1、精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點基本不等式及應用一.考綱要求：1. 明白基本不等式的證明過程 2會用基本不等式解決簡潔的最大 小 值問題 3明白證明不等式的基本方法綜合法二.基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號成立的條件a bab2a>0,b>0a b2三.常用的幾個重要不等式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載21ab 2aba ,b r2ab a b22a , b r精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22a ba b 2ba32 2 a , b r 4a b2a , b 同號且不為零 上述四個不等式等號成立的條件都為a b.精品學習

2、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四.算術平均數與幾何平均數設 a>0, b>0,就 a, b 的算術平均數為算術平均數不小于它們的幾何平均數a b2,幾何平均數為ab,基本不等式可表達為：兩個正數的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四個“平均數”的大小關系；a, b r+： 當且僅當ab 時取等號 .2ab ababa 2b2ab22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載五.利用基本不等式求最值：設x , y 都為正數(1) 假如積 xy 為定值 p,那么當x y 時和 x y 有最小值2p.1 2精品學習資料

3、精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 假如和 x y 為定值 s,那么當x y 時積 xy 有最大值4s .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載強調： 1. “ 積定和最小,和定積最大” 這兩個結論時,應把握三點：“ 一正.二定.三相等.四最值 ”.當條件不完全具備時,應制造條件.正：兩項必需都為正數；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點定：求兩項和的最小值,它們的積應為定值；求兩項積的最大值,它們的和應為定值；等：等號成立的條件必需存在.2.當利用基本不等式求最大 小 值等號取不到時,如何處理？（如最值取不到可考慮函數的單調性）精品學習資料精選學習資

4、料 - - - 歡迎下載想一想 : 錯在哪里？已知函數f xx3 xx22,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知函數f xx1,求函數的求函數的最小值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載最小值和此時x的取值x11解 ： f x x3x22x3x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解:f x x2x2xx1x當 且 僅 當x23即 x3 時 , 函 數精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 且 僅 當 x即 xx1 時 函 數x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 到 最 小 值 2.的最小值為6；大家把x23 代 入看一看,會有什么發

5、現？用 什么 方法求該函數的最小值？113.已知兩正數x , y 滿意 xy 1,就 z x x y y 的最小值為 111解一：由于對a>0,恒有 a a 2,從而 z x x y y 4,所以 z 的最小值為4.222 x y 2xy22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解二： z xy 22xyxy· xy 2 22 1 ,所以z 的最小值為22 1 xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【錯因分析】錯解一和錯解二的錯誤緣由為等號成立的條件不具備,因此使用基本不等式肯定要驗證等號成立的條件,只有等號成立時,所求出的最值才為正確的精品學習資料精選學習

6、資料 - - - 歡迎下載111yx1xy2 2xy2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【正確解答】z x x y y xy xy x y xy xy xy xy xy 2,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令 t xy ,就 0<t xy x y212 ,由 ft t 42t 在0 ,14 上單調遞減,故當t 1時, ft t 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2t 有最小值334 ,所以當x y125時 z 有最小值4 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2誤區警示：精品學習資料精選學習資

7、料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點(1) 在利用基本不等式求最值 值域 時,過多地關注形式上的滿意,極簡潔忽視符號和等號成立條件3的滿意,這為造成解題失誤的重要緣由如函數y 1 2x xx<0 有最大值1 26而不為有最小值126.(2) 當多次使用基本不等式時,肯定要留意每次為否都能保證等號成立,并且要留意取等號條件的一樣性,否就就會出錯課堂糾錯補練：4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 0<x2,就 fxsinx sinx的最小值為 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載考點 1利用基本不等式證明不等式1. 利用基本不等式證明不等式為綜合法證明不等

8、式的一種情形,其實質就為從已知的不等式入手, 借助不等式性質和基本不等式,經過逐步的規律推理,最終推得所證問題,其特點為“由因導果”2證明不等式時要留意敏捷變形,多次利用基本不等式時,留意每次等號為否都成立同時也要留意應用基本不等式的變形形式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1：（ 1）已知a、 b、c 均為正數,求證：a 2 b 2b 2c 2c2 a 2abcabc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）已知a、b、 c 為不全相等的正數,求證：abab) bcbc) acca 6abc精品學習資料精選學習資料 -

