1、2012年天津市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1（3分）（2012天津）i是虛數單位，復數=（）a2+ib2ic2+id2i考點：復數代數形式的乘除運算菁優網版權所有專題：數系的擴充和復數分析：由題意，可對此代數分子分母同乘以分母的共軛，整理即可得到正確選項解答：解：故選b點評：本題考查復合代數形式的乘除運算，屬于復數中的基本題型，計算題，解題的關鍵熟練掌握分母實數化的化簡規則2（3分）（2012天津）設r，則“=0”是“f（x）=cos（x+）（xr）為偶函數”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的

2、判斷；函數奇偶性的判斷菁優網版權所有專題：簡易邏輯分析：直接把=0代入看能否推出是偶函數，再反過來推導結論即可解答：解：因為=0時，f（x）=cos（x+）=cosx是偶函數，成立；但f（x）=cos（x+）（xr）為偶函數時，=k，kz，推不出=0故“=0”是“f（x）=cos（x+）（xr）為偶函數”的充分而不必要條件故選：a點評：判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充

3、分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系3（3分）（2012天津）閱讀程序框圖，運行相應的程序，當輸入x的值為25時，輸出x的值為（）a1b1c3d9考點：循環結構菁優網版權所有專題：算法和程序框圖分析：根據題意，按照程序框圖的順序進行執行，當|x|1時跳出循環，輸出結果解答：解：當輸入x=25時，|x|1，執行循環，x=1=4；|x|=41，執行循環，x=1=1，|x|=1，退出循環，輸出的結果為x=2×1+1=3故選：c點評：本題考查循環結構的程序框圖，搞清程序框圖的算法功能是解決本題的關鍵，按照程序框圖的順序

4、進行執行求解，屬于基礎題4（3分）（2012天津）函數f（x）=2x+x32在區間（0，1）內的零點個數是（）a0b1c2d3考點：函數的零點與方程根的關系菁優網版權所有專題：函數的性質及應用分析：根據函數f（x）=2x+x32在區間（0，1）內單調遞增，f（0）f（1）0，可得函數在區間（0，1）內有唯一的零點解答：解：由于函數f（x）=2x+x32在區間（0，1）內單調遞增，又f（0）=10，f（1）=10，所以f（0）f（1）0，故函數f（x）=2x+x32在區間（0，1）內有唯一的零點，故選b點評：本題考查函數零點的定義以及函數零點判定定理的應用，屬于中檔題5（3分）（2012天津）在

5、（2x2）5的二項展開式中，x項的系數為（）a10b10c40d40考點：二項式定理的應用菁優網版權所有專題：二項式定理分析：由題意，可先由公式得出二項展開式的通項tr+1=，再令103r=1，得r=3即可得出x項的系數解答：解：（2x2）5的二項展開式的通項為tr+1=令103r=1，得r=3故x項的系數為=40故選d點評：本題考查二項式的通項公式，熟練記憶公式是解題的關鍵，求指定項的系數是二項式考查的一個重要題型，是高考的熱點，要熟練掌握6（3分）（2012天津）在abc中，內角a，b，c所對的邊分別是a，b，c已知8b=5c，c=2b，則cosc=（）abcd考點：正弦定理的應用；三角函

6、數中的恒等變換應用菁優網版權所有專題：解三角形分析：直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinb，cosb，然后利用平方關系式求出cosc的值即可解答：解：因為在abc中，內角a，b，c所對的邊分別是a，b，c已知8b=5c，c=2b，所以8sinb=5sinc=5sin2b=10sinbcosb，所以cosb=，b為三角形內角，所以b（0，）c所以sinb=所以sinc=sin2b=2×=，cosc=故選：a點評：本題考查正弦定理的應用，三角函數中的恒等變換應用，考查計算能力，注意角的范圍的估計7（3分）（2012天津）已知abc為等邊三角形，ab=2設點p，q滿足，r若=，則=（

7、）abcd考點：平面向量的綜合題菁優網版權所有專題：平面向量及應用分析：根據向量加法的三角形法則求出，進而根據數量積的定義求出再根據=即可求出解答：解：，r，abc為等邊三角形，ab=2=+（1）=2×2×cos60°+×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos60°=24+44+222，=22+22=424+1=0（21）2=0故選a點評：本題主要考查了平面向量數量級的計算，屬常考題，較難解題的關鍵是根據向

