1、一、直接（或轉化）由等差、等比數列的求和公式求和例 1（ 07 高考山東文18）設 an是公比大于1 的等比數列，sn 為數列 an 的前 n 項和已知 s37 ，且 a13，3a2， a34 構成等差數列（ 1）求數列 an 的等差數列（ 2）令 bnln a3 n1， n1，2，l，求數列 bn 的前 n 項和 t *練習： 設 sn 1+2+3+n， n n , 求二、錯位相減法f (n)sn(n32) sn的最大值 .1例 2（ 07 高考天津理21）在數列a中，a2， aan 1(2)2 n (nn) ，其中0 （）求數列n1an的通項公式；n 1n（）求數列an的前 n 項和sn

2、；例 3（ 07 高考全國文21）設 an 是等差數列， bn 是各項都為正數的等比數列，且a1b11 ， a3b521， a5b313（）求 an， bn 的通項公式；an（）求數列三、逆序相加法的前 n 項和bnsn 2 x例 4（ 07 豫南五市二聯理22. ）設函數1f ( x)x2的圖象上有兩點p1( x1, y1 ) 、 p2( x2,21y 2) ，若 op(op1op2 )2, 且點 p 的橫坐標為.2（ i ）求證： p 點的縱坐標為定值，并求出這個定值；（ ii）若 sn四、裂項求和法f ( 1 )nf ( 2 )nf ( 3 )nf ( n ),n nn * ,求sn ;

3、例 5 求數列1,1122,1,3nn1的前 n 項和 .例 6（ 06 高考湖北卷理17）已知二次函數yf ( x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f ' (x)6 x2 ，數列 an 的前 n 項和為sn ，點 (n, sn )( nn) 均在函數yf ( x) 的圖像上。（）求數列 an的通項公式；（）設b1， t 是數列 b 的前n 項和，求使得tm 對所有 nn都成nnnan an 1n20立的最小正整數m； 五、分組求和法例 7 數列 an 的前 n 項和 sn2an1 ，數列 bn 滿 b13, bn 1anbn (nn).（）證明數列 an 為等比數列；（）求數列 bn

4、的前 n 項和 tn 。例 8 求 s12223242l(1)n1 n2 （ nn）六、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n 項和，是一個重要的方法.例 9求 111111111n個11 之和 .解：由于 1111k個1199999k個11 (10 k1)（找9通項及特征）1111111111n個1（分組求和）1 (1011)91 (10 21)91 (1031)91 (10n1)9 1 (101910 210310 n )1 (19111)n個1110(10 n1)n91019 1 (10n 110819n)例

5、 10已知數列 an ： an8(n1)( n, 求(n3)n 11)( anan 1 )的值 .解： 通項及特征）(n1)( anan 1 )8(n1)(n11)( n3)1（找(n2)(n4) 8 (n12)( n4)1(n3)( n4)（設制分組） 4(1n21)8 (11)n4n3n4（裂項）(nn 1和）1)( an1an 1 )14(1n 1n211)8n4n(11)1n3n4（分組、 裂項求 4()8344 133類型 1an 1anf (n)n1解法：把原遞推公式轉化為an 1anf (n)，利用累加法( 逐差相加法) 求解。n例: 已知數列an滿足 a11 ， aa 21，求

6、2nnan 。解：由條件知：an 1an1n 2n1n(n1)11nn1分別令 n1,2,3, (n1) ，代入上式得( n1) 個等式累加之，即1所以 ana11na11131a1，n122n2n類型 2an 1f (n)an解法：把原遞推公式轉化為an 1anf (n) ，利用累乘法( 逐商相乘法) 求解。例: 已知數列an滿足 a12， an 13na，求nn1an 。解：由條件知式累乘之，即an 1ann，分別令n n11,2,3, (n1) ，代入上式得( n1) 個等a 2 ? a3 a1a2a2n3n? a4 ?a3? an an 12123n1an1234na1n又a1，3例:

7、 已知 a13 ， an 13n1 an3n2(n1) ，求an 。a3( n1)n3( n1)1 ? 3(n2)1 ?23(n2)2? 3232131a?12323n43n7 l52363n13n4853n1 。類型 3an 1panq （其中p， q 均為常數，( pq ( p1)0) ） 。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為： 利用換元法轉化為等比數列求解。an 1tp( ant ) ，其中 tq，再1p例: 已知數列an中， a11 ， an 12an3 ，求an .解：設遞推公式an 12an3 可以轉化為an 1t2(ant ) 即 an 12antt3 .故遞推公式為an 1

8、32( an3) , 令 bnan3 ，則b1a134 , 且bn 11bnan 13an32 . 所以bn是以 b14 為首項， 2 為公比的等比數列，則bn42 n 12 n, 所以 an2 n 13 .變式 : 遞推式：an 1panfn 。解法：只需構造數列bn，消去fn帶來的差異類 型4an 1panqn （ 其 中p ， q均 為 常 數 ，( pq( p1)( q1)0)）。（ an 1panrq n , 其中 p， q, r均為常數）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以n 1q，得：an 1nq n 1p ? an qq n1 引入輔助q數列bn（其中anbnqn），得：

9、bn 1p b1 再待定系數法解決。qq例: 已知數列an中， a15, an 1n161 a(n31 )n 1 ，求2an 。解：在an 111 nan() 321兩邊乘以2n 1 得：2n 1 ?a2 (2n3?an )1令 bn2n ? a，則2bbn 1n31, 解之得：bn32( 2 ) n 所以3n類型 5 遞推公式為sn 與 an 的關系式。( 或 snf (an ) )s1(n1)解法：這種類型一般利用an與snsn 1(n2)ansnsn 1f (an )f ( an1 ) 消去 sn( n2) 或與 snf ( snsn 1 ) ( n2) 消去an 進行求解。例：已知數列

10、a前 n 項和 s4a1. （ 1）求a與 a 的關系； （ 2）求通項n公 式 an .nnn 22n 1n解：（ 1）由 sn4an12 n 2 得：sn 14an 112n 1 于是所 以 an 1anan 112n 1an 1112 an2n .n（ 2）應用類型4（ an 1panqn （其中p， q 均為常數，( pq( p1)( q1)0) ）的方法，上式兩邊同乘以n 1na122得：n 12 n a2 由a1s14a1121 2a11 . 于是數列2 n an是以 2 為首項， 2 為公差的等差數列，n所以 2 n a22(n1)2 nann2 n 1類 型 6 an 1pa nanb ( p1 、0，a 0)解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令an 1x(n1)yp(anxny)， 與 已 知 遞 推 式 比 較 ， 解 出x, y, 從 而 轉 化 為anxny 是公比為p 的等比數列。例: 設數列an： a14, an3an 12n1,( n2) ，求an .解：設 bnananb，則anbnanb ，將an , an1 代入遞推式，得取bnann1（）