9、 - - 歡迎下載11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）已知 a>0, b>0, a b1,求證：a b 4.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載111練習： 已知 a.b. c 為正實數,且a bc1,求證： a 1 b 1 c 1 8.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點考點 2利用基本不等式求最值(1) 合理拆分項或配湊因式為常用的技巧,而拆與湊的目標在于使等號成立,且每項為正值,必要時需顯現積為定值或和為定值(2) 當多次使用基本不等式時,肯定要留意每次為否能保證等號成立,并且要留意取等號的條件的一樣性,否就就會出錯

10、,因此在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅為解題的必要步驟,而且也為檢驗轉換為否有誤的一種方法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4： 1設 0<x<2,求函數y2x2x 的最大值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【分析】由和或積為定值從而利用基本不等式求最值,然后確定取得最值的條件【解】1 0<x<2, 2 x>0 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 x>0,求 fx12x 3x 的最小值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）已知 :x>0、y>0.且 2x+5y=20、

11、 求 xy的最大值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4）已知 y4 a,求 y 的取值范疇a 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載345 已知 x>0 , y>0,且 x y 1,求 x y 的最小值練習：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求以下各題的最值1 已知 x>0 , y>0, lgx lgy 1,求 z25 的最小值；xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2x0,求 fx12x 3x 的最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學

12、習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載43x<3,求 fx x x 的最大值3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 4） a0、 b0、4ab1 ,求 ab 的最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載考點 3利用基本不等式求最值的解題技巧1. 代換：化復雜為簡潔,易于拼湊成定值形式；2拆.拼.湊,目的只有一個,顯現定值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3：（ 1）已知a、 br、 ab3ab ,求 ab 的最小值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

13、迎下載（ 2）已知 y2 x1x 2 0x1 ,求 y 的最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2（ 3）已知a、br, a 2b 21 ,求 a1b 2的最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）已知 xy0 , xyx21 ,求xy 2的最小值及相應的yx、 y 的值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載考點 4基本不等式的實際應用應用基本不等式解決實際問題的步驟為：(1) 認真閱讀題目,透徹懂得題意；(2) 分析實際問題中的數量關系,引入未知數,并用它

14、表示其他的變量,把要求最值的變量設為函數；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點(3) 應用基本不等式求出函數的最值；(4) 仍原實際問題,作出解答練習：1.有一座大橋既為交通擁擠地段,又為事故多發地段,為了保證安全,交通部門規定：大橋上的車距精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載dm 與車速 vkm/h 和車長 lm 的關系滿意：dkv 60 km/h時,車距為2.66 個車身長(1) 寫出車距d 關于車速v 的函數關系式；12l lk為正常數 ,假定車身長都為4 m,當車速為 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 應規定怎樣的車速,才能使

15、大橋上每小時通過的車輛最多？歸納提升：1創設應用基本不等式的條件：(1) 合理拆分項或配湊因式為常用的技巧,而拆與湊的目的為使“和式”或“積式”為定值,且每項為正值；(2) 在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅為解題的必要步驟,而且也為檢驗轉換為否有誤的一種方法2常用不等式：以下不等式在解題時使用更直接1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1a b 2a>0 ,且 a r,當且僅當a1 時“”成立aa精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2a 2a>0 ,b>0, a,b r ,當且僅當a b 時“”成立b精品學習資料精選學習資料 - - -

16、歡迎下載柯西不等式一. 二維形式的柯西不等式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2b2 c 2d 2 acbd 2a 、 b 、c 、 dr 、 當且僅當 adbc時、等號成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二. 二維形式的柯西不等式的變式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(1) a2b2c2d 2acbd a、 b 、 c 、 dr 、 當且僅當 adbc時、 等號成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結優秀學問點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) a2b2c2d 2acbda 、 b 、 c 、 dr 、

17、當且僅當 adbc時、 等號成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 ab cd acbd 2a 、 b 、c 、 d0 、 當且僅當 adbc 時,等號成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三. 二維形式的柯西不等式的向量形式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載. 當且僅當為零向量、 或存在實數k 、 使k時、等號成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載借用一句革命口號說：有條件要用；沒有條件,制造條件也要用；比如說吧,對a2 + b2 + c2,并不為不等式的外形,但變成1/3 * 12 + 12 + 12 * a2 + b2 + c2就可以用柯西不等式了；例題【5】 . 設 x, y, zr,且滿意x2y 2z25 ,就 x2y3z 之最大值為解x2y3z 2x 2y 2z21 22 23 25 1470 x2y3z 最大值為70【6】 設 x , y ,zr ,如 x 2y 2z24 ,就 x2y2z 之最小值為時, x , y , z解x2y2z 2x 2y2z21 2222 2