8、量加法的三角形法則求出然后再結合數量積的定義和條件abc為等邊三角形，ab=2，=即可求解！8（3分）（2012天津）設m，nr，若直線（m+1）x+（n+1）y2=0與圓（x1）2+（y1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（）a1，1+b（，11+，+）c22，2+2d（，222+2，+）考點：直線與圓的位置關系菁優網版權所有專題：直線與圓分析：由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后利用基本不等式變形，設m+n=x，得到關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍解答：解：由圓的方程（x1

9、）2+（y1）2=1，得到圓心坐標為（1，1），半徑r=1，直線（m+1）x+（n+1）y2=0與圓相切，圓心到直線的距離d=1，整理得：m+n+1=mn，設m+n=x，則有x+1，即x24x40，x24x4=0的解為：x1=2+2，x2=22，不等式變形得：（x22）（x2+2）0，解得：x2+2或x22，則m+n的取值范圍為（，222+2，+）故選d點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉化及換元的思想，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵二、填空題9（3分）（2012天津）

10、某地區有小學150所，中學75所，大學25所先采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調查，應從小學中抽取18所學校，中學中抽取9所學校考點：分層抽樣方法菁優網版權所有專題：概率與統計分析：從250所學校抽取30所學校做樣本，樣本容量與總體的個數的比為3：25，得到每個個體被抽到的概率，根據三個學校的數目乘以被抽到的概率，分別寫出要抽到的數目，得到結果解答：解：某城地區有學校150+75+25=250所，現在采用分層抽樣方法從所有學校中抽取30所，每個個體被抽到的概率是=，某地區有小學150所，中學75所，大學25所用分層抽樣進行抽樣，應該選取小學×150=18人，

11、選取中學×75=9人故答案為：18，9點評：本題主要考查分層抽樣，解題的關鍵是理解在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，屬于基礎題10（3分）（2012天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為18+9m3考點：由三視圖求面積、體積菁優網版權所有專題：立體幾何分析：由三視圖可知該幾何體為上部是一個長方體，長、寬、高分別為6，3，1（單位：m），下部為兩個半徑均為的球體分別求體積再相加即可解答：解：由三視圖可知該幾何體為上部是一個長方體，長、寬、高分別為6，3，1（單位：m），體積6×3×1=18下部為兩個半徑均為的球體，體積2×（）

12、3=9故所求體積等于18+9故答案為：18+9點評：本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計算能力，空間想象能力，三視圖復原幾何體是解題的關鍵11（3分）（2012天津）已知集合a=xr|x+2|3，集合b=xr|（xm）（x2）0，且ab=（1，n），則m=1，n=1考點：集合關系中的參數取值問題菁優網版權所有專題：集合分析：由題意，可先化簡a集合，再由b集合的形式及ab=（1，n）直接作出判斷，即可得出兩個參數的值解答：解：a=xr|x+2|3=xr|5x1，又集合b=xr|（xm）（x2）0，ab=（1，n）如圖由圖知m=1，n=1，故答案為1，1點評：本題考查集合關系中的參數取值問題，解題

13、的關鍵是理解交的運算及一元二次不等式的解集的形式，本題一定的探究性，考查分析判斷推理的能力12（3分）（2012天津）已知拋物線的參數方程為（t為參數），其中p0，焦點為f，準線為l過拋物線上一點m作l的垂線，垂足為e若|ef|=|mf|，點m的橫坐標是3，則p=2考點：拋物線的參數方程；圓錐曲線的綜合菁優網版權所有專題：圓錐曲線的定義、性質與方程；坐標系和參數方程分析：把拋物線的參數方程化為普通方程為y2=2px，則由拋物線的定義可得及|ef|=|mf|，可得mef為等邊三角形，設點m的坐標為（3，m ），則點e（，m），把點m的坐標代入拋物線的方程可得 p=再由|ef|=|me|，解方程可

14、得p的值解答：解：拋物線的參數方程為（t為參數），其中p0，焦點為f，準線為l，消去參數可得x=2p，化簡可得y2=2px，表示頂點在原點、開口向右、對稱軸是x軸的拋物線，故焦點f（，0），準線l的方程為x=則由拋物線的定義可得|me|=|mf|，再由|ef|=|mf|，可得mef為等邊三角形設點m的坐標為（3，m ），則點e（，m）把點m的坐標代入拋物線的方程可得m2=2×p×3，即 p=再由|ef|=|me|，可得 p2+m2=，即 p2+6p=9+3p，解得p=2，或p=6 （舍去），故答案為 2點評：本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，把參數方程

