1、23.1 雙曲線的標準方程學 習 目 標核 心 素 養1. 掌握雙曲線的定義，會用雙曲線的定義解決實際問題 ( 重點 ) 2. 掌握用定義法和待定系數法求雙曲線的標準方程 ( 重點 ) 3. 理解雙曲線標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題( 難點 ) 1. 通過對雙曲線的定義，標準方程的學習，培養學生的數學抽象素養. 2.借助于雙曲線標準方程的推導過程，提升學生的邏輯推理、數學運算素養. 1雙曲線的定義2雙曲線的標準方程焦點所在的坐標軸x軸y軸標準方程x2a2y2b21 (a0，b0) y2a2x2b2 1 (a0，b0) 圖形焦點坐標( c,0) ，(c,0)(0 ，c) ，(0

2、 ，c) a，b，c的關系式c2a2b2思考 1：雙曲線中a，b，c的關系如何？與橢圓中a，b，c的關系有何不同？ 提示 雙曲線標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a與b的大小關系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c與b的大小關系不確定思考 2：如何確定雙曲線標準方程的類型？ 提示 焦點f1，f2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型，若x2的系數為正，則焦點在x軸上，若y2的系數為正，則焦點在y軸上1若點m在雙曲線x216y241 上，雙曲線的焦點為f1，f

3、2，且 |mf1| 3|mf2| ，則 |mf2| 等于( ) a2 b4 c 8 d12 b 雙曲線中a216，a4,2a8， 由雙曲線定義知|mf1| |mf2| 8， 又|mf1| 3|mf2| ，所以 3|mf2| |mf2| 8，解得 |mf2| 4. 2雙曲線x210y22 1 的焦距為 ( ) a32 b 42 c 33 d 43 d 解a210，b22，c2a2b212，c23，2c43，故選 d. 3已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標準方程為_x225y224 1 或y225x2241b2c2a2 492524，雙曲線方程為x225y2241 或y225x2241. 雙曲

4、線定義的應用 探究問題 1如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|f1f2| ”？ 提示 若將“小于 |f1f2| ”改為“等于 |f1f2| ”，其余條件不變，則動點軌跡是以f1，f2為端點的兩條射線( 包括端點 ) ；若將“小于 |f1f2| 改為“大于 |f1f2| ”，其余條件不變，則動點軌跡不存在；若常數為零，其余條件不變，則動點的軌跡是線段f1f2的中垂線2若 |mf1| |mf2| |f1f2| ，則動點m的軌跡是什么？ 提示 (1) 定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支設f1，f2表示雙曲線的左、右焦點，若 |mf1| |mf2| 2a，則點m在右支上；若 |mf2|

5、|mf1| 2a，則點m在左支上(2) 雙曲線定義的雙向運用：若 |mf1| |mf2| 2a(02a|f1f2|) ，則動點m的軌跡為雙曲線；若動點m在雙曲線上，則|mf1| |mf2| 2a. 【例1】已知f1，f2是雙曲線x29y2161 的兩個焦點，若p是雙曲線左支上的點，且|pf1| |pf2| 32. 試求f1pf2的面積 思路探究 根據雙曲線的定義及余弦定理求出f1pf2即可 解 由x29y2161 得a3，b4，c5. 由雙曲線定義及p是雙曲線左支上的點得|pf1| |pf2| 6，|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2| 36，又|pf1| |pf2| 32，|pf1

6、|2|pf2|2100，由余弦定理得cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|0，f1pf290，sf1pf212|pf1| |pf2| 16. 1( 變換條件 ) 若本例中雙曲線的標準方程不變，且其上一點p到焦點f1的距離為10，求點p到焦點f2的距離 解 由x29y2161 得a3，b4，c5，由雙曲線定義得|pf1| |pf2| 6，即|pf1| |pf2| 6，|pf2| 106，點p到焦點f2的距離為4 或 16. 2( 變換條件 ) 若把本例條件“|pf1| |pf2| 32”換成“|pf1| |pf2| 25”，其他條件不變，試求f1pf2的面

7、積 解 由x29y2161 得a3，b4，c5，由|pf1| |pf2| 25，可設 |pf1| 2k，|pf2| 5k. 由|pf2| |pf1| 6 可得k2，|pf1| 4，|pf2| 10，由余弦定理得cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|16100100241015，sin f1pf2265，sf1pf212|pf1| |pf2| sin f1pf21241026586. 雙曲線上的點p與其兩個焦點f1，f2連接而成的三角形pf1f2稱為焦點三角形. 令|pf1| r1，|pf2| r2，f1pf2，因 |f1f2| 2c，所以有1 定義： |

8、r1r2| 2a. 2 余弦公式： 4c2r21r222r1r2cos . 3 面積公式：spf1f212r1r2sin ., 一般地，在pf1f2中，通過以上三個等式，所求問題就會順利解決. 求雙曲線的標準方程【例 2】求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)a4，經過點a1，4103；(2) 經過點 (3,0) ，( 6， 3) 思路探究 先設出雙曲線的標準方程，再構造關于a，b的方程組求解 解 (1) 當焦點在x軸上時，設所求標準方程為x216y2b2 1(b0) ，把a點的坐標代入，得b21609 16150，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為y216x2b2 1(b0) ，

9、把a點的坐標代入，得b29，所求雙曲線的標準方程為y216x291. (2) 設雙曲線的方程為mx2ny21(mn0，b0且ab. ( ) (3) 雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是ab. ( ) 提示 (1) 差的絕對值是常數，且02a|f1f2| 才是雙曲線(2) a與b大小關系不定，a和b相等時叫等軸雙曲線(3) 2“ab0”是“方程ax2by2c表示雙曲線”的( ) a必要不充分條件b充分不必要條件c充要條件d既不充分也不必要條件a 當方程表示雙曲線時，一定有ab0，反之，當ab0 時，若c0，則方程不表示雙曲線 3若方程x2m1y2m243 表示焦點在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是( ) a(1,2) b(2 ， ) c( ， 2) d( 2,2) c 由題意，方程可化為y2m24x21m3，m240，1m0，解得：m 2. 4已知動圓m與圓c1：(x 3)2y29 外切且與圓c2：(x 3)2y21 內切，則動圓圓心m的軌跡方程是 _x24y251(x2) 設動圓m的半徑為r. 因為動圓m與圓