1、第五節冪函數與二次函數最新考綱1.(1)了解冪函數的概念；(2)結合函數yx，yx2，yx3，yx，y的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題1冪函數(1)冪函數的定義一般地，形如yx(r)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數(2)常見的五種冪函數的圖象和性質比較函數yxyx2yx3yxyx1圖象性質定義域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在r上單調遞增在(，0上單調遞減；在(0，)上單調遞增在r上單調遞增在0，)上單調遞增在(，0)和(0，)上單調遞減公共

2、點(1,1)2.二次函數解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數的圖象和性質解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域rr值域單調性在x上單調遞減；在x上單調遞增在x上單調遞增；在x上單調遞減對稱性函數的圖象關于直線x對稱1冪函數yx在第一象限的兩個重要結論(1)恒過點(1,1)；(2)當x(0,1)時，越大，函數值越小；當x(1，)時，越大，函數值越大2一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”

3、；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數y2x是冪函數()(2)如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點()(3)當0時，冪函數yx是定義域上的減函數()(4)二次函數yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函數yax2bxc，xr不可能是偶函數()(6)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小()答案(1)×(2)(3)×(4)×(5)×(6)二、教材改編1已知冪函數f(x)k·x的圖象過點，則k()a

4、.b1c. d2c因為函數f(x)k·x是冪函數，所以k1，又函數f(x)的圖象過點，所以，解得，則k.2.如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關系為()acba babccbca dacbd根據冪函數的性質，可知選d.3已知函數f(x)x24ax在區間(，6)內單調遞減，則a的取值范圍是()aa3 ba3ca3 da3d函數f(x)x24ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x2a，由函數在區間(，6)內單調遞減可知，區間(，6)應在直線x2a的左側，所以2a6，解得a3，故選d.4函數g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1

5、)21，x0,3，當x1時，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域為1,3考點1冪函數的圖象及性質冪函數的性質與圖象特征的關系(1)冪函數的形式是yx(r)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)判斷冪函數yx(r)的奇偶性時，當是分數時，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數yx在(0，)上單調遞增，則0，若在(0，)上單調遞減，則0.1.冪函數yf(x)的圖象經過點(3，)，則f(x)是()a偶函數，且在(0，)上是增函數b偶函數，且在(0，)上是減函數c奇函數，且在(0，)上是減函數d非奇非偶函數，且在(0，)上是增

6、函數d設冪函數f(x)x，則f(3)3，解得，則f(x)x，是非奇非偶函數，且在(0，)上是增函數2當x(0，)時，冪函數y(m2m1)x5m3為減函數，則實數m的值為()a2b1c1或2 dmb因為函數y(m2m1)x5m3既是冪函數又是(0，)上的減函數，所以解得m1.3若a，b，c，則a，b，c的大小關系是()aabc bcabcbca dbacd因為yx在第一象限內是增函數，所以ab，因為yx是減函數，所以ac，所以bac.4若(a1)(32a)，則實數a的取值范圍是_易知函數yx的定義域為0，)，在定義域內為增函數，所以解得1a.在比較冪值的大小時， 必須結合冪值的特點，選擇適當的函

7、數，借助其單調性進行比較，如t3.考點2求二次函數的解析式求二次函數解析式的策略一題多解已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式解法一：(利用二次函數的一般式)設f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數為f(x)4x24x7.法二：(利用二次函數的頂點式)設f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m，又根據題意函數有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用零點式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，

8、即f(x)ax2ax2a1.又函數有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數解析式為f(x)4x24x7.求二次函數的解析式常利用待定系數法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同1.已知二次函數f(x)的圖象的頂點坐標是(2，1)，且圖象經過點(1,0)，則函數的解析式為f(x)_.x2x法一：(一般式)設所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法二：(頂點式)設所求解析式為f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，將點(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.2已知二次函數f(x

9、)的圖象經過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xr，都有f(2x)f(2x)，則函數的解析式f(x)_.x24x3f(2x)f(2x)對xr恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象經過點(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考點3二次函數的圖象與性質解決二次函數圖象與性質問題時應注意2點(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區間三者相互制約，要注意分類討論(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給

10、定區間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)二次函數的圖象已知abc0，則二次函數f(x)ax2bxc的圖象可能是()a bc dda項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故a錯b項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故b錯c項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故c錯d項，因為a0，0，所以b0，因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故選d.識別二次函數圖象應學會“三看”二次函數的單調性函數f(x)ax2(a3)x1在區間1，)上是遞減的，則實數a的取值范圍是()a3

11、,0) b(，3c2,0 d3,0d當a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當a0時，f(x)的對稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0母題探究若函數f(x)ax2(a3)x1的單調減區間是1，)，則a_.3由題意知f(x)必為二次函數且a0，又1，a3.二次函數單調性問題的求解策略(1)對于二次函數的單調性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或對稱軸的位置不確定，則需要分類討論求解(2)利用二次函數的單調性比較大小，一定要將待比較的兩數通過二次函數的對稱性轉化到同一單調區間上比較二次函數的最值問題設函數f(x)x22x2，xt，t1，tr，求

12、函數f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tr，函數圖象的對稱軸為x1.當t11，即t0時，函數圖象如圖(1)所示，函數f(x)在區間t，t1上為減函數，所以最小值為f(t1)t21；當t1t1，即0t1時，函數圖象如圖(2)所示，在對稱軸x1處取得最小值，最小值為f(1)1；當t1時，函數圖象如圖(3)所示，函數f(x)在區間t，t1上為增函數，所以最小值f(t)t22t2.綜上可知，f(x)min圖(1) 圖(2) 圖(3)逆向問題已知函數f(x)x22ax1a在x0,1時，有最大值2，則a的值為_1或2函數f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa

13、.當a0時，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當0a1時，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)當a1時，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動不論哪種類型，解題的關鍵都是對稱軸與區間的位置關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論二次函數中的恒成立問題(1)已知函數f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數m的取值范圍是_；(2)已知函數f(x)x22x1，f(x)xk在區間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_

14、(1)(2)(，1)(1)作出二次函數f(x)的草圖如圖所示，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.(2)由題意得x2x1k在區間3，1上恒成立設g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范圍為(，1)由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離這兩個思路的依據是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.教師備選例題已知函數f(x)ax2bxc(a0，br，cr)(1)若

15、函數f(x)的最小值是f(1)0，且c1，f(x)求f(2)f(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區間(0,1上恒成立，試求b的取值范圍解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以f(x)所以f(2)f(2)(21)2(21)28.(2)由題意知f(x)x2bx，原命題等價于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又當x(0,1時，x的最小值為0，x的最大值為2.所以2b0.故b的取值范圍是2,01.若一次函數yaxb的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數yax2bx的圖象只可能是()a bc dc因為一次函數yaxb的圖象經過第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函數的圖象開口向下，對稱軸方程x0，只有選項c適合2若函數yx23x4的定義域為0，m，值域為，4