15、化為普通方程的方法，屬于中檔題13（3分）（2012天津）如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交于點d，過點c作bd的平行線與圓相交于點e，與ab相交于點f，af=3，fb=1，ef=，則線段cd的長為考點：與圓有關的比例線段菁優網版權所有專題：直線與圓分析：由相交弦定理求出fc，由相似比求出bd，設dc=x，則ad=4x，再由切割線定理，bd2=cdad求解解答：解：由相交弦定理得到affb=effc，即3×1=×fc，fc=2，在abd中af：ab=fc：bd，即3：4=2：bd，bd=，設dc=x，則ad=4x，再由切割線定理，bd2=c

16、dad，即x4x=（）2，x=故答案為：點評：本題主要考查了平面幾何中直線與圓的位置關系，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質14（3分）（2012天津）已知函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是（0，1）（1，4）考點：根的存在性及根的個數判斷菁優網版權所有專題：函數的性質及應用分析：先化簡函數的解析式，在同一個坐標系下畫出函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象，結合圖象，可得實數k的取值范圍解答：解：y=函數y=kx2的圖象恒過點（0，2）在同一個坐標系下畫出函數y=的圖象與函數y=kx2的圖象結合圖象可實數k的取值范圍是（0，1）（1，4）故

17、答案為：（0，1）（1，4）點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，同時考查了作圖能力和分類討論的數學思想，屬于基礎題三、解答題15（2012天津）已知函數f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xr（1）求函數f（x）的最小正周期；（2）求函數f（x）在區間上的最大值和最小值考點：三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法；三角函數的最值菁優網版權所有專題：三角函數的圖像與性質分析：（1）利用正弦函數的兩角和與差的公式與輔助角公式將f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1化為f（x）=sin（2x+），即可求得函數f（x）的最小正周期；（2

18、）可分析得到函數f（x）在區間上是增函數，在區間，上是減函數，從而可求得f（x）在區間上的最大值和最小值解答：解：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），函數f（x）的最小正周期t=（2）函數f（x）在區間上是增函數，在區間，上是減函數，又f（）=1，f（）=，f（）=1，函數f（x）在區間上的最大值為，最小值為1點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的兩角和與差的公式與輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，求得f（x）=sin（2x+）是關鍵，屬于中檔題16（2012天津）現

19、有4個人去參加娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；（3）用x，y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記=|xy|，求隨機變量的分布列與數學期望e考點：離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列菁優網版權所有專題：概率與統計分析：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數的

20、概率為設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件ai（i=0，1，2，3，4），故p（ai）=（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為p（a2）；（2）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲”為事件b，則b=a3a4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）的所有可能取值為0，2，4，由于a1與a3互斥，a0與a4互斥，求出相應的概率，可得的分布列與數學期望解答：解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數的概率為設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件ai（i=0，1，2，3，4），p（ai）=（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為p（a2）=；（2

21、）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲”為事件b，則b=a3a4，p（b）=p（a3）+p（a4）=（3）的所有可能取值為0，2，4，由于a1與a3互斥，a0與a4互斥，故p（=0）=p（a2）=p（=2）=p（a1）+p（a3）=，p（=4）=p（a0）+p（a4）=的分布列是 0 2 4 p數學期望e=點評：本題考查概率知識的求解，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題17（2012天津）如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac=45°，pa=ad=2，ac=1（1）證明：pcad；（2）求二面角apcd的

22、正弦值；（3）設e為棱pa上的點，滿足異面直線be與cd所成的角為30°，求ae的長考點：用空間向量求平面間的夾角；用空間向量求直線間的夾角、距離；二面角的平面角及求法菁優網版權所有專題：空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用；立體幾何分析：解法一（1）以a為原點，建立空間直角坐標系，通過得出=0，證出pcad（2）求出平面pcd，平面pcd的一個法向量，利用兩法向量夾角求解（3）設e（0，0，h），其中h0，2，利用cos=cos30°=，得出關于h的方程求解即可解法二：（1）通過證明ad平面pac得出pcad（2）作ahpc于點h，連接dh，ahd為二面角apcd的

23、平面角在rtdah中求解（3）因為adc45°，故過點b作cd的平行線必與線段ad相交，設交點為f，連接be，ef，故ebf（或其補角）為異面直線be與cd所成的角在ebf中，因為efbe，從而ebf=30°，由余弦定理得出關于h的方程求解即可解答：解法一：如圖，以a為原點，建立空間直角坐標系，則a（0，0，0），d（2，0，0），c（0，1，0），b（，0），p（0，0，2）（1）證明：易得=（0，1，2），=（2，0，0），于是=0，所以pcad（2）解：=（0，1，2），=（2，1，0），設平面pcd的一個法向量為=（x，y，z），則即取z=1，則以=（1，2，1）又

