1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（1）【2014年湖北，理1，5分】為虛數(shù)單位，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】因為，故選a【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算，容易題（2）【2014年湖北，理2，5分】若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（ ）（a）2 （b） （c）1 （d）【答案】d【解析】因為，令，得，解得，故選d【點評】本題考查二項式定理的通項公式，容易題（3）【2014年湖北，理3，5分】設(shè)為全集，是集合，則“存在集合使得，是“”的（ ）（a

2、）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件【答案】a【解析】依題意，若，則，可得；若，不能推出，故選a【點評】本題考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件判斷，容易題（4）【2014年湖北，理4，5分】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，則（ ）（a）， （b）， （c）， （d），【答案】b【解析】依題意，畫散點圖知，兩個變量負(fù)相關(guān)，所以，故選b【點評】本題考查根據(jù)已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題（5）【2014年湖北，理5，5分】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分

3、別是，給出編號、的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）（a）和（b）和（c）和（d）和【答案】d【解析】在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為與俯 視圖為，故選d【點評】本題考查空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖， 容易題（6）【2014年湖北，理6，5分】若函數(shù)，滿足，則稱，為區(qū)間 上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：，；，；,，其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）（a）0 （b）1 （c）2 （d）3【答案】c【解析】對，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)； 對，則，不為區(qū)間上的正交函數(shù)； 對，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)，所以滿足條件的正交函

4、數(shù)有2組，故選c【點評】新定義題型，本題考查微積分基本定理的運用，容易題（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內(nèi)的概率為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式知，該點落在內(nèi)的概率為： ，故選d【點評】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題（8）【2014年湖北，理8，5分】算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一該術(shù)相當(dāng)于給

5、出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，所以，即的近似值為，故選b【點評】本題考查算數(shù)書中的近似計算，容易題（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）（a） （b） （c）3 （d）2【答案】b 【解析】設(shè)橢圓的短半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，由橢圓、雙曲線的定義得，所以，因為，由余弦定理得：，所以，即，利用基本

6、不等式可得橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，故選b【點評】本題橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)，余弦定理及用基本不等式求最值，難度中等（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時， ，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】依題意，當(dāng)時，作圖可知，的最小值為，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，的最大值為，因為對任意實數(shù)都有，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是，故選b【點評】本題考查函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)、最值及恒成立，難度中等二、填空題：共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上答錯位置，書寫不清

7、，模棱兩可均不得分（一）必考題（11-14題）（11）【2014年湖北，理11，5分】設(shè)向量，若，則實數(shù) 【答案】【解析】因為，因為，所以，解得【點評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積，容易題（12）【2014年湖北，理12，5分】直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則 【答案】2【解析】依題意，圓心到兩條直線的距離相等，且每段弧的長度都是圓周的，即，所以，故【點評】本題考查直線與圓相交，點到直線的距離公式，容易題（13）【2014年湖北，理13，5分】設(shè)是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為（例如，則，）閱讀如圖所

8、示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，任意輸入一個，輸出的結(jié)果 【答案】495【解析】當(dāng)，則，當(dāng)，則；當(dāng)，則，終止循環(huán)，故輸出【點評】新定義題型，本題考查程序框圖，當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，容易題（14）【2014年湖北，理14，5分】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意,，若經(jīng)過點,的直線與軸的交點為，則稱為,關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時，可得，即為的算術(shù)平均數(shù)（1）當(dāng)=_（）時，為的幾何平均數(shù)；（2）當(dāng)=_（）時，為的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中為正常數(shù)均可）【解析】設(shè)，則經(jīng)過點，的直線方程為，令，所以，所以當(dāng)，為的調(diào)和平均數(shù)【點評】本題

9、考查兩個數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，難度中等（一）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2b鉛筆涂黑，如果全選，則按第15題作答結(jié)果計分）（15）【2014年湖北，理15，5分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交于兩點，若，則_【答案】【解析】由切割線定理得，所以，【點評】本題考查圓的切線長定理，切割線定理，容易題（16）【2014年湖北，理16，5分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則與交點的直

10、角坐標(biāo)為【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程組，得與的交點坐標(biāo)為【點評】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，曲線的交點，容易題 三、解答題：共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（17）【2014年湖北，理17，11分】某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于，則在哪段時間實驗室需要降溫？解：（1）因為，又，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故實驗室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4 （2）依題意，當(dāng)時實驗室需要降溫，由（1）得，

11、故有，即，又，因此，即，在10時至18時實驗室需要降溫 （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，故有，化簡得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，從而得數(shù)列的通項公式為或（2）當(dāng)時，顯然，此時不存在正整數(shù)，使得成立，當(dāng)時，令，即，解得或（舍去），此時存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41綜上，當(dāng)時，不存在滿足題意的；當(dāng)時，存在滿足題意的，其最小值為41（19）【2014年湖北，理19，12分】如圖，在棱長為2的正方體中

12、，分別是棱的中點，點分別在棱，上移動，且（1）當(dāng)時，證明：直線平面；（2）是否存在，使平面與面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解：解法一：（1）如圖1，連接，由是正方體，知，當(dāng)時，是的中點，又是 的中點，所以，所以，而平面，且平面，故直線平面 （2）如圖2，連接，因為，分別是，的中點， 所以，且，又，所以四邊形是平行四邊形，故，且，從而，且，在和中，因為，于是，所以四邊形是等腰梯形同理可證四邊形是等腰梯形分別取的中點為，連接，則，而，故是面與面所成的二面角的平面角若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，連接，則由，且，知四邊形是平行四邊形，連接，因為，是，的中點，所以，在

13、中，由，得，解得，故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 解法二：以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，（1）當(dāng)時，因為，所以，即，而平面，且平面，故直線平面 （2）設(shè)平面的一個法向量為，則由，可得，于是可取，同理可得平面的一個法向量為，若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，即，解得故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 （20）【2014年湖北，理20，12分】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米）都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且

14、不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？年入流量x40<x<8040x80x>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123解：（1）依題意，由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為（2）記水電站

15、年總利潤為（單位：萬元）（1）安裝1臺發(fā)電機的情形：由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤（2）安裝2臺發(fā)電機的情形：依題意，當(dāng)時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，（3）安裝3臺發(fā)電機的情形：當(dāng)時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；當(dāng)時，三臺發(fā)電機運行，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的

16、距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為（1）求軌跡為的方程；（2）設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍解：（1）設(shè)點，依題意得，即，化簡整理得，故點的軌跡的方程為（2）在點的軌跡中，記，依題意，可設(shè)直線的方程為，由方程組，可得 （1）當(dāng)時，此時，把代入軌跡的方程，得，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點（2）當(dāng)時，方程的判別式為 設(shè)直線與軸的交點為，則由，令，得 （）若由解得，或，即當(dāng)時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點（）若或，由解得，或，即當(dāng)時，直線與 只有一個公共點，與有一個公共點，當(dāng)時，直線與有兩個公共點，與沒有公共點，故當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點（）若由解得，或，即當(dāng)時，直線與有兩個公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有三個公共點綜合（1）（2）可知，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有三個公共點（22）【2014年湖北，理22，14分】為圓周率，e =2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）將這6個數(shù)按從小