1、考點11 函數的奇偶性與周期性【命題解讀】關于函數性質的考查：以考查能力為主，往往以常見函數（二次函數、指數函數、對數函數）為基本考察對象，以絕對值或分段函數的呈現方式，與不等式相結合，考查函數的基本性質，如奇偶性、單調性與最值、函數與方程（零點）、不等式的解法等，考查數學式子變形的能力、運算求解能力、等價轉化思想和數形結合思想.其中函數與方程考查頻率較高.涉及函數性質的考查；【基礎知識回顧】 1、 奇、偶函數的定義對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，則稱f(x)為奇函數；對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f

2、(x)0)，則稱f(x)為偶函數2、 奇、偶函數的性質(1)具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱(也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱)(2)奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱(3)若奇函數的定義域包含0，則f(0)_0_(4)若函數f(x)是偶函數，則有f(|x|)f(x)(5)奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反3、 周期性(1)周期函數對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數t，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xt)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱t為這個函數的周期(2)最小正周期如果在周期函數f(

3、x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期4、函數奇偶性常用結論(1)如果函數f(x)是奇函數且在x0處有定義，則一定有f(0)0；如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性5、函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量x：(1)若f(xa)f(x)，則t2a(a>0)(2)若f(xa)，則t2a(a>0)(3)若f(xa)，則t2a(a>0)6、函數圖象的對稱性(1)若函數yf(xa)是偶函數，即f(ax)f(ax)，則函數yf(x)的圖象

4、關于直線xa對稱(2)若對于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關于直線xa對稱(3)若函數yf(xb)是奇函數，即f(xb)f(xb)0，則函數yf(x)關于點(b，0)中心對稱1、下列函數為奇函數的是a b c d【答案】d【解析】函數的定義域為，不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，排除a；因為為偶函數，所以排除b；因為為偶函數，所以排除c；因為，所以為奇函數2、若函數為奇函數，則=(a) (b) (c) (d)1【答案】a【解析】為奇函數，得3、設是定義在上的奇函數，當時，則=a3 b1 c1 d3【答案】a【解析】因為是定義在r上的奇函數，

5、且當時，選a4、設函數，的定義域都為r，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是a是偶函數 b|是奇函數c|是奇函數 d|是奇函數【答案】b【解析】為奇函數，為偶函數，故為奇函數，|為奇函數，|為偶函數，|為偶函數，故選b5、（2019·福建莆田一中模擬）定義在r上的奇函數f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0，1上是減函數，則有()af<f<fbf<f<fcf<f<fdf<f<f【答案】c【解析】因為f(x2)f(x)，所以f(x22)f(x2)f(x)，所以函數的周期為4，作出f(x)的草圖(如圖)，由圖可知f<f<f，

6、6、(多選)已知偶函數f(x)滿足f(x)f(2x)0，下列說法正確的是()a函數f(x)是以2為周期的周期函數b函數f(x)是以4為周期的周期函數c函數f(x2)為偶函數d函數f(x3)為偶函數【答案】bc【解析】偶函數f(x)滿足f(x)f(2x)0，即有f(x)f(x)f(2x)，即為f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期為4，故a錯誤，b正確；由f(x)f(2x)0，可得f(x)f(2x)0，兩式相減得f(2x)f(2x)0，故f(2x)f(2x)，f(x2)為偶函數，故c正確；由f(x)為偶函數得f(x3)f(x3)，若f(x3)為偶函數，則有f(

7、x3)f(x3)，可得f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6為f(x)的周期，這與4為最小正周期矛盾，故d錯誤故選b、c.7、(2018江蘇)函數滿足，且在區間上，則的值為 【答案】【解析】因為函數滿足()，所以函數的最小正周期是4因為在區間 上，所以考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)【解析】：(1)由得x±1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數又是偶函數(2)函數f(x)的定義域為，不關于坐

8、標原點對稱，函數f(x)既不是奇函數，也不是偶函數(3)f(x)的定義域為r，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)為奇函數(4)由得2x2且x0f(x)的定義域為2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(5)易知函數的定義域為(，0)(0，)關于原點對稱，又當x>0時，f(x)x2x，則當x<0時，x>0，故f(x)x2xf(x)；當x<0時，f(x)x2x，則當x>0時，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函數是偶函數變式1、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).（4）f(x)【

9、解析】(1)由得x±3.f(x)的定義域為3，3，此時f(x)0.又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數，又是偶函數(2)由得1<x1.f(x)的定義域(1，1不關于原點對稱f(x)既不是奇函數，也不是偶函數(3)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2，0)(0，2，關于原點對稱此時，有f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(3)當x>0時，f(x)x22x1，x<0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；當x<0時，f(x)x22x1，x>0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)

10、所以f(x)為奇函數變式2、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).【解析】：(1)由x21x±1，故函數f(x)的定義域為1，1，關于原點對稱，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函數f(x)既是奇函數又是偶函數(2)因為f(x)有意義，則滿足0，所以1<x1，所以f(x)的定義域不關于原點對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(3)因為所以2x2且x0，所以定義域關于原點對稱又f(x)，所以f(x)f(x)故函數f(x)為偶函數方法總結：1. 判斷函數的奇偶性，首先看函數的定義域是否關于原點對稱若函數定義域關于原點不對稱，則此函