24、平面pac的一個法向量為=（1，0，0），于是cos=，sin=所以二面角apcd的正弦值為（3）設e（0，0，h），其中h0，2，由此得=（ ，h）由=（2，1，0），故cos=所以=cos30°=，解得h=，即ae=解法二：（1）證明：由pa平面abcd，可得paad，又由adac，paac=a，故ad平面pac，又pc平面pac，所以pcad（2）解：如圖，作ahpc于點h，連接dh，由pcad，pcah，可得pc平面adh，因此dhpc，從而ahd為二面角apcd的平面角在rtpac中，pa=2，ac=1，所以ah=，由（1）知，adah，在rtdah中，dh=，因此sina

25、hd=所以二面角apcd的正弦值為（3）解：如圖，因為adc45°，故過點b作cd的平行線必與線段ad相交，設交點為f，連接be，ef，故ebf（或其補角）為異面直線be與cd所成的角由于bfcd，故afb=adc，在rtdac中，cd=，sinadc=，故sinafb=在afb中，由，ab=，sinfab=sin135°=，可得bf=，由余弦定理，bf2=ab2+af22abafcosfab，得出af=，設ae=h，在rteaf中，ef=，在rtbae中，be=，在ebf中，因為efbe，從而ebf=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即

26、ae=點評：本題考查線面關系，直線與直線所成的角、二面角等基礎知識，考查思維能力、空間想象能力，并考查應用向量知識解決數學問題能力18（2012天津）已知an是等差數列，其前n項和為sn，bn是等比數列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4b4=10（1）求數列an與bn的通項公式；（2）記tn=anb1+an1b2+a1bn，nn*，證明：tn+12=2an+10bn（nn*）考點：等差數列與等比數列的綜合；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式菁優網版權所有專題：等差數列與等比數列分析：（1）直接設出首項和公差，根據條件求出首項和公差，即可求出通項（2）先寫出tn的表達式；方法一：借助

27、于錯位相減求和；方法二：用數學歸納法證明其成立解答：解：（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由條件a4+b4=27，s4b4=10，得方程組，解得，故an=3n1，bn=2n，nn*（2）證明：方法一，由（1）得，tn=2an+22an1+23an2+2na1； ；2tn=22an+23an1+2na2+2n+1a1； ；由得，tn=2（3n1）+3×22+3×23+3×2n+2n+2=+2n+26n+2=10×2n6n10；而2an+10bn12=2（3n1）+10×

28、;2n12=10×2n6n10；故tn+12=2an+10bn（nn*）方法二：數學歸納法，當n=1時，t1+12=a1b1+12=16，2a1+10b1=16，故等式成立，假設當n=k時等式成立，即tk+12=2ak+10bk，則當n=k+1時有，tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）=ak+1b1+qtk=ak+1b1+q（2ak+10bk12）=2ak+14（ak+13）+10bk+124=2ak+1+10bk+112即tk+1+12=2ak+1+10bk+1，因此n=k+1時等式成立對任意的nn*，tn+

29、12=2an+10bn成立點評：本題主要考察等差數列和等比數列的綜合問題解決這類問題的關鍵在于熟練掌握基礎知識，基本方法并考察計算能力19（2012天津）設橢圓的左右頂點分別為a，b，點p在橢圓上且異于a，b兩點，o為坐標原點（1）若直線ap與bp的斜率之積為，求橢圓的離心率；（2）若|ap|=|oa|，證明直線op的斜率k滿足|k|考點：圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質菁優網版權所有專題：圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（1）設p（x0，y0），則，利用直線ap與bp的斜率之積為，即可求得橢圓的離心率；（2）依題意，直線op的方程為y=kx，設p（x0，kx0），則，進一步可得，利用ap|=|oa|，a（a，0），可求得，從而可求直線op的斜率的范圍解答：（1）解：設p（x0，y0），橢圓的左右頂點分別為a，b，a（a，0），b（a，0），直線ap與bp的斜率之積為，代入并整理得y00，a2=2b2橢圓的離心率為；（2）證明：依題意，直線op的方程為y=kx，設p（x0，kx0），ab0，kx00，|ap|=|oa|，a（a，0），代入得k23直線op的斜率k滿足|k|點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查直線的斜率，考查學生的計算能力，屬于中檔題20（2012天津）已知函數f（x）=xln（x+a）的最小值為0，其中a0（1）求a的值；（