1、考點04 不等式及性質【命題解讀】不等式的性質是新高考常考查的知識點，主要常見于單選題或者多選題中出現。考查不等式的比較大小，常用的方法一是運用不等式的性質進行判斷，二是運用特殊化進行排除。【基礎知識回顧】 1、兩個實數比較大小的依據(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2、不等式的性質(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>cac；(3)可加性：a>bacbc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc; a>b>0，c>d>0ac>bd； c&

2、lt;0時應變號(5)可乘方性：a>b>0anbn(nn，n1)；(6)可開方性：a>b>0 (nn，n2)3、常見的結論(1)a>b，ab>0<.(2)a<0<b<.(3)a>b>0,0<c<d>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0<<.4、兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)<；>(bm>0)(2)>；<(bm>0)1、下列四個命題中，為真命題的是()a若a>b，則ac2>bc2

3、b若a>b，c>d，則ac>bdc若a>|b|，則a2>b2d若a>b，則<【答案】c【解析】當c0時，a不成立；2>1，3>1，而23<1(1)，故b不成立；a2，b1時，d不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選c2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯考）（多選題）設，則下列不等式中恒成立的是（ ）abcd【答案】cd【解析】當，滿足條件但不成立，故a錯誤，當時，故b錯誤，則，故c正確，故d正確.故選：cd3、（2020江蘇鹽城中學月考）（多選題）下列命題為真命題的是（ ）.a若，則b若，則c若，

4、且，則d若，且，則【答案】bcd【解析】選項a：當取，時，本命題是假命題.選項b：已知，所以，故，本命題是真命題.選項c：，本命題是真命題.選項d：，本命題是真命題.故選：bcd4、若a，b，則a_b(填“”或“”)【答案】【解析】：易知a，b都是正數，log891，所以ba.5、已知1<x<4,2<y<3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_【答案】：(4,2)(1,18)【解析】1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4&

5、lt;2y<6，1<3x2y<18.考向一不等式的性質例1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知均為實數，則下列命題正確的是（ ）a若，則b若，則c若則d若則【答案】bc【解析】若，則，故a錯；若，則，化簡得，故b對；若，則，又，則，故c對；若，則，故d錯；故選：bc變式1、若0，給出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正確的不等式是()a. b. c. d.【答案】c【解析】方法一因為0，故可取a1，b2.顯然|a|b1210，所以錯誤；因為ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以錯誤.綜上所述，可排除a，b，d.方法二由0

6、，可知ba0.中，因為ab0，ab0，所以0，0.故有，即正確；中，因為ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯誤；中，因為ba0，又0，則0，所以ab，故正確；中，因為ba0，根據yx2在(，0)上為減函數，可得b2a20，而yln x在定義域(0，)上為增函數，所以ln b2ln a2，故錯誤.由以上分析，知正確.變式2、已知x，yr，且x>y>0，則()a>0 bsinxsiny>0cxy<0 dln xln y>0【答案】c【解析】函數yx在(0，)上為減函數，當x>y>0時，x<y，即xy<0，故c正確；函數y在(

7、0，)上為減函數，由x>y>0<<0，故a錯誤；函數ysinx在(0，)上不單調，當x>y>0時，不能比較sinx與siny的大小，故b錯誤；x>y>0¿xy>1¿ln (xy)>0¿ln xln y>0，故d錯誤變式3、（2020·邵東創新實驗學校高三月考）下列不等式成立的是（ ）a若ab0，則a2b2b若ab4，則ab4c若ab，則ac2bc2d若ab0，m0，則【答案】ad【解析】對于a，若，根據不等式的性質則，故a正確；對于b，當，時，顯然b錯誤；對于c，當時，故c錯誤；對于d，因

8、為，所以，所以所以，即成立，故d正確故選ad方法總結：判斷多個不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質，常見的反例構成方式可從以下幾個方面思考：不等式兩邊都乘以一個代數式時，考察所乘的代數式是正數、負數或0；不等式左邊是正數，右邊是負數，當兩邊同時平方后不等號方向不一定保持不變；不等式左邊是正數，右邊是負數，當兩邊同時取倒數后不等號方向不變等.考向二 不等式的比較大小例2、設a>b>0，試比較與的大小解法一(作差法)：因為a>b>0，所以ab>0，ab>0，2ab>0所以>0，所以>解法二(作商法)

9、：因為a>b>0，所以>0，>0所以1>1所以>變式1、若a<0，b<0，則p與qab的大小關系為()ap<q bpqcp>q dpq【答案】：b【解析】(作差法)pqab(b2a2)·，因為a<0，b<0，所以ab<0，ab>0.若ab，則pq0，故pq；若ab，則pq<0，故p<q.綜上，pq.故選b.變式2、已知a>b>0，比較aabb與abba的大小【解析】 ，又a>b>0，故>1，ab>0，>1，即>1，又abba>0，aab

10、b>abba，aabb與abba的大小關系為aabb>abba.變式3、設0<x<1，a>0且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小解法一：當a>1時，由0<x<1知，loga(1x)<0，loga(1x)>0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，0<1x2<1，loga(1x2)<0，從而loga(1x2)>0，故|loga(1x)|>|loga(1x)|當0<a<1時，同樣可得|loga(1x)|>|loga(

11、1x)|解法二(平方作差)：|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)·logaloga(1x2)·loga>0|loga(1x)|2>|loga(1x)|2，故|loga(1x)|>|loga(1x)|方法總結：比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差變形判斷差與0的大小得出結論(2)作商法，其步驟：作商變形判斷商與1的大小得出結論(3)構造函數法：構造函數，利用函數單調性比較大小考向三 運用不等式求代數式的取值范圍例3、設f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_.

12、【答案】5，10【解析】方法一設f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數)，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.變式1、設那么的取值范圍是_【答案】 【解析】：由題設得， 變式2、(2020·天津模擬)若，滿足<<<，則2的取值范圍是()a<2<0 b<2<c<2< d0<2<【答案】c【解析】：<<，<2<.<<，<<，<

13、;2<.又<0，<，2<.故<2<.方法總結：求代數式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍1、（2019年高考全國ii卷理數）若a>b，則aln(ab)>0b3a<3bca3b3>0da>b【答案】c【解析】取，滿足，知a錯，排除a；因為，知b錯，排除b；取，滿足，知d錯，排除d，因為冪函數是增函數，所以，故選c2、（2016新課標，理8）若，則abcd【答案】c【解析】，函數在上為增函數，故，故錯誤，函數在上為減函數，故，故，即；故錯誤；，且，即，即故錯誤；，故，即，即，故正確；故選3、（20

14、14山東）若，則一定有（ ）a b c d【答案】d【解析】由，又，由不等式性質知：，所以，故選d4、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）若，則下列不等式中正確的是（ ）abcd【答案】ad【解析】對a，由指數函數的單調性可知，當，有，故a 正確；對b，當時，不成立，故b錯誤；對c，當時，不成立，故c錯誤；對d，成立，從而有成立，故d正確；故選：ad.5、已知，則的取值范圍是 【答案】【解析】令則，又，得則6、若則的大小關系是_【答案】【解析】：7、(1)若bcad0，bd>0，求證：；(2)已知c>a>b>0，求證：>.證明(1)bcad，bd>0，11，.(2)c>a>b>0，ca>0，cb>0.a>