一邊上確定頂點C ,使AC精品文檔邊長為已知長度，最后以頂點C為圓心，以CB邊長為半徑畫圓，看該圓與A的另一邊是否有 交點，如果沒有交點，則說明該三角形的解的個數為0;若有一個交點，則說明該三角形的解的個數為1； 若有兩個 交點，則說明該三角形的解的個數為 2.(C)有兩解3，作 CAD 60，b 3，貝U ABC解的情況【例3】在ABC中，A 60，a ,6，(A)無解(B)