11、數一定是非奇非偶函數；若定義域關于原點對稱，再化簡解析式，根據f(x)與f(x)的關系結合定義作出判斷2. 在函數的定義域關于原點對稱的條件下，要說明一個函數是奇(偶)函數，必須證明f(x)f(x)(f(x)f(x)對定義域中的任意x都成立；而要說明一個函數是非奇非偶函數，則只須舉出一個反例就可以了3. 分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數，分段函數奇偶性的判斷，要分別從x0或x0來尋找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有當對稱的兩個區間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性考向二 函數的周期性及應用例2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯考）已知定義在上的

12、函數滿足，且圖像關于對稱，當時，則_.【答案】-2【解析】因為圖像關于對稱，則，故是以8為周期的周期函數，故答案為：.變式1、已知函數f（x）滿足f（0）2，且對任意xr都滿足f（x+3）f（x），則f（2019）的值為（）a2019b2c0d2【答案】d【解析】f（x+3）f（x），f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期為6，f（2019）f（3），又f（3）f（0）2，f（2019）2故選：d變式2、 定義在r上的函數f(x)滿足f(x6)f(x)當3x<1時，f(x)(x2)2；當1x<3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 019)_【答案】338【解

13、析】由f(x6)f(x)可知，函數f(x)的周期為6，f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，在一個周期內有f(1)f(2)f(6)1210101，f(1)f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336×112(1)336338.變式3、設是定義在上的周期為2的函數，當時，則 【答案】【解析】變式4、設f(x)是定義在r上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x2)f(x)，當x0，2時，f(x)2xx2(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x2，4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2

14、016)【解析】(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(2)解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1又f(x)是周期為4的周期函數，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 015)0f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)0方法總結：(1)判斷函

15、數的周期性只需證明f(xt)f(x)(t0)即可，且周期為t(2)根據函數的周期性，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題(3)在解決具體問題時，要注意結論“若t是函數的周期，則kt(kz且k0)也是函數的周期”的應用(4)除f(xt)f(x)(t0)之外，其它一些隱含周期的條件：，等考向三 函數奇偶性與單調性、周期性的應用例3、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知函數是定義在上的奇函數，當時，有恒成立，若，則x的取值范圍是_【答案】【解析】根據已知條件：當時，有恒成立，得函數是定義在上的減函數，又因為函數是定義在上的奇函數，所以，故等價于，所以，

16、即.故答案為：.變式1、（2020·河南高三月考（理）已知是偶函數，在上單調遞減，則的解集是（ ）abcd【答案】d【解析】因為是偶函數，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調遞減，則在上單調遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.變式2、（2017江蘇）已知函數，其中是自然數對數的底數，若，則實數 的取值范圍是 【答案】【解析】因為，所以函數是奇函數，因為，所以數在上單調遞增，又，即，所以，即，解得，故實數的取值范圍為變式3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知為定義在上的奇函數，當時，有，且當時，下列命題正確的是（ ）ab函數在定義域

17、上是周期為的函數c直線與函數的圖象有個交點d函數的值域為【答案】a【解析】函數是上的奇函數，由題意可得，當時，a選項正確；當時，則，則函數不是上周期為的函數，b選項錯誤；若為奇數時，若為偶數，則，即當時，當時，若，且當時，當時，則，當時，則，所以，函數在上的值域為，由奇函數的性質可知，函數在上的值域為，由此可知，函數在上的值域為，d選項錯誤；如下圖所示：由圖象可知，當時，函數與函數的圖象只有一個交點，當或時，此時，函數與函數沒有交點，則函數與函數有且只有一個交點，c選項錯誤.故選：a.變式4、（多選題）（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（ ）

18、a函數是周期函數b函數的圖象關于點對稱c函數為上的偶函數d函數為上的單調函數【答案】abc【解析】因為，所以，即，故a正確；因為函數為奇函數，所以函數圖像關于原點成中心對稱，所以b正確；又函數為奇函數，所以，根據，令代有，所以，令代有，即函數為上的偶函數，c正確；因為函數為奇函數，所以，又函數為上的偶函數，所以函數不單調，d不正確.故選：abc.方法總結：1. 已知函數的奇偶性，反求參數的取值，有兩種思路：一種思路是根據定義，由f(x)f(x)或f(x)f(x)對定義域內的任意x恒成立，建立起關于參數的方程，解方程求出參數之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數所滿足條件，再驗證其充分性得出結

19、果2. 函數的奇偶性與單調性之間有著緊密的聯系，奇函數在其關于原點對稱的區間上單調性相同，偶函數在其關于原點對稱的區間上單調性相反，掌握這一關系，對于求解有關奇偶性與單調性的綜合問題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視1、（2020全國文10）設函數，則（ ）a是奇函數，且在單調遞增b是奇函數，且在單調遞減c是偶函數，且在單調遞增d是偶函數，且在單調遞減【答案】a【解析】函數定義域為，其關于原點對稱，而，函數為奇函數又函數在上單調遞增，在（-，0）上單調遞增，而在上單調遞減，在（-，0）上單調遞減，函數在上單調遞增，在（-，0）上單調遞增故選a2、（2020山東8）若定義在上的奇函數在單調遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）a b c d【答案】d【解析】因為定義在上的奇函數在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，所以當時，當時，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選d3、(2018全國卷)已知是定義域為的奇函數，滿足若，則ab0c2d50【答案】c【解析】是定義域為的奇函數，且，是周期函數，且一個周期為4， =，